高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》专项训练及解析答案

【高中数学】高考数学《空间向量与立体几何》练习题
一、选择题
1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A
ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．12
【答案】A
【解析】
由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD 上的动点，
且线段12PP 平行于平面11121,A
ADD PP B AD B ∆~∆， 设1,(0,1)PB x x =∈，即122
2,PP x P =到平面11AA B B 的距离为x ， 所以四棱锥121PP AB 的体积为2111(1)1()326V x x x x =
⨯⨯-⨯⨯=-， 当12x =时，体积取得最大值124
，故选A ．
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
2．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）.
A 10
B ．3:1
C ．2:1
D 102
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧
面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长22910l r r r =+=， ∴圆锥SC 的侧面积为210rl r ππ=；
圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ，
又圆锥的体积23133V r r r ππ=⋅=，234r h r ππ∴=，4
r h ∴=， ∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ⋅==，
∴圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为2210:10:1r r ππ=.
故选：A .
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
3．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移32
厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）
A ．2颗
B ．3颗
C ．4颗
D ．5颗
【答案】C
【解析】
【分析】 利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可.
【详解】
如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ====
所以60A ∠=︒，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：
()22319133MN CN IM CN IM cm ππ⋅⋅++⋅= 空瓶的体积为：()222
1
3LN CN EL CN EL EL KL ππ⋅++⋅+⋅⋅ 633363993888
πππ=+= 所以需要石子的个数为：()99329783,491913π
π
=∈ 所以至少需要4颗石子
故选：C
【点睛】
本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.
4．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）
A ．66立方尺
B ．78立方尺
C ．84立方尺
D ．92立方尺
【答案】C
【解析】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，CH ，
ADE BGH B CGHF V V V --=+，计算得到答案.
【详解】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，CH ， 故多面体的体积11()7332
ADE BGH B CGHF V V V S AB CG HF --=+=⋅+⨯+⨯⨯直截面 111736(42)7384232
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222
S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C.
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
6．已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于（ ）
A ．4：3
B ．3：4
C ．16：9
D ．9：16 【答案】C
【解析】
【分析】
由圆锥的母线与底面所成的角等于60°，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其表面积，根据圆锥内接于球O ，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，可求比值．
【详解】
设圆锥底面直径为2r ，圆锥的母线与底面所成的角等于60°，
则母线长为2r ，高为3r ， 则圆锥的底面积为：2r π，侧面积为
1222r r π⋅， 则圆锥的表面积为2212232
r r r r πππ+⋅=， 该圆锥内接于球O ，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r 的等边三角形的
内切圆，则半径为32R r =，表面积为221643r R ππ=， 则球O 与圆锥的表面积之比等于2
216:316:93
r r ππ=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题．
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A ．132π
B ．7π
C ．152π
D ．8π
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
【详解】 由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：22141212274
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
故选：B ．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
8．已知平面α⊥平面β
，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案.
【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂，
当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立， 反之当a b ⊥r r 时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r 的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
9．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A ．PA ，P
B ，P
C 两两垂直
B ．三棱锥P -AB
C 的体积为83 C ．||||||6PA PB PC ===
D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为35
【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得.
【详解】 解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，
其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC .
所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323
⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=
222
PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，
即,PA ,PB PC 不可能两两垂直， 1222222PBA S ∆=⨯=Q ()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=Q ∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522
故正确的为C.
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.
【详解】
①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；
③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；
④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；
故选C.
【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
11．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；
②若//αβ，m α⊥，则m β⊥；
③若//m α，//n α，则//m n ；
④若m α⊥，αβ⊥，则//m β.
其中真命题的序号为（ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
【答案】A
【解析】
【分析】 逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.
