大学物理振动学基础2
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位置、速度和加速度随时间的变化
简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间 的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动
x A cos(t )
dx v A sin( t ) dt
vm A
d 2x a 2 2 A cos(t ) dt
am A
重力：
2
o x
mg
2
d F合 xg 2
d 2x 2 x0 2 dt
d 2x d2 xg 2 dt 4m
a F合 / m
2 d 2 g 4m
例2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在 此隧道 内的运动为简谐振动，并求其振动周期。地球质 量Me和半径已知R
解:
Gm r 3 F 2 Me 3 r R
建立oy 坐标系：
O
GmM e r 3 R
0
Fy F sin
GmM e r sin 3 R
q1
kq1q2 F 2 r
q2
GmM e Fy F sin 3 r sin R GmM e y 3 R 2 GmM e d y m 2 y 3 dt R
l T 2 g
例1 质量为m的比重计放在密度 为的液体中，比重计圆管
直径为d，证明比重计经下 推后，在竖直方向的运 动 是简谐振动。
o x
设平衡时侵入液体中的体积为V,以平衡 时比重计下端为原点建立如图所示坐标
m g Vg
坐标为x时的浮力：
d 浮力： F Vg xg 2
R M
m2
T1
d2s T1 ks m1a m1 2 dt
-2
4
t = 1s时有: x=0, v<0
1
4
2
3 4
简谐振动的矢量图表示法
x A cos( t )
作坐标轴OX,自原点作一矢量A, 规定： 模 ：振幅
y A M R
t+
M
角速度：角频率
初始与X轴的夹角：初相 t=0，A与X轴夹角为
0 P
R
三个黄背底的式子可以互相推得，满足这三个关系就 是简谐振动
续： 简谐振动的动力学方程
d 2x 2 x0 2 dt
不管x是什么量, 只要它随时间的变化满 足上述微分方程，它的 变化就一定是简 谐振动的形式 , 而且其角频率就是 x系数 的平方根, 这一结论常用来判断简 谐振动 并求其周期。
k m
2
v A sin( t )
k
m o x
X
1 2 Ek mv 2 1 m 2 A2 sin 2 (t ) 2
1 2 2 kA sin ( t ) 2
Ek max
1 2 kA 2
Ek min 0
弹簧振子的势能及机械能
1 2 2 Ek kA sin ( t ) 2
dt 3 6 3 2 m s 2 1.03m s 2
例4 一物体作简谐振动，其振幅为0.08m，周期为4s ， 起始时刻物体在x=0.04m 处，向Ox轴负方向运动，如 图所示，试求: 由起始位置运动到-0.04m处所需的最短时间
2 3
/3
0.08 0.04 O 0.04 0.08 x/m 0.08 0.04
/3
O
0.04 0.08
x/m
解:
2 1 s T 2
而状态对应的旋转矢量如图
2 3 3 2 t s s 0.667s 3 2
例5.一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.24m,周期为 2s,当t=0时,X0=0.12m 且向X轴正方向运动,试求: （1）振动方程; 2)从x=-0.12m且向X轴正方向运动这一状态,回到平衡 位置所需的最短时间.
