『2018高考名师推荐-全国通用』高考总复习数学(理)第一次模拟考试试题及答案解析一

2018年高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．已知集合M={x|≥1}，N={y|y=1﹣x2}，则M∩N=（）
A．（﹣∞，2] B．（0，1] C．（0，2] D．[0，1]
2．复数﹣=（）
A．0 B．2 C．﹣2i D．2i
3．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）
4．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01，02，03…70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（）（注：下表为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．
A．07 B．44 C．15 D．51
5．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的
和，则（n∈N+）的最小值为（）
A．4 B．3 C．2﹣2 D．
6．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=（）
A．B．C．D．
7．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）
A．8+B．8+2 C．2+2+D．16+2
8．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，
则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
9．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（）
A．B．C．D．
10．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A ．
B ． +1
C ．
D ．﹣1
11．在菱形ABCD 中，A=60°，AB=
，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，若二面角P ﹣
BD ﹣C 的大小为
，则三棱锥P ﹣BCD 的外接球体积为（ ）
A ．π
B ．π
C ．
π D ．π
12．关于函数f （x ）=+lnx ，下列说法错误的是（ ）
A ．x=2是f （x ）的极小值点
B ．函数y=f （x ）﹣x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立
D ．对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）=f （x 2），则x 1+x 2＞4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若
，则△
ABC 的面积为 ．
14．如图在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=4，
=3， •=2，则•的值是 ．
15．已知双曲线mx 2﹣ny 2=1（m ＞0、n ＞0）的离心率为2，则椭圆mx 2+ny 2=1的离心率为 ．
16．若在定义域内存在实数x ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），称f （x ）为“局部奇函数”，若f （x ）=4x ﹣m2x+1+m 2﹣3为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=
．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n=n（2﹣S n），n∈N*，若b n≤λ，n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
18．在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为x、y，设
o为坐标原点，点p的坐标为（x﹣2），x﹣y），记ξ=||2．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，
BC=CD=AE=EF==1．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求证：BE⊥AF；
（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E﹣MD﹣A的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）有一公共点，抛物线
C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是（，﹣2）．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆
C1分别交于点E，F，求•的取值范围．
21．设函数f（x）=﹣ax．
（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；
（2）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．（其中e为自然对数的底数）
四.请考生在23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：
θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（2）若当x∈（﹣1，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．已知集合M={x|≥1}，N={y|y=1﹣x2}，则M∩N=（）
A．（﹣∞，2] B．（0，1] C．（0，2] D．[0，1]
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式≥1，解得：0＜x≤2，即M=（0，2]，
由N中y=1﹣x2≤1，得到N=（﹣∞，1]，
则M∩N=（0，1]，
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．复数﹣=（）
A．0 B．2 C．﹣2i D．2i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】直接通分，然后化简为a+bi（a、b∈R）的形式即可．
【解答】解：﹣=﹣=﹣
=i+i=2i．
故选D．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．
3．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）
【考点】选择结构．
【专题】图表型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计
算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合
输出的函数值在区间内，即可得到答案．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．
又∵输出的函数值在区间内，
∴x∈[﹣2，﹣1]
故选B
【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．
4．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01，02，03…70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（）（注：下表为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．
A．07 B．44 C．15 D．51
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题；整体思想；定义法；简易逻辑．
【分析】从随机数表找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29，64，56，07，52，42，44，问题得以解决．
【解答】解：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29，64，56，07，52，42，44，故选出的第7个个体是44，
故选：B．
【点评】本题考查随机数表的应用，抽样方法中随机数表的使用，考生不要忽略，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
5．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的
和，则（n∈N+）的最小值为（）
A．4 B．3 C．2﹣2 D．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，
从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，
∴（1+2d）2=1+12d．
得d=2或d=0（舍去），
∴a n =2n﹣1，
∴S n==n2，
∴=．
令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4
当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
6．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线
且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=（）
A．B．C．D．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，
则∠OPB最大，
∵sin∠OPB==，
∴只要OP最小即可．
则P到圆心的距离最小即可，
由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，
此时|OP|=，|OA|=1，
设∠APB=α，则，即sin==，
此时cos α=1﹣2sin 2
=1﹣2×（）2=1﹣=，
即cos ∠APB=．
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．
7．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）
A ．8+
B ．8+2
C ．2+2+
D ．16+2
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；立体几何．
【分析】由题意判断几何体的形状，画出图形，从而求各个三角形的面积即可．
【解答】解：由题意作图如右，
△ABC 与△ADC 是全等的直角三角形，
其中AB==3，BC=2，
故S△ADC=S△ABC=×2×3=3，
△BDC是等腰直角三角形，
BC=CD=2，
故S△BCD=×2×2=2，
△ADB是等腰三角形，
AB=AD=3，BD=2，
故点A到BD的距离d==，
