2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 861 直线与直线垂直 作业

第八章8.68.6.1直线与直线垂直
A级——基础过关练
1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()
A．相交B．异面
C．相交或异面D．平行
【答案】C【解析】如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】B【解析】连接A1B，BC1.∵E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，∴A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角(或其补角)．连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.
3．(2020年株洲期末)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()
A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°
【答案】D【解析】将展开图还原成正方体如右图．∵AB∥DE，∴∠CDE(或其补角)是AB与CD所成角．∵CD＝DE＝CE，∴∠CDE＝60°.∴在原来的正方体中AB与CD所成的角为60°.故选D．
4．在下列图形中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()
A．①②B．②④
C．③④D．②③④
【答案】B【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平
面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG (图略)，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．故选B ．
5．如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12
BD ＝3，∴MN ＝5.
6．(2020年兰州期末)已知正四棱锥P -ABCD ，P A ＝2，AB ＝2，M 是侧棱PC 的中点，且BM ＝2，则异面直线P A 与BM 所成角为________．
【答案】45° 【解析】如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接OM ，则∠OMB 为异面直线P A 与BM 所成角．由O ，M 分别为AC ，PC 中点，得OM ＝1
2P A ＝1.在Rt △AOB 中，易得
OB ＝AB ·tan·45°＝1.又BM ＝2，即OB 2＋OM 2＝BM 2，所以△OMB 为直角三角形，且∠OMB ＝45°.
7．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′. (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．
【答案】(1)60° (2)45° 【解析】连接BA ′，则BA ′∥CD ′.连接A ′C ′，则∠A ′BC ′(或其补角)为BC ′与CD ′所成的角．由△A ′BC ′为正三角形，可知∠A ′BC ′＝60°.由AD ∥BC ，可知∠C ′BC (或其补角)为AD 与BC ′所成的角，易知∠C ′BC ＝45°.
8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中． (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；
(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 解：(1)如图所示，连接B 1C ，AB 1.
由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角(或其补角)．
∵AB 1＝AC ＝B 1C ，
∴∠B1CA＝60°，即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD，交AC于O.
易知BD∥EF，AC∥A1C1，
∴∠AOB(或其补角)为A1C1与EF所成的角．
∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，即A1C1与EF所成角为90°.
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
解：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
B级——能力提升练
10．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是() A．60°B．75°
C．90°D．105°
【答案】C【解析】设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝3，B1C2＝3，AC2＝6，所以AC22＝AB21＋B1C22，则∠AB1C2＝90°.
11．(多选)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是()
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
【答案】ABD【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A 错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成
的角就是AE 与BC 所成的角，而E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，即AE 与B 1C 1所成的角为90°，D 错误．
12．(2019年江西师大附中月考)已知a 和b 是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a ，b 都成60°角的直线共有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
【答案】C 【解析】把a 平移至a ′与b 相交，其夹角为60°，60°角的补角的平分线c 与a ，b 成60°角，过空间这一点作直线c 的平行线即满足条件．在60°角的“平分面”上还有两条满足条件．故选C ．
13．(2018年新课标Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )
A ．1
5
B ．5
6 C ．
5
5
D ．
22
【答案】C 【解析】如图，连接BD 1，交DB 1于点O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角(或其补角)．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，
AA 1＝3，AD 1＝
AD 2＋DD 21＝2，
DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝5
2，DB 1＝
AB 2＋AD 2＋DD 21
＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝5
2.于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD
＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5
22
2×1×
5
2
＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.故选C ．
14．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．
【答案】③④ 【解析】①中AM 与CC 1是异面直线；②中AM 与BN 是异面直线；易知③④正确．
15．在四面体A -BCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，求EF 的长度．
解：如图，取BC 中点O ，连接OE ，OF .∵OE ∥AC ，OF ∥BD ，∴OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角．
而AC ，BD 所成的角为60°， ∴∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°. 当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12
；
当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，连接OM ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×
34＝3
2
. 16．如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF .在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，所以EF ∥CD ．所以∠BEF (或其补角)即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角．
在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，所以AB ＝AC ＝1.
在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝1
2，AE
＝12，所以EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝5
2
. 在等腰三角形EBF 中， cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2
452
＝10
10
.
所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为
1010
. C 级——探索创新练
17．如图，三棱锥A -BCD 中，AC ⊥BD ，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，并使AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝m (m ＞0)，设α为异面直线EF 和AC 所成的角，β为异面直线EF 和BD 所成的
角，试求α＋β的值．
解：过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，则CM∶MB＝CF∶FD＝m.
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝AE∶EB．
所以EM∥AC．
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE.
所以AC与BD所成的角为∠EMF.
又因为AC⊥BD，所以∠EMF＝90°.
所以α＋β＝90°.。