固体物理学：第七章 第一节 固体磁性

磁化强度M定义为单位体积内所具有的磁矩，单位 体积的磁化率定义为：
其中B为宏观磁感应强度，μ0为真空磁导率。
根据磁性原子之间的互相作用，以及它们对外场的 不同相应，人们观测到了不同的磁性，它们是：
1. 抗磁性 diamagnetism
电子壳层已经填满，自旋磁矩和轨道磁矩均为0。磁 场为0时，磁化率也为0；有外磁场时，只有与外场反 向的感生磁矩，因此磁化率为负（而且一般与温度无 关）：
进一步计入自旋-轨道耦合相互作用，由于这种相互作 用与自旋角动量和轨道角动量的夹角有关，所以它们 共同旋转时，哈密顿量不变。这样，需要引入总的角 动量J=L+S，此时J是好量子数。J的取值为：|L+S|, |L+S-1|, …, |L-S|。这样原来的(2L+1)(2S+1)重简并， 进一步分裂，转化为(2J+1)重简并。
围绕结果证明，在满足洪德第三定则时，能量最低。
三、原子的外磁场响应
为了简单起见，不考虑自旋，在磁场B中，体系哈密 顿量为：
其中
表示原子内部的势函数。它包含
核势场和电子-电子之间的相互作用是，A为磁场的矢
量势。
假定B沿着z方向，B=（0, 0，B）
哈密顿7.1.12可写为：
其中
表示无外场下的零级哈密顿量。
而且应用了库伦规范
由于不考虑自旋，零级本征态由L,ML两个量子数来 表示，基态记为 把7.1.15中含有Bz的各项作为微扰，得到基态的一个 微扰能量为：
它与磁场有关，反映了它具有磁矩。
根据热力学性质，在外场下原子的磁矩由下式得到 由7.1.16第一项得到
可见第一项得到的 与磁场无关，它是原子固有 的轨道磁矩。不同的ML表示角动量空间量子化的不 同取向，在没有磁场时，基态对ML是简并的，即不 同取向能量一样。表明角动量（因而轨道磁矩）的 取向是“自由的”。
一、原子磁性及外场响应
根据量子力学，一个单电子原子，电子的轨道角动 量l和自选角动量s与它们对应的轨道磁矩和自旋磁矩 有如下关系：
其中
为普适常量，称为旋磁比，并且 为朗德因子
对于一个多电子的原子，由于电子和电子之间的库
伦相互作用，使得单个电子的轨道角动量耦合成总
的轨道角动量
，单个电子的自旋角动量耦
3. 对于填充不达半满的壳层，
填充超过半满时，
。
，而
根据洪德定则，直接计算出原子基态的磁矩，以Cr3+ 为例，3d壳层只有3个电子，不达到半满。所以基态时：
按照光谱学习惯， Cr3+的基态记为 这里的大写字母表示轨道量子数，对于L=0,1,2,…写为 S,P,D,F,…，右下角为量子数J，左上角表示由自旋引起 的多重态数2S+1。
6. 复杂铁磁性
除此之外，还存在复杂的磁性，比如螺旋磁结构等。
后面四类（铁磁，反铁磁，亚铁磁以及复杂磁性）中， 由于磁性原子之间的相互作用，使之在基态时，磁矩 排列都是有序的。
四种基本的磁结构的一维示意图
原则上，原子核的磁矩将导致核的顺磁性，但是 核的磁矩只有电子的千分之一，所以通常忽略。
§7.1 原子磁性及外场响应
个自旋向上，ms=1/2，且5个自旋向下，ms=-1/2。若 3d壳层不满10个电子时，S=? 不考虑自旋还有5重简
并：
，那么L=？
洪德根据原子光谱实验结果，提出了L-S耦合下原子 基态量子数L,S,J的一般定则，它们是：
洪德定则：
1. 在不违背泡利原理的前提下，自旋量子数
的和
取最大值。
2. 在满足上一条法则下，轨道量子数 的和取最大值。
合成总的自旋角动量
，同时自旋-轨道耦
合成原子的总角动量：
这种耦合方式称为L-S耦合。
L-S耦合假定了电子的库伦互作用大于自旋-轨道之 间的相互作用，否则各个电子的自旋和轨道先耦合 成总的角动量Ji，然后由各自的总角动量再偶合成 原子的总角动量：
这种耦合称为J-J耦合。大多数原子数小于80的原子 都可以采用L-S偶合。
2. 顺磁性 paramagnetism
原子具有磁矩，但原子之间的磁互相作用可以忽略不 计，各原子的磁矩在外场中独立运动（改变取向）， 这样磁化率与温度T的关系满足局里定律：
