2_等差数列

2 等差数列
基础自测
1.（2008·广东理，2）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2
1
，S 4=20，则S 6等于
( )
A .16
B .24
C .36
D .48 答案 D
2.（2009·安徽怀远三中月考）已知等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 3+a 9=6,则S 11等于
（ ） A .12
B .33
C .66
D .11
答案 B
3.（2008·全国Ⅰ理，5）已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4，a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10等于
（ ） A .138
B .135
C .95
D .23
答案 C
4.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且
3457++=n n B A n n ,则使得n
n b a
为整数的正整数
n 的个数是（ ） A .2 B .3
C .4
D .5
答案 D
5.数列a ,b ,m ,n 和x ,n ,y ,m 均成等差数列，则2b +y -2a +x
的值为
（ ）
A .正实数
B .负实数
C .零
D .
不确定 答案 C
例1 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-1
4-n a (n ≥2),令b n =
2
1
-n a .求证：数列{b n }是等差数列. 证明 ∵a n +1-2=2-n a 4=n
n a a )2(2- ∴211-+n a =)2(2-n n a a =)2(222-+-n n a a =21+21
-n a
∴
2
11-+n a -
21
-n a =2
1，
∴b n +1-b n =
2
1. ∴数列{b n }是等差数列. 例2 在等差数列{a n }中， （1）已知a 15=33,a 45=153,求a 61; (2)已知a 6=10,S 5=5，求a 8和S 8；
（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d ＞0,求a 1. 解 （1）方法一 设首项为a 1,公差为d ,依条件得
⎩
⎨⎧+=+=d a d a 44153143311,解方程组得⎩⎨
⎧=-=.4231d ，
a ∴a 61=-23+(61-1)×4=217. 方法二 由d =
m n a a m n --,得d =15451545--a a =30
33
153-=4,
由a n =a m +(n -m )d ,
得a 61=a 45+16d =153+16×4=217.
（2）∵a 6=10,S 5=5,∴⎩⎨⎧=+=+510510
511d a d a .
解方程组得a 1=-5,d =3, ∴a 8=a 6+2d =10+2×3=16,S 8=8×
2
)
(81a a +=44. (3)设数列的前三项分别为a -d ,a ,a +d ,依题意有：
⎩
⎨
⎧=+⋅⋅-=+++-48)()(12
)()(d a a d a d a a d a , ∴⎪⎩
⎪⎨⎧=-=48)(422d a a a ,∴⎩⎨⎧±==24d a . ∵d ＞0,∴d =2,a -d =2.∴首项为2.∴a 1=2.
例3 （12分）在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最 大值.
解 方法一 ∵a 1=20，S 10=S 15， ∴10×20+2910⨯d =15×20+2
14
15⨯d ， ∴d =-
3
5
. 4分 ∴a n =20+（n -1）×(-
35)=-35n +3
65. 8分 ∴a 13=0. 即当n ≤12时，a n ＞0,n ≥14时，a n ＜0.
10分 ∴当n =12或13时，S n 取得最大值，且最大值为
S 12=S 13=12×20+
2
11
12⨯⨯(-35)=130. 12分
方法二 同方法一求得d =-
3
5
. 4分
∴S n =20n +2
)
1(-n n ·(-35)
=-
65n 2+6
125
n =-652
225⎪⎭⎫ ⎝⎛-n +24
1253. 8分 ∵n ∈N +,∴当n =12或13时，S n 有最大值，
且最大值为S 12=S 13=130. 12分 方法三 同方法一得d =-3
5
. 4分 又由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. 8分 ∴5a 13=0,即a 13=0. 10分 ∴当n =12或13时，S n 有最大值，
且最大值为S 12=S 13=130. 12分
1.设两个数列{a n },{b n }满足b n =n
na a a a n
++++++++ 32132321，若{b n }为等差数列，求证：{a n }也为等差数列.
