山东省文登市2013-2014学年高一数学上学期期末统考试题(含解析)

某某省文登市2013-2014学年高一上学期期末统考数学试题
第Ⅰ卷非选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的.
1.下列各个对应中,构成映射的是（ ）
2.已知集合{}
20,A x x x N =-≤∈，{
}
2,B x x Z =≤∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数
为（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2 【答案】B 【解析】
试题分析：由题，得{}
02,{0,1,2}A x x x N =≤≤∈=，{}
04,{0,1,2,3,4}B x x x Z =≤≤∈=，则满足条件C 的元素的个数就是集合{3,4}的子集个数，即为4个，故选B ． 考点：集合间的包含关系．
3.化简a a a
2
12
1的结果为（ ）
A.4
1a B.31a C.2
1a D.a
4.若函数()|2|1f x x a =+-图象关于1x =对称，则实数a 的值为（ ） A.1a = B.12a =
C.1
2
a =- D.2a =-
5.一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个（ ）
A.三棱锥
B.底面不规则的四棱锥
C.三棱柱
D.底面为正方形的四棱锥 【答案】C 【解析】
试题分析：根据三视图几何体为一个倒放的三棱柱． 考点：三视图的还原．
6.如果二次函数2
3y x mx m =+++不存在零点，则m 的取值X 围是（ ） A.(,2)
(6,)-∞-+∞ B.(2,6)- C.[2,6]- D.{}2,6-
7．若点)2,3(在函数)3(log )(5m x f x
+=的图象上，则函数3
m y x =-的值域为（ ） A.),0(+∞ B.[)+∞,0 C.),0()0,(+∞-∞ D.(,0)-∞
8.圆221:230C x y x +--=与圆22
2:4230C x y x y ++++=的位置关系为 （ ）
A.两圆相交
B.两圆相外切
C.两圆相内切
D.两圆相离 【答案】A 【解析】
试题分析：∵221:(1)4C x y -+=，22
2:(2)(1)2C x y +++=，∴两圆的圆心距
d =22(12)(01)+++10=22<+A ．
考点：圆与圆的位置关系．
9.已知直线l 过点(1,2)，且在x 轴截距是在y 轴截距的2倍，则直线l 的方程为（ ）
A.250x y +-=
B.250x y ++=
C.20x y -=或250x y +-=
D.20x y -=或230x y -+=
10.已知直线,m n ，平面,αβ，下列命题中正确的是 （ ） A.αβ⊥，m α⊥，n ∥β，则m n ⊥ B.m α⊥，β⊂n ，m n ⊥，则αβ⊥ C.α∥β，m α⊥，n ∥β，则m n ⊥ D.α⊥β，m =βα ，m n ⊥，则n β⊥
11.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递减，则满足(21)f x -1()3
f >的x 取值X 围是（ ） A.)32,31( B.)32,31[ C.)32,21( D.),3
2()31,(+∞-∞ 【答案】A 【解析】
试题分析：∵()f x 在区间[0,)+∞单调递减，∴当210x -≥时，即12x ≥
时，不等式(21)f x -1()3
f >可
化为1213x -<，解得23x <，结合12x ≥可得x 的取值X 围是1223x ≤<；当210x -<时，即1
2
x <时，因为函数()f x 是偶函数(21)(12)f x f x -=-，∴不等式(21)f x -1()3f >等价于(12)f x -1
()3
f >，可
化为1123x -<，解得13x >，结合12x <可得x 的取值X 围是1132x <<，综上x 的取值X 围是12
33
x ≤<，
故选A ．
考点：函数的奇偶性与单调性
12.点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上动点，,PA PB 是圆C :2
2
20x y y +-=的两条切线，,A B 是切点，若四边形PABC 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A.2B.
212 C.663
D.2
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.若直线(2)20mx m y -++=与310x my --=互相垂直，则点(,1)m 到y 轴的距离为. 【答案】0或5 【解析】
试题分析：当0m =时，(2)2220mx m y y -++=-+=，即1y =，31310x my x --=-=，即1
3
x =，此时两直线垂直，点(,1)m 到y 轴的距离为0；当0m ≠时，由题意有213
m m
m +=-，解得5m =，点(,1)m 到y 轴的距离为5．
考点：1、直线与直线的位置关系；2、点到直线的距离．
14.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息.现有一种储蓄按复利计算利息，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，则y 随着x 变化的函数式.
15.已知正四棱锥V ABCD -，底面面积为2
16m ，一条侧棱长为211m ，则它的侧面积为.
