四川省万源市第三中学校高级测试理科数学试卷5

万源市第三中学校高2009级测试理科数学试卷5
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.下列图中，矩形区域表示全集I ，集合A 、B 是圆形区域，则阴影部分表示[C I (A ∩B)]∩(A ∪B)的是（ ）
2.对任意实数c b a ,,，“bc ac >”是“b a >”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.已知角α的终边经过点)1,3(-，则角α的最小正值是（ ） A.
π3
2
B.
π6
11 C.
π6
5 D.
π4
3 4.函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是（ ） A.)0(log 13>+=x x y
B.)31(log 13<≤+=x x y
C.)0(log 13>+-=x x y
D.)31(log 13<≤+-=x x y
5.平面α∩面β=m ，直线l ∥α，l ∥β ，则（ ） A.m ∥l
B.m ⊥l
C.m 与l 异面
D.m 与l 相交
6.将直线12+=x y 按向量n )1,3(-=平行后的得到的直线方程是（ ）
A.82+=x y
B.62-=x y
C.62+=x y
D.42-=x y
7.m x )1(+展开式中2
x 项的系数等于数列{}n a ：305+=n a n 的第三项，则=m ( ) A.9- B.9 C.10 D.11
8.将20名城市义工（其中只有2名女性）平均分成两组，女性不在同一组的概率是（ ）
A.10
20
91812C C C
B.10
20
818122C C C
C.10
20
919122C C C
D.10
20
81812C C C 9.已知两点)2,0(),0,2(B A -，点P 是曲线C ：⎩⎨⎧=+=a
y x sin cos 1α
上任意一点，则△ABP 面积的最小值是（ ）
A.23+
B. 2
C.3
D. 23-
10.给出下列四个命题：①过平面外一点与该平面成θ的直线有无数条；②一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面互相平行；③过空间任意一点有且只有一个平面与两异面直线都平行；④半径为R 的球与正方体六个面都相切，则球心到正方体的一个顶点的距离是R 3。

其中正确命题的个数为（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
11.已知△ABC 中，B =600,设=c ，=a ，=b ，则函数=)(x f 2ac x 2+2|b |x +1的图象可能是（ ）
12. 椭圆C 1：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左准线为l ，21,F F 分别为左、右焦点，抛物线C 2的准线也是l ，
焦点为2F ,且C 1与C 2的一个交点为P ，则=-
2
11
21PF PF PF F F ( )
A.1-
B.2
1
-
C.1
D.
2
1 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卷相应的横线上。

13.已知y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+1
24
2x y x y x ，则22+-=x y z 的取值范围是 。

14.复数)2)(1(i ai -+的实部与虚部相等，则实数a = 。

15. 过双曲线14
32
2=-y x 上一点P 作x 轴的平行线交两渐线于Q 、R 两点，
= 。

16.已知)(x f 为R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=-，以下命题：①0)2(=f ；②)(x f 是以4为周期的函数；③)(x f 的图象关于0=x 对称；④)()2(x f x f -=+。

其中，正确命题的序号为 。

班别 姓 考号 密 封 线
万源市第三中学校高2009级测试理科数学试卷5
一、 13. 。

14. 。

15. 。

16. 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17.（满分12分）已知向量a =)1,1(-，b =)2
0)(5
3
,(sin π
<<x x ，且a ⊥b
（Ⅰ）求x cos 的值；（Ⅱ）求)4
2sin(π
+
x 的值。

18.（满分12分）2008年5月12日四川省汶川发生8.0级地震，通往灾区的道路全部中断。

5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南西北四个方向各一支队伍）、空中（一支队伍）同时向灾区挺进。

已知在5月13日，从水路抵达灾区的概率是21，从空中抵达灾区的概率是4
1
，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是
2
1
.（Ⅰ）求在5月13日从水路或空中有队伍抵达灾区（即从水路和空中至少有一支队伍抵达灾区）的概率；（Ⅱ）求在5月13日至少有4支队伍抵达灾区的期望。

19.（满分12分）如图，平面ACB ⊥平面BCD ,∠CAB =∠CBD =900, ∠BDC =600
,BC =6,AB =AC . （Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求二面角A -CD -B 的平面角的正切值； （Ⅲ）设过直线AD 且与BC 平行的平面为α，求点B 到平面α的距离。

20. （满分12分）设0a ≥，2
()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()(
)F x x f x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
21. （满分12分）在由正数组成的两个数列{}{}n n b a ,中，已知1,+n n a a 是关于x 的方程
0212
2=+-+n n n n b b a x b x 的两根。

（Ⅰ）求证 数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）已知,6,221==a a 分别求数列{}{}n n b a ,的通项公式；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的前提下，令数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n b 2的前n 项和n S ，证明：3<n S
22. （满分14分）
已知A 、B 是椭圆2822=+y x 上两点，O 是坐标原点，定点)0,1(E ，向量、在向量方向上的投影分别是m 、n ，且-=⋅7mn ，动点P 满足+= （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点E 的直线l 与C 交于两个不同的点M 、N ，求⋅的取值范围。

理05参考答案
一、选择题 1B,2D,3B,4D,5A,6A,7C,8A,9D,10B,11B,12C
二、填空题 13.[]0,1- 14.3 15. 3 16.①②④（填对一个得1分，填对二个得2分，填对三个得4分，如果出现③均得0分） 三、解答题
17.解（Ⅰ）∵a ⊥b ，a =)1,1(-，b =)53,(sin x ，∴053sin =+-x ，∴5
3sin =x ∵2
0π
<
<x ，∴5
4
cos =
x …………………………………………6分 （Ⅱ）)sin 21cos sin 2(2
2)2cos 2(sin 22)4
2sin(2x x x x x x -+=+=
+
π
50
2
31)2592154532(22=
⨯-+⨯⨯=
…………………………………………12分. 18.解（Ⅰ）设“队伍从水路抵达灾区”为事件A ，“队伍从空中抵达灾区”为事件B ， ∴5月13日从水路或空中抵达灾区的概率为
[][]
8
5
)411()211(1)(1)(11=-⨯--=-⋅--=B P A P P …………………………5分
答：5月13日从水路或空中有队伍抵达灾区的概率为8
5。