证明 由题意有 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =
2
)
1(+n n b n ， ① 从而有a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1=2
)
1(-n n b n -1(n ≥2), ②
由①-②，得na n =2)1(+n n b n -2
)
1(-n n b n -1,
整理得a n =
2
1
-++n n b b nd ,
其中d 为{b n }的公差(n ≥2). 从而a n +1-a n =2)1(1n n b b d n ++++-2
1
-++n n b b nd
=
2
2d d +=d 23
(n ≥2). 又a 1=b 1，a 2=2
21
2b b d ++
∴a 2-a 1=
2212b b d ++-b 1=2212b b d -+=2
3d
.
综上，a n +1-a n =
2
3
d （n ∈N +）. 所以{a n }是等差数列.
2.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 的前n 项和,求T n .
解 设等差数列{a n }的公差为d ,
则S n =na 1+
2
1
n (n -1)d , ∵S 7=7,S 15=75,
∴⎩⎨⎧=+=+75
10515721711d a d a , 即⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ,解得⎩⎨⎧=-=121d a ,
∴n
S n =a 1+21(n -1)d =-2+21
(n -1),
∵
11++n S n -n S n =2
1,
∴数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列,其首项为-2,公差为21,
∴T n =
41n 2-4
9
n . 3.等差数列{a n }中，a 1＜0,S 9=S 12,该数列前多少项的和最小？ 解 由条件S 9=S 12可得 9a 1+
289⨯d =12a 1+2
11
12⨯d ，即d =-101a 1.
由a 1＜0知d ＞0,即数列{a n }为递增数列. 方法一 由⎩⎨⎧≥+=≤-+=+00
1111nd a a d )n (a a n n ，
得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤-≥--010
11011011n n ）（,解得10≤n ≤11.
∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小.
方法二 ∵S 9=S 12，∴a 10+a 11+a 12=3a 11=0，∴a 11=0.
又∵a 1＜0,∴公差d ＞0，从而前10项或前11项和最小. 方法三 ∵S 9=S 12，
∴S n 的图像所在抛物线的对称轴为x =
2
12
9+=10.5, 又n ∈N +，a 1＜0,∴{a n }的前10项或前11项和最小. 方法四 由S n =na 1+
2)1(-n n d =2d 2n +⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21d a n ，
结合d =-
10
1
a 1得 S n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1201a ·n 2+⎪⎭
⎫ ⎝⎛12021
a ·n =-201a 2
221⎪⎭⎫ ⎝⎛-n +80441a 1 （a 1＜0），
由二次函数的性质可知n =
2
21
=10.5时，S n 最小.又n ∈N +，故n =10或11时S n 取得最小值.
一、选择题
1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4等于
（ ）
A .12
B .10
C .8
D .6 答案 C
2.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于
（ ）
A .40
B .42
C .43
D .45
答案 B
3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
（ ）
A .5
B .4
C .3
D .2
答案 C
4.已知等差数列{a n }的前三项分别为a -1,2a +1,a +7,则这个数列的通项公式为
（ ）
A .a n =4n -3
B . a n =2n -1
C .a n =4n -2
D .a n =2n -3
答案 A
5.（2008·大连模拟）在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-3
1
a 11的值为
（ ）
A .14
B .15
C .16
D .17
答案 C
6.等差数列{a n }的前n 项和满足S 20=S 40，下列结论中正确的是
（ ）
A .S 30是S n 中的最大值
B .S 30是S n 中的最小值
C .S 30=0
D .S 60=0
答案 D 二、填空题
7.（2008·重庆理，14）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= . 答案 -72
8.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1,且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N +.设c n =a n b (n ∈N +),则数列{c n }的前10项和等于 . 答案 85 三、解答题
9.已知数列{a n }中，a 1=
53，a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N +),数列{b n }满足b n =1
1-n a (n ∈N +).
(1)求证：数列{b n }是等差数列；
（2）求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由.