x A cos( t )
y A M R
振幅已知，知道位 置和速度方向，就 知道了相位
t+
M
R
0 P x
直观形象地判断相位
在简谐振动 合成时有用
例3 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s.当 t=0时，物体的位移x=0.06m,且向x轴正方向运动。求： （1）此简谐振动的表达式；（2）T/4时物体的位置、速 度和加速度；
d 2x 2 x0 2 dt
d 2 y GM e y0 2 3 dt R
满足简谐振动微分方程，故为简 谐振动。其周期为
R3 T 2 84.3 min GM e 2
O
0
R3 T 2 84.3 min GM e
2
O
0
简谐振动的能量 弹簧振子的动能
x A cos(t )
5 t t 2 t1 s 0.83s 6
如何判定一个振动是不是简谐振动？
x A cos(t )
k m
第2节：简谐振动的动力学
F kx ma
a x
2
2
称为谐振动的动 力学微分方程
k m
d x 2 x 0 2 dt
x A cos( t )
例3 一劲度系数为 k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一 端连结一质量为 m1 的物体，放在光滑的水平面上。将 一质量为m2的物体跨过一质量为M，半径为R的定滑轮 与m1相连，求其系统的振动圆频率。 解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标 原点，向右为正建立坐标。
s
由牛顿第二定律
k O
m1
kS m1 T1
4
x 7.07 10 cos( 4t )m 4
振幅已知，知道位 置和速度方向，就 知道了相位
x 7.07 10 cos( 4t )m 4
2
0.05 0.0707
O
0.0707
x/m
设第一次到平衡位置为 t时刻：
x 2 0 A cos( 4t
v 2 A sin( 4t
2
频率： 单位时间内振动的次数
1 T
2 2 T
称为角频率（或圆频率）
例如弹簧振子
k m
1 2
k m
m T 2 k
系统内在性质所决定的周期（频率 ）,称为固有周期(频率)
k
m o x
X
相位
t
在A, 已知的情况下
相位是决定振动物体运动状态的物理量
解: (1)
(2) 从初始位置到平衡 位置所需最
x A cos(t )
x 0 A cos
v0 A sin
k 15.8 12.57(rad / s) 4s 1 m 0.1
A
2 ( 0 . 628 ) 2 2 7 . 07 10 m x0 2 0.052 2 (12.57)
2 v0
0.628 v0 1 tg 12.57 0.05 x0
X0=0.05m, v0= - 0.628m/s
5 或 4 4
x 0 A cos
v0 A sin
v0 A sin 0.628m / s
sin 0
2
o
解:1
2 T
3
P
x
A
当t=0,
X0=0.12m,
V0>0；
( t1 )
t=0
所以振动方程为:
x 0.24cos( t )m 3
2 3
3 2
x
(t 2 )
2): 画出两状态对应的旋转矢量
5 转过的角度 6
( t1 )
t
5
T t 0.5s 时，从上列各式求得 4
x 0.12 cos( 0.5 )m 6 3m 0.104 m 3 v 0.12 sin( 0.5 )m s 1 0.18m s 1 3 dv 2 a 0.12 cos( 0.5 )m s 2
x A cos( t )
a A cos(t )
2
v A sin( t )
初相位
(初相)决定初始时刻物体运动状态
k m
2
三个参量的计算
由初始条件求振幅和初相
x A cos(t )
v A sin( t )
t 0, x x0 , v v0
1 dx 1 2 E Ek E p m kx 2 dt 2
2
dE 0 dt
d x 2 x0 2 dt
2
一种新的证明简谐振动、求简谐振动周期 的方法
简谐振动的动力学方程求解途径
1.由分析受力出发
(由牛顿定律转动定律 列方程)
(将能量守恒式对t求导)
2. 由分析能量出发
x 0 A cos
v0 A sin
A
v0 tg x 0
x
2 0
(
v0
)2
例1
一弹簧振子沿X轴作简谐振, k 15.8 N / m
已知物体质量为m=0.1kg. 在t=0时物体对平衡 位置的位移 X0=0.05m,速度为v0= - 0.628m/s .