【答案】2
1610m 【解析】 试题分析：如图：
∵正四棱锥的V ABCD -底面面积为2
16m ，∴1
22
AE AD =
=m ，在直角三角形VAE 中，斜高VE =
22VA AE -=22(211)2210-=m ，∴正四棱锥的V ABCD -的侧面积为：
142AD VE ⨯⨯⨯=1
421042
⨯⨯=210m ． 考点：棱锥的侧面积．
16.给出下列四个命题： ①函数1
y x
=-
在R 上单调递增；
②若函数2
21y x ax =++在(,1]-∞-上单调递减，则1a ≤; ③若0.70.7log (2)log (1)m m <-，则1m >-；
④若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(1)0f x f x -+-=. 其中正确的序号是.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题共2个小题，每题6分，满分12分） （1）计算3log 2
38616
1
3
2(log 4)(log 27)log 82log 33--+（2） 若11
2
2
7x x
-+= 求1
22
3
x x x x --++-的值. 【答案】（1）3-；（2）1
4
． 【解析】
试题分析：（1）利用对数恒等式、换底公式、对数的运算性质进行计算；（2）首先对已知等式进行平方求得1
x x -+的值，再对其平方可求得2
2
x x -+的值，最后代入所求式即可求得结果．
18.（本小题满分12分）定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行.
请对上面定理加以证明，并说出定理的名称及作用.
定理的作用是由“线与面平行”判断或证明“线、线平行”． 考点：1．直线与平面的概念；2．直线与直线平行的定义．
19. (本小题满分12分)设定义域为R 的函数2
1,
0,
()21,0
x x f x x x x ⎧+≤=⎨
-+>⎩ （Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数()f x 的图象，并指出()f x 的单调区间（不需证明）； （Ⅱ）若方程()20f x a +=有两个解，求出a 的取值X 围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为R 的函数()g x 为奇函数，且当0x >时，()(),g x f x =求()g x 的解析式.
单增区间：[]1,0-，[)1,+∞，单减区间(],1-∞-，[]0,1．
20.（本小题满分12分）,A B 两城相距100km ，在两地之间距A 城xkm 处D 地建一核电站给,A B 两城供电.为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于45km .已知供电费用（元）与供电距离（km ）的平方和供电量（亿度）之积成正比，比例系数0.2λ=，若A 城供电量为30亿度/月，B 城为20亿度/月. （Ⅰ）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域；
（Ⅱ）核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小，最小费用是多少？
【答案】（Ⅰ）2
1080040000y x x =-+，定义域为[45,55]；（Ⅱ）核电站建在距A 城45km 时，才能使供电费用最小，最小费用为24250元. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用供电费用＝电价×电量可建立函数，同时根据题设要求写出其定义域；（Ⅱ）根据﹙Ⅰ﹚所得函数的解析式及定义域，通过配方，根据二次函数的性质可求得最值，进而确定电站所建的位置．
试题解析：（Ⅰ）220.2300.220(100)y x x =⨯⨯+⨯⨯-，即21080040000y x x =-+，
由4510045
x x ≥⎧⎨-≥⎩得4555x ≤≤，
所以函数解析式为 21080040000y x x =-+，定义域为[45,55]．
21.（本小题满分12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，2,3PA AB AD ===，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的动点.
（Ⅰ）求三棱锥E PAD -的体积；
（Ⅱ）当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥.
【答案】（Ⅰ）
33；（Ⅱ）EF 与PAC 平面平行；（Ⅲ）证明见解析． 【解析】
试题分析：﹙Ⅰ﹚将PA 为高，ADE ∆为底面可根据条件直接求得体积；（Ⅱ）根据三角形的中位线的性质及线面平行的判定性质易判断E 为BC 的中点时，有EF 与PAC 平面平行；（Ⅲ）根据条件只须证明AF ⊥平面PBC ，进而转化为证明AF PB ⊥与BC AF ⊥即可，
试题解析：（Ⅰ）解：∵PA ⊥⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，
∴E PAD P ADE V V --==113322323
⨯⨯⨯⨯=．
22．（本小题满分14分）已知圆C 的圆心在直线4y x =-上，且与直线10x y +-=相切于点(3,2)P -. （Ⅰ）求圆C 方程；
（Ⅱ）点M (0,1)与点N 关于直线0x y -=对称.是否存在过点N 的直线l ，l 与圆C 相交于,E F 两点，且使三角形22OEF S ∆=（O 为坐标原点），若存在求出直线l 的方程，若不存在用计算过程．．．．
说明理由.。