故S△BAD=×2×=，
故表面积S=3+3+2+=8+，
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查学生的空间想象力与数形结合的思想应用．
8．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，
则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ
=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．
【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2
（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，
∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），
由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]
∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
9．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率．
【专题】计算题．
【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．
【解答】解：展开式的通项为
∴展开式的前三项系数分别为
∵前三项的系数成等差数列
∴解得n=8
所以展开式共有9项，
所以展开式的通项为=
当x的指数为整数时，为有理项
所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项
所以有理项不相邻的概率P=．
故选D
【点评】解决排列、组合问题中的不相邻问题时，先将没有限制条件的元素排起来；再将不相邻的元素进行插空．
10．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A．B．+1 C．D．﹣1
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．
【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，
∴|PA|=m|PN|
∴=，
设PA的倾斜角为α，则sinα=，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），
即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），
∴双曲线的离心率为=+1．
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．
11．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣
BD﹣C的大小为，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（）
A．πB．π C．πD．π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．
【分析】取BD中点E，连接AE，CE，则∠AEC=，AE=CE=，建立方程组，求出三棱锥P ﹣BCD的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣BCD的外接球体积．
【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC=，PE=CE=
设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，
三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径为R ，则，
∴R=，h=，
∴三棱锥P ﹣BCD 的外接球体积为=． 故选：C ．
【点评】本题考查三棱锥P ﹣BCD 的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径是关键．
12．关于函数f （x ）=+lnx ，下列说法错误的是（ ）
A ．x=2是f （x ）的极小值点
B ．函数y=f （x ）﹣x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立
D ．对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）=f （x 2），则x 1+x 2＞4
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：f ′（x ）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增， ∴x=2是f （x ）的极小值点，即A 正确；
y=f （x ）﹣x=+lnx ﹣x ，∴y ′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x →0，y →+∞，∴函数y=f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确；
f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，
令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，
∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．
故选：C．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则△
ABC的面积为．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．
【分析】利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．
【解答】解：∵A+C=2B，A+B+C=π，
∴B=，
由余弦定理得cosB===，
解得c=2或c=﹣1（舍）．
∴S△ABC=sinB==．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．
14．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=4，=3，•=2，则•的值是4 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知把、用表示，代入•=2，展开多项式乘多项式得答案．
【解答】解：如图，
由•=2，得，
∴，
即．
∴16﹣，
解得：•=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．
15．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0、n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得离心率，化简可得m=3n，再将椭圆方程化为标准方程，代入离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1即为﹣=1，
可得离心率为=2，
化简可得m=3n，
则椭圆mx2+ny2=1即为+=1，
可得离心率为===．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于中档题．
16．若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）=4x
﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是1﹣．．【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据“局部奇函数”，可知函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，结合指数函数的性质，利用换元法进行求解．
【解答】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，
即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），
∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，
即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．
设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，
∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，
设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，
对称轴x=，
①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，
即m2≤8，
∴﹣2，此时2，
②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，
则，
即，
解得1﹣，
综上：1﹣．
故答案为：1﹣．
【点评】本题主要考查函数的新定义，利用函数的新定义得到方程有解的条件，利用换元法将方程转化为一元二次方程有解的问题去解决是解决本题的关键．综合考查了二次函数的图象和性质．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=n（2﹣S n），n∈N*，若b n≤λ，n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）由已知得，其中n∈N*，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的其前n项和公式即可得出．
【解答】解：（1）由已知得，其中n∈N*，
∴数列是公比为的等比数列，首项，
∵，∴，
（2）由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
因此，，
∴当n=1，b2﹣b1＞0，即b2＞b1，n≥2，b n+1﹣b n＜0，即b n+1＜b n．
∴b2是最大项b2=2，
∴λ≥2．
【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为x、y，设
o为坐标原点，点p的坐标为（x﹣2），x﹣y），记ξ=||2．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）x，y可能的取值为1、2、3，仅有x=1，y=3或x=3，y=1时随机变量ξ的最大值为5，可得符合题意的基本事件有2个，而总的基本事有件3×3=9种，由古典概型可得概率；（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5，同（1）的求法分别可求得概率，列表可得分布列，由期望的定义可得期望值．