求: (1) 振动方程 短时间
x
t
为相位 以逆时针旋转
任意t时刻与X轴的夹角
简谐振动的矢量图表示法
y A
M R
t+
M
t=0，A与X轴夹角为
t=t，A与X轴夹角为
t
0 P
R
x
显然任意时刻P点的坐标X
x A cos(t )
矢端在x轴上投影点的运动 2
x
6 0.833s
(t 2 )
解析法:
t1时刻 0.12 0.24 cos( t1 ) 3
- A sin(t1
1 cos( t1 ) 3 2
3
) 0
2 t1 3 3
t⒉时刻
cos( t 2
3
)0
v >0
3 t 2 3 2
t
1 s 16
4
)
4t 4 2
4
) 0
例2 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中 数据写出振动表达式。 解： x (m)
x A cos( t )
A=2m
2
2
0
当t = 0时有：
1
t (s)
x 0 2 cos 2 v 0 2 sin 0
解
x A cos(t 0 )
2 T
o
0
A
t=0时， x0 0.06m
x0
v0 0
0 3
x 0.12 cos( t
3
)
（2）由（1）中简谐振动的表达式得
x 0.12 cos( t
3
)
dx v 0.12 sin(t )m s 1 dt 3 dv 2 a 0.12 cos( t )m s 2 dt 3
动能和势能 平均来说都 不占优势
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
1 EP T
1 Ek T
T
0
1 2 1 2 2 kA cos ( t )dt kA 2 4
EP Ek
1 2 0 EK dt 4 kA
t
t
简谐振动能量与动力学方程之间的关系
复摆的振动
OC h
mghsin
d 2 I I 2 dt
O C
I为m绕O点转动的转动惯量。
mg
d 2x 2 x0 2 dt
当θ 角度很小时
mgh I
2
d m gh 0 2 dt I
2
T 2
I m gh
可见,振动的角频率、周期完全 由振动系统本身来决定。
k
m
o x
X
x A cos(t )
1 2 1 2 2 E p kx kA cos ( t ) 2 2
简谐振动的总能量：
1 2 E Ek E p kA 2
EP Ek
t
系统机械能守恒
平均动能及平均势能
1 2 2 Ek kA sin ( t ) 2
在力学的范畴内，上式依据牛顿定律、 转动定理得到该方程
单摆的振动
mglsin ml
2
d 2x 2 x0 2 dt
2 d 2 ml dt 2
Ft mg
在角位移很小的时候，上式子可写为：
d 2 g 0 2 dt l
g l
2 l T 2 g
简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间 的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动
x A cos(t )
dx v A sin( t ) dt
vm A
d 2x a 2 2 A cos(t ) dt
am A
重力：
2
o x
mg
2
d F合 xg 2
d 2x 2 x0 2 dt
d 2x d2 xg 2 dt 4m
a F合 / m
2 d 2 g 4m
例2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在 此隧道 内的运动为简谐振动，并求其振动周期。地球质 量Me和半径已知R
解:
Gm r 3 F 2 Me 3 r R
建立oy 坐标系：
O
GmM e r 3 R
0
Fy F sin
GmM e r sin 3 R
q1
kq1q2 F 2 r
q2
GmM e Fy F sin 3 r sin R GmM e y 3 R 2 GmM e d y m 2 y 3 dt R
l T 2 g
例1 质量为m的比重计放在密度 为的液体中，比重计圆管
直径为d，证明比重计经下 推后，在竖直方向的运 动 是简谐振动。
o x
设平衡时侵入液体中的体积为V,以平衡 时比重计下端为原点建立如图所示坐标
m g Vg
坐标为x时的浮力：
d 浮力： F Vg xg 2
R M
m2
T1
d2s T1 ks m1a m1 2 dt
-2
4
t = 1s时有: x=0, v<0
1
4
2
3 4
简谐振动的矢量图表示法
x A cos( t )
作坐标轴OX,自原点作一矢量A, 规定： 模 ：振幅
y A M R
t+
M
角速度：角频率
初始与X轴的夹角：初相 t=0，A与X轴夹角为
0 P
R
三个黄背底的式子可以互相推得，满足这三个关系就 是简谐振动
续： 简谐振动的动力学方程
d 2x 2 x0 2 dt
不管x是什么量, 只要它随时间的变化满 足上述微分方程，它的 变化就一定是简 谐振动的形式 , 而且其角频率就是 x系数 的平方根, 这一结论常用来判断简 谐振动 并求其周期。
k m
2
v A sin( t )
k
m o x
X
1 2 Ek mv 2 1 m 2 A2 sin 2 (t ) 2
1 2 2 kA sin ( t ) 2
Ek max
1 2 kA 2
Ek min 0
弹簧振子的势能及机械能
1 2 2 Ek kA sin ( t ) 2
dt 3 6 3 2 m s 2 1.03m s 2
例4 一物体作简谐振动，其振幅为0.08m，周期为4s ， 起始时刻物体在x=0.04m 处，向Ox轴负方向运动，如 图所示，试求: 由起始位置运动到-0.04m处所需的最短时间
2 3
/3
0.08 0.04 O 0.04 0.08 x/m 0.08 0.04
/3
O
0.04 0.08
x/m
解:
2 1 s T 2
而状态对应的旋转矢量如图
2 3 3 2 t s s 0.667s 3 2
例5.一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.24m,周期为 2s,当t=0时,X0=0.12m 且向X轴正方向运动,试求: （1）振动方程; 2)从x=-0.12m且向X轴正方向运动这一状态,回到平衡 位置所需的最短时间.
