【数学】山东省聊城市2019-2020学年高一下学期期末考试教学质量抽测试题(解析版)

山东省聊城市2019-2020学年高一下学期期末考试教学质量
抽测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 在复平面内，复数1i -+所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限 【答案】B
【解析】本题考查复数在复平面中的位置,考查复数的坐标表示,属于基础题 2. 向量(1,3)a =，(3,1)b
=，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A.
π
12
B.
6
π C.
π3
D.
π2
【答案】D
【解析】设θ为a b
+与a b -的夹角，
(1,3)a =
，(3,1)b =，
则1+31+a b +=（，，131a b -=（-，）
||=6a b ++
||6a b -=-又()()0cos 04
a b a b a b a b
θ+⋅-=
==+-，0,2
π
θπθ≤≤∴=
.
故选：D
3. 某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B. 甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C. 甲班学生比乙班学生发挥稳定
D. 甲班不及格率高于乙班不及格率 【答案】D
【解析】A ：因为每个班的总人数不确定，故无法比较； B ：甲班及格人数占比80%，乙班及格人数占比90%， 故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；
C ：无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；
D ：甲班不及格率为20%，乙班不及格率为10%，故D 正确. 故选：D.
4. 已知α为第二象限角，1
sin cos 5
αα+=，则tan2α＝（ ） A. ﹣
24
7
B.
247
C. 2425
D.
43
【答案】B
【解析】因为22sin cos 1αα+=，结合15
sin cos αα+=， 即可得()()53540cos cos αα+-=， 解得45cos α=
或35
cos α=-， 又α是第二象限角，故3
5
cos α=-，则45sin α=，43
tan α=-. 故2
224
21tan 7
tan tan ααα==-. 故选：B
5. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DC 的中点，则异面直线AE 与BC 1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，故可得1BC //1AD ， 连接11,AD D E ，如下图所示：
则1
D AE
∠即为异面直线AE与BC1所成角或其补角，
不妨设正方体棱长为2，
三角形1
AED中，AE==
11
D E AE AD
====
故可得
222
11
1
1
25
AD AE D E
cos D AE
AD AE
+-
∠==
⨯
.
又异面直线夹角的范围为0,
2
π
⎛⎤
⎥
⎝⎦
，
故异面直线AE与BC1
.
故选：C.
6. 角
α的终边与单位圆的交点坐标为1)
2
，将α的终边绕原点顺时针旋转
3
4
π
，得到角β，则cos()
αβ
+=（）
A. B.
C. D. 0
【答案】A
【解析】由角α的终边经过点1)2，得1sin ,cos 2αα==
， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转
34
π
得到的，
所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=
3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-
=+=+=
1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=
=
， 故选：A.
7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos A ＝b cos B ，且c 2＝a 2+b 2﹣ab ，则△ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形
D. 等边三角形
【答案】D
【解析】因为a cos A ＝b cos B ，故可得sinAcosA sinBcosB =，即22sin A sin B =， 又(),0,πA B ∈，故可得A B =或2
π
A B +=； 又c 2＝a 2+b 2﹣ab ，即1
2
cosC =
，又(),π0C ∈，故可得60C =︒. 综上所述，60A B C ===︒.故三角形ABC 是等边三角形.故选：D. 8. 用五点法作函数()πsin 0,0,2y A x A ωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象时，得到如下表格：
则A ，ω，ϕ的值分别为（ ） A. 4，2，3
π-
B. 4，
12
，π3
C. 4，2，
6
π D. 4，
1
2，6
π- 【答案】A
【解析】由表中的最大值为4，最小值为4-，可得4A =， 由
21
36π2πT -=，则πT =，2π2π
ω∴==， 4sin(2)y x ϕ=+，图象过(6
π
，0)，
04sin(2)π
6ϕ∴=⨯+，∴26π2πk ϕ⨯+=，()k ∈Z ，解得π2π3
k ϕ=-，
|2
π|ϕ<
，∴当0k =时，3πϕ=-．
故选：A ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 为了得到函数πcos 24y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，可作如下变换（ ） A. 将y ＝cos x 的图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2
，纵坐标不变而得到 B. 将y ＝cos x 的图象上所有点向右平移4
π
个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到
C. 将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2
，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度而得到 D. 将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2
，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移4
π
个单位长度而得到 【答案】A
【解析】为得到πcos 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，可将y cosx =的图象上所有点向左平移4
π个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
，纵坐标不变而得到； 也可以将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
，纵坐标不变，然后将所得图象
上所有点向左平移8
π
个单位长度而得到. 故选：A.