…………………………6分
（Ⅱ）设5月13日抵达灾区的队伍数为ξ，则
1282541)21()21(4321)21()4(2335445=+⋅==C C P ξ,…………………………7分 1288
4121)21(43)21()5(4455=⋅+==C P ξ,…………………………8分
1281
41)21()6(5===ξP ,…………………………9分
∴64
731281612885128254=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………11分 答：5月13日至少有4支队伍抵达灾区的期望为64
73。

…………………………12分
19. （Ⅰ）证明 ∵平面ACB ⊥平面BCD ，∠CBD =900
，
∴DB ⊥平面ACB , ∴DB ⊥CA .又∠CAB =900
，∴CA ⊥平面ADB ∴平面ACB ⊥平面BCD . …………………………4分
（Ⅱ）解 设BC 的中点为E ，作EF ⊥CD ，垂足为F ，连结AF 。

∵AC =AB ，∴AE ⊥BC ，∵平面ACB ⊥平面BCD ， ∴AE ⊥平面BCD , ∴FE 是AF 在平面BCD 内的射影， ∴AF ⊥CD ,
即∠AFE 就是二面角A -CD -B 的平面角。

…………………6分 在等腰直角△ABC 中，斜边BC =6, ∴AE =3，且CE =3, 在Rt △CEF 中，∠ECF =300
, ∴EF =
2
3,
∴tan ∠AFE =
2=EF
AE
，即二面角A -CD -B 的平面角的正切值是2. …………………8分 （Ⅲ）解 如图，设DC 的中点为G ，分别以直线EG 、EB 、EA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系E -xyz .
∴A (0,0,3),B (0,3,0),D (32,3,0)
)3,3,32(--=DA ,)0,3,0(=EB ，)0032(，，BD =
设过AD 和BC 平行的平面α的一个法向量是n =（a ,b ,c ），则有
0),,)(3,3,32(=--c b a 且0),,)(0,3,0(=c b a ，即 03332=+--c b a 且3b =0,取3=a 得n=)20,3(，，
∴点B 到α的距离d
7
7
6)
2,0,3()
2,0,3()0,0,32(=
⋅=。

…………………12分 20.（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22
()10x F x x x x
-'=-=
>，，…………3分 列表如下：
故知()F x 在(02)，
内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．…………………………………………6分
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．
于是由上表知，对一切(0)x ∈+，
∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，
∞内单调增加．……………………9分 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．……………………12分
21. （Ⅰ）证明 ∵1,+n n a a 是关于x 的方程0212
2=+-+n n n n b b a x b x 的两根，
∴212n n n b a a =++------①，11++=⋅n n n n n b b a a a
由于0>n a ，∴11++=n n n b b a ，即)2(1≥=-n b b a n n n -------②
将②代入① 2112n n n n n b b b b b =++-，因为0>n b ，所以n n n b b b 211=++-，即
)2(11≥-=--+n b b b b n n n n ,∴数列{}n b 是等差数列。

…………………4分
（Ⅱ）解 ∵,6,221==a a 由①得21=b ，将62=a ，21=b 代入②得32=b ， ∴数列{}n b 的公差为1，∴11)1(1+=⨯-+=n n b b n
∴)2)(1(1≥+==-n n n b b a n n n ， ∵21=a 也满足)1(+=n n a n .
)1(+=n n a n ，1+=n b n 。

…………………8分
（Ⅲ）解 n n n S 21242322321+++++=
,∴14322
1224232221+++++++=n n
n n n S ， 两式相差得 143221
21212121121++-+++++=n n n n S
∴11212
11)
211(41121+-+---+=n n n n S ，化简得n n n S 233+-=,∴3<n S 。

…………………12分
22.解 （Ⅰ）设),(11y x A 、),(22y x B 、),(y x P
∴282121=+y x ，282
222=+y x ，21x x x +=，21y y y +=…………………2分
∵向量、在向量方向上的投影分别是m 、n,且)0,1(E ，∴m=()0,1x ，n=()0,2x 由于-=⋅7mn ，所以2121217x x y y x x -=+，即21218x x y y -= .
∴2221212221212221284)(84168842x x x x x x x y y y y y -=+-=---=++=
∴点P 的轨迹C 的方程是482
2=+y x 。

…………………6分
（Ⅱ）∵点P 的轨迹C 的方程是482
2=+y x ，∴x l ⊥轴时，l 与C 没有交点，…………………7分
∵可设l ：)1(-=x k y ,再设),(),,(4433y x N y x M ,∴)1(4343243+--=x x x x k y y .………………8分 由⎩⎨
⎧=+-=4
8)1(2
2y x x k y 得042)8(2222=-+-+k x k x k ，∴0)4)(8(442
24>-+-=∆k k k ，解得82<k ， 且有2
24382k
k x x +=+，224384
k k x x +-=.…………………11分 ∴43434344331),1(),1(y y x x x x y x y x ++--=-⋅-=⋅)1)(1(43432+--+=x x x x k
∴222222
8284)18284)(1(k k k k k k +-=++-+-+=⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈49,21, ∴⋅的取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡49,21…………………14分。