x A cos( t )
y A M R
振幅已知，知道位 置和速度方向，就 知道了相位
t+
M
R
0 P x
直观形象地判断相位
在简谐振动 合成时有用
例3 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s.当 t=0时，物体的位移x=0.06m,且向x轴正方向运动。求： （1）此简谐振动的表达式；（2）T/4时物体的位置、速 度和加速度；
d 2x 2 x0 2 dt
d 2 y GM e y0 2 3 dt R
满足简谐振动微分方程，故为简 谐振动。其周期为
R3 T 2 84.3 min GM e 2
O
0
R3 T 2 84.3 min GM e
2
O
0
简谐振动的能量 弹簧振子的动能
x A cos(t )
5 t t 2 t1 s 0.83s 6
如何判定一个振动是不是简谐振动？
x A cos(t )
k m
第2节：简谐振动的动力学
F kx ma
a x
2
2
称为谐振动的动 力学微分方程
k m
d x 2 x 0 2 dt
x A cos( t )
例3 一劲度系数为 k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一 端连结一质量为 m1 的物体，放在光滑的水平面上。将 一质量为m2的物体跨过一质量为M，半径为R的定滑轮 与m1相连，求其系统的振动圆频率。 解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标 原点，向右为正建立坐标。
s
由牛顿第二定律
k O
m1
kS m1 T1
4
x 7.07 10 cos( 4t )m 4
振幅已知，知道位 置和速度方向，就 知道了相位
x 7.07 10 cos( 4t )m 4
2
0.05 0.0707
O
0.0707
x/m
设第一次到平衡位置为 t时刻：
x 2 0 A cos( 4t
v 2 A sin( 4t
2
频率： 单位时间内振动的次数
1 T
2 2 T
称为角频率（或圆频率）
例如弹簧振子
k m
1 2
k m
m T 2 k
系统内在性质所决定的周期（频率 ）,称为固有周期(频率)
k
m o x
X
相位
t
在A, 已知的情况下
相位是决定振动物体运动状态的物理量
解: (1)
(2) 从初始位置到平衡 位置所需最
x A cos(t )
x 0 A cos
v0 A sin
k 15.8 12.57(rad / s) 4s 1 m 0.1
A
2 ( 0 . 628 ) 2 2 7 . 07 10 m x0 2 0.052 2 (12.57)
2 v0
0.628 v0 1 tg 12.57 0.05 x0
X0=0.05m, v0= - 0.628m/s
5 或 4 4
x 0 A cos
v0 A sin
v0 A sin 0.628m / s
sin 0
2
o
解:1
2 T
3
P
x
A
当t=0,
X0=0.12m,
V0>0；
( t1 )
t=0
所以振动方程为:
x 0.24cos( t )m 3
2 3
3 2
x
(t 2 )
2): 画出两状态对应的旋转矢量
5 转过的角度 6
( t1 )
t
5
T t 0.5s 时，从上列各式求得 4
x 0.12 cos( 0.5 )m 6 3m 0.104 m 3 v 0.12 sin( 0.5 )m s 1 0.18m s 1 3 dv 2 a 0.12 cos( 0.5 )m s 2
x A cos( t )
a A cos(t )
2
v A sin( t )
