第三章(3)卷积和的性质

f (k) f (k)
h1(k)
h2 (k)
y(k)
Q yf (k) = [ f (k) ∗ h1(k)] ∗ h2(k) = f (k) ∗[h1(k) ∗ h2(k)]
h2(k)
(b)级联 级联
h1(k)
y(k) ∴h(k) = h1(k) ∗ h2(k)
*两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应 两子系统级联组成的复合系统， 两子系统级联组成的复合系统 等于两子系统单位序列响应的卷积和。 等于两子系统单位序列响应的卷积和。
yh(k) = (0.5) ε (k)
k
yp (k) = 2ε (k)
解(2) f (k) = y(k) − 0.5y(k −1)
Qy(k) − 0.5y(k −1) = ε (k)
= (0.5) + 2 − 0.5 (0.5) = ε (k)
k
[
]
[
k−1
+2
]
∴y(0) − 0.5y(−1) = 1
+ ∑ +
y(k)
= f (k) ∗[h1(k) + h2(k)]
h(k ) = h1 (k ) + h2 (k )
*两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响 两子系统并联组成的复合系统， 两子系统并联组成的复合系统 等于两子系统的单位序列响应之和。 应 等于两子系统的单位序列响应之和。
由卷积的结合律得： 由卷积的结合律得：
f1 (k ) ∗ [ f 2 (k ) + f 3 ( k )] = f1 (k ) ∗ f 2 (k ) + f1 (k ) ∗ f 3 (k )
由卷积的分配律得： 由卷积的分配律得：
h1(k)
f (k)
h2(k) (k
(a) 并联
Q yf (k) = f (k) ∗ h1(k) + f (k) ∗ h2(k)
+
D
1 2
D
解：系统的差分方程为
y(k) − y(k −1) − 2y(k − 2) = f (k)
y(k) − y(k −1) − 2y(k − 2) = f (k)
（1）求系统的零输入响应 ） 零输入响应满足
yx (k) − yx (k −1) − 2yx (k − 2) = 0 1 yx (−1) = y(−1) = 0, yx (− 2) = y(− 2) = 6
1 2 (−1) − (2) k = (−1) (k + 1)ε (k) + ⋅ 3 3 −1− 2 5 4 k 1 k k = k(−1) + (−1) + (2) ε (k) 9 9 3
k+1
k+1
ε (k)
∴ y(k) = yx (k) + y f (k) 1 2 k 1 5 4 k k k k = (−1) + (2) + k(−1) + (−1) + (2) 9 9 3 9 9 2 k 1 k = (k + 2)(−1) + (2) ε (k) 3 3
，有
1− ak+1 akε (k)∗ε (k） = ε (k) 1− a
当
a = b =1
，有
= ε(k)∗ε(k） (k +1)ε (k)
Qε(k)∗ε(k） (k +1)ε (k) = ∴ε(k + 2)∗ε(k − 5 = (k − 2)ε (k − 3) ）
或 (k + 2)∗ε (k − 5 ） ε = [ε (k) ∗δ (k + 2)]∗[ε (k) ∗δ (k − 5)] = [ε (k) ∗ε (k)]∗[δ (k + 2) ∗δ (k − 5)] = (k +1)ε (k) ∗δ (k − 3) = (k − 2)ε (k − 3)
k
（ ∑1 = k +1）b
i =0
k
k
显然上二式仅在k≥0时成立。 时成立。 显然上二式仅在 时成立
bk+1 − ak+1 ε (k) , a ≠ b k k h(k) = a ε (k)*b ε (k） b − a = (k +1)bkε (k) ,a = b
所以 当
a ≠ 1, b = 1
]ε(k −1) y (k) = [2− (0.5) ]ε (k) −
k−1
[
k
f
例题3.3-6：已知离散时间线性时不变系统 ： 例题
y(k) − 0.5y(k −1) = f (k) 的完全响应 y(k) = (0.5)k + 2 ε (k)
试求（ ）系统的自由响应和强迫响应； 试求（1）系统的自由响应和强迫响应；
[
]
f 的表达式。 (2) y(−1)的值及 (k)的表达式。
h1(k) = a ε (k)， 2(k) = b ε (k)， ， 为常数 h (a b )
k k
求复合系统的单位序列响应h(k)。 。 求复合系统的单位序列响应
f (k )
h1 ( k )
x f (k)
h2 ( k )
h(k )
y f (k )
例3.3-3图 图
解：
h(k) = h (k) * h2(k) = ∑a ε (i) ⋅ b ε (k − i) 1
(3) 系统的零输入和零状态响应 系统的零输入和零状态响应; (4) y(k) − 0.5y(k −1) = f (k) − f (k −1)的零输入和 零状态响应。 零状态响应。 （5）若 y(−1) = 8 求 y(k) − 0.5y(k −1) = f (k) 的零输 ） 入响应和零状态响应。 入响应和零状态响应。
答案(1) yh(k) = (0.5) ε (k) 答案 yp (k) = 2ε (k) (2) y(−1) = 4 f (k) = ε (k) (3) k (4) yx (k) = 2(0.5)k ε (k) y f (k) = − (0.5) + 2 ε (k)
k
[
]
(5) y (k) = 2(0.5)k ε (k) x