当磁场为0时，磁化强度也为0。当有磁场时，原子的 磁矩有部分的开始沿着磁场方向有序排列，形成一个 正的净的磁化强度和正的磁化率。
由式7.1.5和7.1.8得到原子磁矩的大小：
其中
称为玻尔磁子。它是原子磁矩的天然
单位，正好等于原子轨道角动量为一个量子单位hbar
时的磁矩。
称为有效玻尔磁子数。
二、洪德定则
1. 基态量子数S,L,J的洪德定则
对于满壳层的原子或离子，由于轨道均被占据，所 以L=S=0,J=0，无磁矩。
对于不满壳层，以3d为例，它是10重简并态，其中5
有磁场时，简并分裂，称为塞曼(Zeeman)分裂。由 7.1.18可见，磁矩的方向与角动量的方向相反，所以 当磁矩取向与磁场一致时，能量最低。为了保证系 统能量最低，磁矩应尽量趋于磁场方向。轨道磁矩 在磁场中的取向作用，产生了顺磁现象。
式7.1.16中，第二项能量为
它正比于B，表示在外场中原子的感生磁矩，式中负 号表明感生磁矩与磁场方向相反。抗磁性现象正是由 感生磁矩引起的。
其中H_ij为库伦相互作用，代表了多体效应。
此时不存在旋转不变性，l不再是好量子数。但总角 动量L和总自旋S是好量子数，通常采用
来表示原子的电子态。
若以H_ij为微扰，可以证明不同的m_s, m_l简并消除， 而且m_s, m_l越大，能量越低。因此在不违背泡利原 理的条件下，取S,L的最大值。
与零级近似相比，原子的电子态的简并度被部分消 除，具有(2L+1)(2S+1)重简并。
对于Cr3+有：
2.洪德定则的理论解释 最简单的单电子原子理论，单粒子势下的薛定谔方 程和体系的哈密顿量写为：
第一项为电子的动能项，第二项为核势能项，满足 上面方程的波函数，可以用一组量子数 来区分。
在单电子近似下，得到同一l，不同m_l简并，同一s， 不同m_s简并的类氢原子规则。这是原子的电子态是 (2l+1)(2s+1) 多重简并的。 考虑电子之间的库伦相互作用，哈密顿为
磁矩之间的作用力非常大，大概在1000T左右，为地 磁场的1亿倍，它起源于量子效应。
即使在没有磁场时，铁磁材料仍然表现出很大的磁化 强度。磁铁材料都存在一个饱和磁化强度，即磁场不 断加大，磁化强度能达到的最大值，它通常是磁筹有 关。达到饱和磁化强度对应的磁场称为饱和磁场。
4. 反铁磁性antiferromagnetism
因为磁矩的排列有序程度受到温度的影响，所以磁化 率与温度相关，即局里定律。
3. 铁磁性 ferromagnetism
原子具有磁矩，各原子磁矩之间的相互作用使之趋于 平行排列，存在一个特征温度Tc，称为局里温度。 当T<Tc时，即使B=0， 也有自发的磁化； 当T>Tc时，表现为顺磁性，磁化率满足局里-态可以用 来标志。 在L-S耦合下，由式子7.1.3原子磁矩为：
原子的磁矩和角动量之间的关系仍然写成
利用矢量模型，求出原子的朗德因子g J 其中利用了
再利用
得到朗德因子g J与量子数J,L,S的关系
特别地，若S=0，则J=L，原子磁矩完全由电子的轨道 磁矩所贡献。此时g J =1。 相反，若L=0，则J=S，原子磁矩完全由电子自旋提供， 则g J =2.
各原子磁矩之间的相互作用使之趋于反平行排列，存 在一个特征温度TN，称为奈耳(Neel)温度。 当T<Tc时，B=0，M=0，但子格磁化不为0； 当T>Tc时，表现为顺磁性，磁化率满足奈耳定律：
5. 亚铁磁性
不相等的近邻磁矩反平行排列，存在一个特征温度Tc， 称为局里温度。 当T<Tc时，B=0, M<>0. 当T>Tc时，它同时具有铁磁和反铁磁的特征。
第七章 固体磁性
从本质上讲，磁性是量子效应。但在量子力学之前， 人们已经给出了一些固体磁化率的公式。
例如郎之万在分子环流的假设下，得到永久磁偶极 子在磁场中取向排列而引起的顺磁磁性表达式。
按照量子力学，磁性固体是由磁性的原子或者离子 构成，固体中原子的磁矩来自于三个方面：
一是电子固有的自旋磁矩；二是电子绕核旋转的轨 道磁矩；三是外加磁场感生的轨道矩的改变，第三 个给出了抗磁性的贡献。