初相位
(初相)决定初始时刻物体运动状态
k m
2
三个参量的计算
由初始条件求振幅和初相
x A cos(t )
v A sin( t )
t 0, x x0 , v v0
1 dx 1 2 E Ek E p m kx 2 dt 2
2
dE 0 dt
d x 2 x0 2 dt
2
一种新的证明简谐振动、求简谐振动周期 的方法
简谐振动的动力学方程求解途径
1.由分析受力出发
(由牛顿定律转动定律 列方程)
(将能量守恒式对t求导)
2. 由分析能量出发
x 0 A cos
v0 A sin
A
v0 tg x 0
x
2 0
(
v0
)2
例1
一弹簧振子沿X轴作简谐振, k 15.8 N / m
已知物体质量为m=0.1kg. 在t=0时物体对平衡 位置的位移 X0=0.05m,速度为v0= - 0.628m/s .
求: (1) 振动方程 短时间
x
t
为相位 以逆时针旋转
任意t时刻与X轴的夹角
简谐振动的矢量图表示法
y A
M R
t+
M
t=0，A与X轴夹角为
t=t，A与X轴夹角为
t
0 P
R
x
显然任意时刻P点的坐标X
x A cos(t )
矢端在x轴上投影点的运动 2
x
6 0.833s
(t 2 )
解析法:
t1时刻 0.12 0.24 cos( t1 ) 3
- A sin(t1
1 cos( t1 ) 3 2
3
) 0
2 t1 3 3
t⒉时刻
cos( t 2
3
)0
v >0
3 t 2 3 2
t
1 s 16
4
)
4t 4 2
4
) 0
例2 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中 数据写出振动表达式。 解： x (m)
x A cos( t )
A=2m
2
2
0
当t = 0时有：
1
t (s)
x 0 2 cos 2 v 0 2 sin 0
解
x A cos(t 0 )
2 T
o
0
A
t=0时， x0 0.06m
x0
v0 0
0 3
x 0.12 cos( t
3
)
（2）由（1）中简谐振动的表达式得
x 0.12 cos( t
3
)
dx v 0.12 sin(t )m s 1 dt 3 dv 2 a 0.12 cos( t )m s 2 dt 3
动能和势能 平均来说都 不占优势
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
1 EP T
1 Ek T
T
0
1 2 1 2 2 kA cos ( t )dt kA 2 4
EP Ek
1 2 0 EK dt 4 kA
t
t
简谐振动能量与动力学方程之间的关系
复摆的振动
OC h
mghsin
d 2 I I 2 dt
O C
I为m绕O点转动的转动惯量。
mg
d 2x 2 x0 2 dt
当θ 角度很小时
mgh I
2
d m gh 0 2 dt I
2
T 2
I m gh
可见,振动的角频率、周期完全 由振动系统本身来决定。
k
m
o x
X
x A cos(t )
1 2 1 2 2 E p kx kA cos ( t ) 2 2
简谐振动的总能量：
1 2 E Ek E p kA 2
EP Ek
t
系统机械能守恒
平均动能及平均势能
1 2 2 Ek kA sin ( t ) 2
在力学的范畴内，上式依据牛顿定律、 转动定理得到该方程
单摆的振动
mglsin ml
2
d 2x 2 x0 2 dt
2 d 2 ml dt 2
Ft mg
在角位移很小的时候，上式子可写为：
d 2 g 0 2 dt l
g l
2 l T 2 g