(4) f (k − k1 )∗δ (k − k2 ) = f (k)∗δ (k − k1 )∗δ (k − k2 ) = f (k)∗δ (k − k1 − k2 ) = f (k − k1 − k2 )
性质 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，则 ，
f1 ( k ) ∗ f 2 ( k − k1 ) = f1 (k − k1 ) ∗ f 2 ( k ) = f ( k − k1 )
与例3.2-1相同 相同 与例
2 k 1 k ∴h(k) = (−1) + (2) ε (k) 3 3 2 k 1 k k y f (k) = h(k) ∗ f (k) = (−1) + (2) ε (k) ∗(−1) ε (k)
3 3
1 2 k k k k = (−1) ε (k) ∗(−1) ε (k) + (2) ε (k) ∗(−1) ε (k) 3 3
Qλ1 = −1, λ2 = 2 ∴yx (k) = C1(−1) + C2 (2)
k
1 ∴ yx (0) = yx (−1) + 2yx (− 2) = 3 1 yx (1) = yx (0) + 2yx (−1) = 3
k
代入初值
1 yx (0) = C1 + C2 = 3 y (1) = −C + 2C = 1 1 2 x 3
如图所示的离散系统， 例3.3-4 如图所示的离散系统，已知初始状态 1 ，激励 f (k) = cos(kπ )ε (k) = (−1)k ε (k) y(−1) = 0, y(− 2) = 6 求系统的全响应。 求系统的全响应。
y (k )
f (k ) + ∑
+
y (k − 1)
y (k − 2 )
y f (k) = − (0.5) + 2 ε (k) − − (0.5) + 2 ε (k −1) k k yx (k) = 4(0.5) ε (k) y f (k) = − (0.5) + 2 ε (k)
k
[
]
[
[
k−1
]
]
解（1）系统的自由响应的形式由特征根决定，而强 ）系统的自由响应的形式由特征根决定， 迫响应的形式与激励有关， 迫响应的形式与激励有关，所以
1 C1 = 9 ∴ C = 2 2 9
2 k 1 k ∴ yx (k) = (−1) + (2) ε (k) 9 9
（2）求单位序列响应和零状态响应 ）
h(k) 满足 h(k) − h(k −1) − 2h(k − 2) = δ (k) h(−1) = h(− 2) = 0
k k k
k
(k) = 1 [ε (k) − 2ε (k −1)] = 1 [δ (k) −ε (k −1)] h
2 2 1 1 = [2δ (k) −ε (k)] = 2δ (k) − ε (k) 2 2
k k
k
k
∴y(−1) = 4
）：前面已求得 解（3）：前面已求得 y(−1) = 4 ）：
∴ yx (−1) = 4
Qyx (k) − 0.5yx (k −1) = 0
∴ yx (k) = 2(0.5) ε (k)
k
∴ yx (0) = 2
y f (k) = y(k) − yx (k) = 2− (0.5) ε (k) −
i k −i i =−∞
k
∞
a 当 ≠ b时
k k
h(k) = a ε (k) * b ε (k） ∑a ⋅ b =
i i =0 a k+1 1− ( ) bk+1 − ak+1 b = bk = a b−a 1− b
k −i
ai = b ∑( ) i =0 b
k
k
a 当 = b时 h(k) = b
性质2 性质 任一序列 f ( k )与单位序列的卷积
(1) f (k)∗δ (k) = ∑ f (i)δ (k − i) = f (k)
i =−∞ ∞
(2) f (k)∗δ (k − k1 ) = ∑ f (i)δ (k − i − k1 ) = f (k − k1 )
i =−∞
∞
(3)δ (k − k1 )∗δ (k − k2 ) = δ (k − k1 − k2 )
f1 ( k − k1 ) ∗ f 2 ( k − k2 ) = f1 ( k − k2 ) ∗ f 2 ( k − k1 ) = f ( k − k1 − k2均为整数。
如图所示 所示的复合系统由两个子系统级联 例3.3-3 如图所示的复合系统由两个子系统级联 组成， 组成，已知子系统的单位序列响应分别为
例题 3.3-5 若线性时不变离散系统的阶跃响应为
1 求其单位序列响应。 g(k) = ε (k) 求其单位序列响应。 2 k k−1 1 1 解: h(k) = g(k) − g(k −1) = ε (k) − ε (k −1)
2 2 1 (k) − 2ε (k −1)] = 1 [δ (k) −ε (k −1)] = [ε 2 2 1 = δ (k) − ε (k −1) 2
三、卷积和的性质
性质1 卷积和运算服从交换律、结合律和分配律， 性质 卷积和运算服从交换律、结合律和分配律， 即
f1 (k ) ∗ f 2 (k ) = f 2 ( k ) ∗ f1 (k )
f1 (k ) ∗ [ f 2 (k ) ∗ f 3 ( k )] = [ f1 ( k ) ∗ f 2 ( k )] ∗ f 3 (k )
k
[
]
零输入响应不变,仍为 解（4）:零输入响应不变 仍为 yx (k) = 2(0.5) ε (k) ） 零输入响应不变
k
但零状态响应变为
y f (k) = 2 − (0.5) ε (k) − 2 − (0.5)
k
[
]
解（5）:零状态响应不变 仍为 零状态响应不变,仍为 ） 零状态响应不变
但零输入响应变为 yx (k) = 4(0.5)k ε (k)