（1）证明 因为a n =2-
1
1-n a (n ≥2,n ∈N +),b n =
1
1
-n a . 所以当n ≥2时，b n -b n -1=
11-n a -111--n a
=
11211-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--n a -
111--n a =
111---n n a a -1
11
--n a =1.
又b 1=
1
11
-a =-
25.所以，数列{b n }是以-2
5
为首项，以1为公差的等差数列. （2）解 由（1）知，b n =n -
27,则a n =1+n b 1=1+7
22
-n . 设函数f (x )=1+
7
22
-x ,易知f (x )在区间(-∞,27)和(27,+∞)内为减函数.
所以，当n =3时，a n 取得最小值-1； 当n =4时，a n 取得最大值3.
10.等差数列{a n }的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.
解 设等差数列{a n }的项数为2m +1,公差为d ,
则数列的中间项为a m +1,奇数项有m +1项，偶数项有m 项. 依题意，有
S 奇=(m +1)a m +1=216 ① S 偶=ma m +1=192 ② ①÷②,得
m m 1+=192
216
，解得,m =8, ∴数列共有2m +1=17项，把m =8代入②，得a 9=24, 又∵a 1+a 17=2a 9， ∴a 17=2a 9-a 1=47，且d =917917--a a =8
23
.
a n =1+(n -1)×
823=8
15
23-n (n ∈N +,n ≤17). 11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知
31S 3，41S 4的等比中项为51S 5; 31S 3，4
1
S 4的等差中项为1， 求数列{a n }的通项公式.
解 方法一 设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ， 则S n =na +
2
)
1(-n n d ，依题意，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯+⎪⎭⎫
⎝⎛⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+,21234441223331,24552512344412233312d a d a d a d a d a 整理得⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+,
225
2,0532d a d ad
∴a =1，d =0或a =4，d =-5
12. ∴a n =1或a n =
n 5
12
532-， 经检验，a n =1和a n =
n 5
12
532-均合题意. ∴所求等差数列的通项公式为a n =1或a n =
n 5
12
532-. 方法二 因S n 是等差数列的前n 项和，易知数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列.依题意得
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⨯=+
.S S ,S S S ，S
S S 243
5434
2534
32
543453解得⎪⎩⎪⎨⎧===,
5,4,3543S S S 或⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
-===.4,58,
524543S S S 由此得a 4=S 4-S 3=1，a 5=S 5-S 4=1， 或a 4=-516，a 5=-5
28，
∴d =0或d =-
5
12
. ∴a n =a 4+（n -4）×0=1 或a n =a 4+（n -4）×(-512)=5
32-512n . 故所求等差数列的通项公式a n =1或a n =
5
32-512
n . 12.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4=117,a 2+a 5=22. （1）求通项a n ; (2)若数列{b n }满足b n =c
n S n
+,是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由.
解 （1）由等差数列的性质得，a 2+a 5=a 3+a 4=22,所以a 3、a 4是关于x 的方程x 2
-22x +117=0的解，又公差大于零， 所以a 3=9,a 4=13.
易知a 1=1,d =4,故通项为a n =1+(n -1)×4=4n -3. (2)由(1)知S n =
2
)341(-+n n =2n 2
-n ,
所以b n =
c
n S n +=c n n
n +-22. 方法一 所以b 1=
c +11,b 2=c +26,b 3=c
+315
(c ≠0). 令2b 2=b 1+b 3,解得c =-
2
1
.
当c =-2
1时，b n =2
122-
-n n
n =2n ,
当n ≥2时，b n -b n -1=2. 故当c =-2
1
时，数列{b n }为等差数列. 方法二 当n ≥2时，
b n -b n -1=
c n n n c n n n +-----
+-1)
1()1(2222 =
)
1()12(3)24(222-+-+--+c c n c n c n c n ,
欲使{b n }为等差数列，
只需4c -2=2(2c -1)且-3c =2c (c -1) (c ≠0) 解得c =-2
1.。