【详解】
对于命题①，若//n α，过直线n 作平面β，使得a αβ⋂=，则//a n ，m α⊥Q ，a α⊂，m a ∴⊥，m n ∴⊥，命题①正确；
对于命题②，对于命题②，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，命题②正确；
对于命题③，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，命题④错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
12．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，则1AC 与侧面11ABB A 所成的角是( )
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】A
【解析】
【分析】 以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1AC 与侧面11ABB A 所成的角．
【详解】
解：以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则3(a A ，2a ，0)，1(0C ，02)a ，13(a A 2
a 2)a ，(0B ，a ，0)， 13(a AC =u u u u r ，2a -2)a ，3(a AB =u u u r ，2a ，0)，1(0AA =u u u r ，02)a ， 设平面11ABB A 的法向量(n x =r ，y ，)z ，
则13·02·2
0a a n AB x y n AA az ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1n =r ，3，0)， 设1AC 与侧面11ABB A 所成的角为θ， 则111||31sin |cos ,|2
||||23n AC a n AC n AC a θ=<>===r u u u u r r u u u u r g r u u u u r g ， 30θ∴=︒，
1AC ∴与侧面11ABB A 所成的角为30°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
13．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
14．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
15．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ） A ．36π B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解． 【详解】 解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC == 由11
32322732
DE ⨯
⨯=，解得9DE =，
则2
1AE EF DE
==．
∴球O 的直径为10DE EF +=， 则球
O 的半径为
1
1052
⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=． 故选C ． 【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥
SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:28 【答案】A 【解析】 【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r 的关系，从而得到圆锥的高与r 关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R 与r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ， 侧面积与底面积的比为2
πrl 2l
r r
π==,则母线l=2r,圆锥的高为h=223l r r -=, 则圆锥的体积为
23
13πh 3r r π=, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=3r R -,BD=r, 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得2
2
2
OB OD BD =+,即(
)
2
22
3R r r R =+
-,
展开整理得R=,3r 所以外接球的体积为33
344333393
R r ππ=⨯=, 故所求体积比为3
3393323293
r
r ππ=
故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
17．四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，下列说法错误的是（ ）
A ．MN 与PD 是异面直线
B ．//MN 平面PB
C C ．//MN AC
D ．MN PB ⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A 、B 、C 的正误，由线线垂直可判断选项D ． 【详解】
由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，
M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确； 取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，
四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，
M Q 、H 分别为PA 、PB
的中点，则//MH AB 且12
MH AB =， N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形， //MN CH ∴，且MN ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正确；
若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ⋂=，C 选项错误；
PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.
故选：C ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题.
18．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1，此
三棱柱的高为 A ．
323
π
B ．
163
π
C ．
83
π D ．
643
π
【答案】A 【解析】 【分析】
求得该直三棱柱的底面外接圆直径为22r ==，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】
由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为221r r ==⇒=，
根据球的性质，可得外接球的直径为24R ==
=，解得
2R =，
所以该三棱柱的外接球的体积为343233
V R ππ==，故选A. 【点睛】
本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
19．等腰三角形ABC 的腰5AB AC ==，6BC =，将它沿高AD 翻折，使二面角
B AD
C --成60︒，此时四面体ABC
D 外接球的体积为（ ）
A ．7π
B ．28π
C D 【答案】D 【解析】 分析：
详解：由题意，设BCD ∆所在的小圆为1O ，半径为r ，
又因为二面角B AD C --为060，即060BDC ∠=，所以BCD ∆为边长为3的等边三角形，
又正弦定理可得，0
3
2sin 60r =
=BE =
设球的半径为R ，且4=AD ，
在直角ADE ∆中，()2
222224428R AD DE R =+⇒=+=，
所以R =
，所以球的体积为334433V R ππ==⨯=
，故选D ．
点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.
20．已知直线
和不同的平面
，下列命题中正确的是
A ．//m m αβαβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
B ．m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭
C ．//////m m ααββ⎫⇒⎬⎭
D ．////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
对各个选项逐一进行分析即可 【详解】
A ，若αβ⊥，m β⊥，则有可能m α⊂，故A 错误
B ，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β不一定垂直，可能相交或平行，故B 错误
C ，若//m α，//m β则推不出//αβ，面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一
个平面平行，故C 错误
D ，若//αβ，m α⊂，则有//m β，故D 正确
故选D 【点睛】
本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质，在对其判定时需要运用其平行的判定定理或者性质定理，所以要对课本知识掌握牢固，从而判断结果。