【解答】解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x﹣2|≤1，|y﹣x|≤2，
∴ξ=（x﹣2）2+（x﹣y）2≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，
因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=；
（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，
ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，
故随机变量ξ的分布列为：
ξ0 1 2 5
P
因此数学期望Eξ==2
【点评】本题考查离散型随机变量及分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．
19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，
BC=CD=AE=EF==1．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求证：BE⊥AF；
（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E﹣MD﹣A的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．
【分析】（I）作FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，由题设条件推导出四边形AEFG为正方形，从而得到CDAG为平行四边形，由此能够证明CE∥面ABF．
（Ⅱ）利用已知条件推导出BG⊥面AEFG，从而得到AF⊥平面BGE，由此能够证明AF⊥BE．（Ⅲ）以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能够求出结果．
【解答】（I）证明：如图，作FG∥EA，AG∥EF，
连结EG交AF于H，连结BH，BG，
∵EF∥CD且EF=CD，
∴AG∥CD，即点G在平面ABCD内．
由AE⊥平面ABCD，知AE⊥AG，
∴四边形AEFG为正方形，
∴CDAG为平行四边形，…
∴H为EG的中点，B为CG中点，∴BH∥CE，
∴CE∥面ABF．…
（Ⅱ）证明：∵在平行四边形CDAG中，∠ADC=90°，
∴BG⊥AG．又由AE⊥平面ABCD，知AE⊥BG，
∴BG⊥面AEFG，∴BG⊥AF．…
又∵AF⊥EG，∴AF⊥平面BGE，
∴AF⊥BE．…
（Ⅲ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为z轴，AD为y轴，
建立空间直角坐标系A﹣xyz．
由题意得：A（0，0，0），G（1，0，0），E（0，0，1），D（0，2，0），
设M（1，y0，0），则，，
设面EMD的一个法向量=（x，y，z），
则，令y=1，得z=2，x=2﹣y0，
∴=（2﹣y0，1，2）．…
又∵，
∴为面AMD的法向量，
∵二面角E﹣MD﹣A的大小为，
∴|cos＜＞|=||=cos=，
解得，
∴在BC上存在点M，且|CM|=||=．…
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意向量法的合理运用．
20．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）有一公共点，抛物线
C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是（，﹣2）．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆
C1分别交于点E，F，求•的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由准线方程y=﹣2，可得抛物线的方程；再由椭圆的焦点坐标，可得椭圆的c=2，运用椭圆的定义可得a，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）设点P（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），求得切线的斜率，得到切线AP的方程，求得AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）抛物线C2的准线方程是y=﹣2，
所以，所以抛物线C2的方程是：x2=8y，
椭圆的焦点坐标是（0，﹣2），（0，2），
所以c=2，，
所以，即椭圆C1的方程是+=1；
（2）设点P（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），
抛物线方程可以化为：，，
所以AP的方程为：，
所以，即，同理：，
所以直线AB的方程为：，
将直线AB方程代入椭圆C1的方程得到：（t2+32）x2+16tx﹣64=0，
则△=256t2+256（t2+32）＞0，
且，
所以，
因为，
所以的取值范围是（﹣8，2]．
【点评】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线及椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程或抛物线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．
21．设函数f（x）=﹣ax．
（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；
（2）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．（其中e为自然对数的底数）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】（1）求f（x）=的定义域，再求导f′（x）==b，从而讨论确定函数的单调性；
（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，从而可得当x2=e2时，f′（x2）+a有
最大值，从而只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤0，从而可得a≥﹣，从而解得．
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）==b，
①当b＞0时，x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调增区间为（e，+∞）；
②当b＜0时，x∈（0，1）∪（1，e）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调增区间为（0，1），（1，e）；
（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，
故f′（x2）+a==﹣（﹣）2+，
故当x2=e2时，f′（x2）+a有最大值，
故只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤，
故﹣ax1≤，
即a≥﹣，
令g（x）=﹣，g′（x）=；
故g （x ）=﹣
在[e ，e 2]上是减函数，
g （e ）=1﹣
，g （e 2）=﹣
；
故只需使a ≥﹣
；
故实数a 的最小值为﹣
．
【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的化简与应用．
四.请考生在23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（φ为参数），曲线C 2的参数方
程为
（a ＞b ＞0，φ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：
θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
（II ）设当α=
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=﹣
时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，
B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
【考点】参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合． 【专题】压轴题．
【分析】（I ）有曲线C 1的参数方程为
（φ为参数），曲线C 2的参数方程为
（a ＞b ＞0，φ为参数），消去参数的C 1是圆，C 2是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交点间的距
离为2，当α=
时，这两个交点重合，求出a 及b ．
（II ）利用C 1，C 2的普通方程，当α=
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=﹣
时，l
与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，利用面积公式求出面积． 【解答】解：（Ⅰ）C 1是圆，C 2是椭圆．
当α=0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0）， 因为这两点间的距离为2，所以a=3
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），
因为这两点重合
所以b=1．
（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，
与C2交点B1的横坐标为．
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，
B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为．
【点评】此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（2）若当x∈（﹣1，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=2时，不等式即|x﹣2|≥1，可得x﹣2≥1，或x﹣2≤﹣1，解得x的范围，可得不等式的解集．
（2）由于f（x）的解析式及a＞0，可得函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，
可得f（﹣2）=a﹣2≥0，由此求得a的范围．
【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x﹣2|≥1，
∴x﹣2≥1，或x﹣2≤﹣1．
解得x≤1，或x≥3，
故不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}．
（2）∵f（x）=，a＞0，
故函数f（x）在它的定义域（﹣1，+∞）上是增函数．
再由f（x）＞0在它的定义域（﹣1，+∞）上恒成立，
可得f（﹣1）=a﹣1≥0，解得a≥1．
故a的范围是[1，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，属于中档题．。