10. 下列命题不正确的是（ ）
A. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直
B. 如果平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，那么平面//α平面γ
C. 已知a ，b 为直线，α为平面，若//a α，//b α，则//a b
D. l ，m ，n 为直线，α为平面，m α⊂，n ⊂α.“l α⊥”的充要条件是“l m ⊥，且
l n ⊥”
【答案】BCD
【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线， 有且仅有一条．由此可得A 正确；
在B 中，如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α与平面β相交或平行，故B 错误；
在C 中，若//a α，//b α，则a 与b 可能平行，可能异面，可能相交，故C 错误； 在D 中，m α⊂，n ⊂α，“l α⊥”可得到“l m ⊥，且l n ⊥”， m α⊂，n ⊂α，“l m ⊥，且l n ⊥”
不能得到“l α⊥”，故D 错． 故选：BCD ．
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）
B. 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12
b C. 点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心
D. 以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 【答案】ABD
【解析】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()
0a b c ⋅-=， 故()
a b c ⊥-，故A 选项正确；
对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b ⋅=⨯
=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫
⋅
⎪= ⎪⎝⎭
，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，
故C 选项错误；
对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，
则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD
是矩形. 故D 选项正确；
综上所述，正确的有：ABD. 故选：ABD.
12. 如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为达BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，F A 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则（ ）
A. AP ⊥EF
B. 点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心
C. 二面角A ﹣EF ﹣P 的余弦值为
1
3
D. 若四面体P ﹣AEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π
【答案】ABC
【解析】根据题意，,,,,AP PF AP PE PE PF P PE PF ⊥⊥⋂=⊂平面PEF ，故AP ⊥平面PEF ；
因为,,,,PE PA PE PF PA PF P PA PF ⊥⊥⋂=⊂平面PAF ，故PE ⊥平面PAF ； 故可得,,PA PE PF 两两垂直.
对A ：由AP ⊥平面,PEF EF ⊂平面PEF ，故AP EF ⊥，故A 正确； 对B ：过P 作平面AEF 的垂线PN ，连接AN ，延长交EF 于M ，如下所示：
由A 可知，EF AP ⊥，又PN ⊥平面,AEF EF ⊂平面AEF ，故EF PN ⊥， 又,,PN AP P PN AP ⋂=⊂平面PAM ，故可得：EF ⊥平面PAM ，
又AM ⊂平面PAM ，故可得EF AM ⊥，即点N 在三角形AEF 底边EF 的垂线上； 同理可证，点N 在三角形AEF 底边,AF AE 的垂线上.
故点P 在平面AEF 的投影即为三角形AEF 的垂心，故B 正确； 对C ：根据B 中所求，AM 为三角形AEF 的垂线，
又AF AE ==
M 为EF 中点.
又1PF PE ==，故三角形PEF 为等腰三角形，连接PM ，则PM EF ⊥
根据二面角定义，显然AMP ∠即为所求二面角.
在三角形PMA 中，122
PM EF =
=
AM =
=
，又2AP =，故222123AM MP AP cos AMP AM MP +-∠==⨯. 故二面角A ﹣EF ﹣P 的余弦值为
1
3
，则C 正确； 对D ：因为,,PA PE PF 两两垂直，
故三棱锥P ﹣AEF 的外接球半径和长宽高分别为1,1,2的长方体的外接球半径相等
.
故其外接球半径2R ==
，
故外接球表面积246S R ππ==，故D 错误. 综上所述，正确的为ABC . 故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数
2+i 为一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一个根，则复数|a +bi |＝_____．
【解析】因为2+i 为一元二次方程x 2+ax +b ＝0， 故可得()()2
220i a i b ++++=， 则()4230a i a b ++++=，又,a b ∈R ，
的
故40,230a a b +=++=， 解得4, 5.a b =-=
则45a bi i +=-+==
14. 为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单位：克）如下：
495 500 503 508 498 500 493 500 503 500
质量落在区间[x ﹣s ，x +s ]（x 表示质量的平均值，s 为标准差）内的产品件数为_____． 【答案】7
【解析】由题可得：()1
49550050350849850049350050350010
x =
+++++++++ 500=；
[]21
2596444991610
s =
+++++=，故可得4s =. 则区间[x ﹣s ，x +s ]即为[]
496,504.
故落在该区间的产品件数为：7.故答案为：7.
15. 直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝1，BC ＝3，现将梯形ABCD 绕边AD 所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为_____，表面积为_____．
【答案】 (1).
8π
3
(2). （）π 【解析】根据题意，所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥后的几何体. 其中圆柱体的母线长3l =，底面半径1r AB ==， 圆锥体的底面半径1R =，圆锥的高1h BC AD =-= 则该旋转体的体积2
2183πππ3
V r l R h =⨯-
⨯=；
该旋转体的表面积(2πππ7π2S r r l R =+⨯+=+.
故答案为：
8π
3
；(7π. 16. 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，AB 上的点，且
21
,32
AM AD AN AB =
=，MN 交于点P ．若AP AC λ=，则λ的值为_____．
【答案】2
7
【解析】根据题意，AP AC λ=()
3
22
AB AD AN AM λλλ=+=+， 因为,,M P N 三点共线，故可得3212λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得27
λ=. 故答案为：
2
7
. 四、解答题：本题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额（单位：千元）把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：
（1）为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？
（2）确定销售日标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额（单位：千元）： 14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6 24.6 23.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5 13.6 14.9 15.7 16.2 17.0 17.2 17.8 18.0 18.4 19.5 20.5 22.1 24.0 24.8
公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？
解：（1）根据表中数据可得，三层共有12024090450++=人，抽样比为
301
45015
=，
故应该从甲层抽取1120815⨯=人；从乙层抽取12401615⨯=人；从丙层抽取1
90615
⨯=人.
（2）将30个数据按照从小到大的顺序进行排序，可得：
11.5，12.8，13.5，13.6，14.2，14.9，15.6，15.7，15.8，16.2， 16.3，16.4，17.0，17.2，17.7，17.8，18.0，18.2，18.4，19.2， 19.5，19.8，20.5，21.8，22.1，22.4，23.2，24.0，24.6，24.8，
为使得70%的销售员完成目标，只需求出第30百分位数即可.
由3030%9⨯=可知样本数据的第30百分位数为第9项与第10项数据的平均数， 即
15.816.2
16.02
+=. 则应该将销售目标定位16000元比较合理.
18. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 不共线． （1）若向量a +k b 与k a +2b 为方向相反的向量，求实数k 的值； （2）若向量a 与
b 的夹角为60°，求
2a +b 与a ﹣b 的夹角θ． 解：（1）因为向量a +k b 与k a +2b 为方向相反的向量，
故可设()
2,0a kb ka b μμ+=+<，则2a kb k a b
μμ+=+，又a 与b 不共线， 故可得1,2k k μμ==，解得2
k u ==-
.
（2）向量a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b ⋅=⨯
=. 故()2
2244a b a b +=
+=
++=，()
2
14a b a b -=
-=+-=
()()22143a b a b +⋅-=--=-.
故
()()21 .2232a b a b cos a b a b
θ+⋅-===-⨯+-又[]0,θπ∈，则2
3θπ=.
19. 2020年是我国全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业．为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了n 个黄桃组成样本进行测重，其质量分布在区间[225，525]内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间
[275，325）内的有16个．
（1）求n 的值和质量落在区间[425，475）內的黄桃个数；
（2）已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入．
解：（1）因为质量分布在区间[275，325）内的黄桃有16个， 故可得
161
0.003250
n ⨯=，故可得100n =； ()500.00100.00320.00480.00600.00101x +++++=，解得0.004x =，
则质量落在区间[425，475）內的黄桃个数为5020nx =个. （2）该村黄桃的单个质量的平均数为：
2500.053000.163500.244000.34500.25000.05379.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（克）， 故该村黄桃的总质量大约为：379.41000037950⨯=（千克） 故该村黄桃销售收入的预测值为3795020759000⨯=元.
20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，
2AD BC =，且M 为PA 的中点.
（1）求证：//BM 平面PCD ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且DP DA =，求证：平面BDM ⊥平面PAB .
解：证明：（1）取PD 的中点N ，连接MN ，CN . 因为M 是PA 的中点，所以MN 为PAD △的中位线， 所以1
//
2MN AD .又因为1//2
BC AD ，所以//MN BC ， 所以四边形BMNC 为平行四边形，所以//BM CN . 又BM ⊄平面PCD ，CN ⊂平面PCD ， 所以//BM
平面PCD .
（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，
AB 平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD .
∵DM ⊂平面PAD ，∴AB DM ⊥.
又因为DP DA =，M 为PA 的中点，所以DM PA ⊥， ∵PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，且PA
AB A =，
所以DM ⊥平面PAB . 又DM ⊂平面BDM ， 所以平面BDM ⊥平面PAB .
21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现有以下三个条件：①（2c +b ）cos A +a cos B ＝0；②sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A +sin B sin C ＝0；③
222--=
a b c 请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求
解．已知向量m ＝（4sin x ，，n ＝（cos x ，sin 2x ），函数()23f x m n =⋅-在△ABC 中，π3a f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，且____，求2b +c 的取值范围．
解：根据题意，()2
4f x sinxcosx x =+-
2224s 2πin 3sin x x x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭.
又3πa f ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
. 选择①：（2c +b ）cos A +a cos B ＝0，由正弦定理可得：
20sinCcosA sinAcosB sinBcosA ++=，
故可得2sinCcosA sinC =-，又0sinC ≠， 故可得12
cosA =-
，又(),π0A ∈，故3π2
A =.
选择②：sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A +sin B sin C ＝0，由正弦定理得：
222b c a bc +-=-，由余弦定理得1
2
cosA =-，
有(),π0A ∈，故3
π2
A =.
选择③：2223
--=
a b c S ，由面积公式以及余弦定理可得：
1
232
bccosA sinA bc -=
⨯，解得tanA = 又(),π0A ∈，故可得3
π2
A =
.
故不论选择哪个条件，都有3π2
A =
.又a =则24a R sinA
==. 故28484sin π3b c sinB sinC sinB B ⎛⎫
+=+=+- ⎪⎝⎭
6sinB =+ π
6B ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又3π0,
B ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，故πππ,662B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故1sin ,162πB ⎛
⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故(2b c +∈.故答案为：(.
22. 亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标．
（1）某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点P 距地面的高度，选取了与点P 在地面上的射影A 在同一水平面内的两个测量基点,
B C （如图所示）；现测得
30ABC ACB ACP
∠=∠=∠
=，BC 两点间的距离是390米，求最高点P 距地面的高度
PA ；
（2）若摩天轮最低点Q 距地面的距离20QA =米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要20分钟．
①从游客进人摩天轮位于最低点Q 处的轿厢开始计时，转动t 分钟后距离地面的高度为h 米，求在转动一周的过程中，h （单位：米）关于t （单位：分钟）的函数解析式； ②若只有当轿厢的高度h 超过47.5米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景． 解：（1）由题意得：120BAC ∠= ，
在ABC
中，由正弦定理得：
sin sin AC BC
ABC BAC
=∠∠ ，
即
12AC =
==， 又,30PA AC PAC ⊥∠= ，
所以
3tan 30PA AC ==，即130PA AC === ，
所以最高点P 距地面的高度130PA =米.
（2）①以PQ 的中点O 为坐标原点，PQ 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为130PA =，20QA =， 所以摩天轮的半径为13020
552
r -=
=米，所以75OA =米，
由题意知：20分钟转一周，所以每分钟转
2π200
π
1=弧度， 设从Q 点开始计时，转动t 分钟后轿厢运到到M 点，则转过的1π
QOM t ∠=弧度， 所以1ππ02
xOM t ∠=
- ， 设00(,)M x y ，由三角函数的定义可得： ， 又因为0755510
π
cos
h y OA t =+=- ()020t ≤≤ 所以游客距地面的高度h 关于t 的函数解析式为π
7555cos 10
h t =-()020t ≤≤. ②当轿厢的高度h 超过47.5米时，即π
7555cos 47.510
t ->， 所以55cos
27.510πt <，即1cos 10π2
t <， 所以ππ5π
2π2π3103k t k +<
<+，解得1050202033
k t k +<<+()k ∈Z ， 因为020t ≤≤，所以只有当0k =时，105033
t <<符合题意， 即旋转一周中有501040333
-=分钟可以俯瞰东昌湖的美景.。