极限与连续的例题分析及解法

（2）在理解数列极限的定义时要注意
①随着 无限地增大，差距 可以无限地变小。
②当 大到定程序后， 可以任意小。
③对于预先指定的任意小的正数 ，可以找到一个正数整N，当 变得比N大时， 可以小于 。
④如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ，总存在着一个正整数N，使得对 时的一切 不等式 恒成立，则常数的 就叫做数列 当 趋于无穷大时的极限，或者说 收敛于 。
解
小结：利用四则运算法则求极限时，对“ ”、“ ”和“ ”型的极限，不能直接运用四则运算法则求其极限，一般先要对其进行适当的变换、化简，使其满足四则运算法则的条件，再求其极限。归纳如下：
1．对“ ”型的极限，首先用分子与分母中的最高次项去除分子、分母的各项，例如：
若 ，用 （或 ）除以分子、分母，使分子极限为 ，分母极限为 ，则结果为
2．函数的间断点
如果 不是函数 的连续点，则称 是函数 的间断点。
（1） 在点 处无定义；
（2） 不存在。
（3）
3．间断点分类
设 为 的间断点
（1）第一类间断点
与 都存在，当 ，称 为 的可去间断点；
当 ，称 为 跳跃间断点。
（2）第二类间断点
与 中至少有一个为 ， 为 的无穷间断点；例如 是 的无穷间断点，因为 ，而对于 ， 不存在，当 时 的值在-1和1之间永远振荡，称 为 的振荡间断点.
例4利用两个重要极限求极限
（1） （2）
（3） （4）
解（1）作变量替换 ，则当 时， 那么
（2）
（3）
（4）方法一：
方法二：因为
且
∴
小结：1.利用公式 时，必须是在 的过程下才成立，如果公式中 处是一个其他变量 ，则极限式 中的三个 应该是一样的，而且 是趋于0的，这样 才成立。
则有（）
A． 在 ， 处间断；
B． 在 ， 处连续；
C． 在 处间断，在 处连续；
D． 在 处连续，在 处间断
解（1）（A）当 时， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时，
所以 发散.
（B）
其中，当 时， 为无穷小量， 为有界变量。所以 收敛。
（C）因为 ，即 ， ， ， ，…，所以 发散。
（D）因为 ，即 ， ， ， ，…，所以 发散。
将（A），（B），（D）排除，所以正确答案选择（C）。
例如，设 ，当 时， 是无穷大量， ，不是无穷小量。
设 ，当 时， 是无穷大量， 是无穷大量。
设 ，当 时， 是无穷大量， 是无穷大量。
所以，当 时， 未必是无穷小量。
（5）因为
即 ，所以 在点 处极限不存在，故 在 =1处间断。
又因为
所以 在点 处连续。
（二）关于穷小量和无穷大量
1、无穷小量
无穷小量是以零为极限的变量。以零为极限的数列，以零为极限的函数，都是无穷小量，在概念的理解上，我们不能把它与很小的数相混淆，例如0.0001是很小的数，是常量不是无穷小量。但是，零是可以看作无穷小量的唯一的数，因为通项为零的数列和恒等于零的浸函数，在任何过程都以零为极限，故零是无穷小量。
所以， 正确答案填
（4）因为 ，
，
且 在 处连续，所以
，
即
正确答案填5.
例3利用极限四则运算法则求极限
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（1）分析因为原极限式中的分子、分母都趋于 ，是“ ”型的极限，不能直接用商的运算法则，通过化简，并在分子、分母上都除以 ，再用商的运算法则求这，即
解
（2）分析因为原极限式是“ ”型，不能直接用减的运算法则，应先将根式有理化，使其变为“ ”型，然后再求其极限
（三）关于极限的运算法则和两个重要极限
1．这些法则只有在参数与运算的每个函数或数列的极限都存在时才能使用。
例1
这种做法是错误的，因为 不存在，不能用乘法法则，上述极限是零，这是因为当 时， 是无穷小量， 是有界变量。利用“有界变量与无穷小量之积是无穷小量”这一性质可得：
例2求值限 时，因为分子、分母的极限都不存在，因此不能直接使用商的极限运算法则，但是，分子、分母同除以 后的极限都存在，就可以使用商的极限运算法则，即：
如果在同一变化过程中， ， ， ， 都是无穷小量，且 ~ ， ~ ，则有
，
在学习中，要记住一些等价无穷小量，这在今后是有用的，例如：
，
3．无穷大量
无穷大量是这样的一种变量，其取值的绝对值无限增大。所谓无限增大，是指在变化过程，它的取值的绝对值可以大于任意给定的正数。并且以后永远大于这个数。而很大的数，例如 是常数，不是无穷大量，要注意，无穷大量是极限不存的量，符号 是借用极限的记号，只表示 是无穷大量。
二、例题分析
例1为下列各题选择正确答案：
（1）下列数列 中收敛的为（）
A． B．
C． D．
（2）下列极限存在的为（）
A． B．
C． D．
(3)当 时，函数 的极限为（）
A．1 B．-1 C．0 D．不存在
（4）若当 时， 为无穷大量，则当 时，下列变量中未必是无穷小量的有（）
A． B．
C． D．
（5）若函数码相机
一、疑难解析
极限是微积分中一个重要的基本概念，极限方法是研究函数的重要工具，在学习本章时，要正确理解极限与连续的概念及其性质，掌握极限的运算法则是基本方法，会求函数的间断点。
（一）关于极限概念
1．数列的极限
（1）直观的描述
数列是按照某种法则排列起来的一列数，可以看成是自变量取正数整值 的函数 当 无限增大时， 无限地接近于常量 。从几何意义来看：点列 ，随着 的变大，越来越向 靠拢。即
②当 时，函数 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ限。
当 无限接过于常数 时，函数 无限接近于常数 。
或
它的几何意义如图2-1所示
已知 及 图形，当 趋于 时， 以 为极限。就是说当 无限接近于 时，曲线 上的点到直线 上对应的点无限接近。具体地说，如果希望 上的点到 上对应点的纵坐标差的绝对值 小于预先指定的 ，那么我们作出 ， 为边界的带域，由此可以定出 的一个 领域 ，使当 进入这个邻域后曲线 进入带域； 进入 的 邻域。从而恒有
具体地说，要求读者：
1．深刻领会极限的含意，它描述的是一个变量随一切变量变化的趋势。对于数列，要知道极限的“ ”定义。对于函数，要领会极限存在与不存在的状况。
2．记住一些重要的极限公极：
以及当 ， 时，函数 ，log ， 的极限，利用这些函数的图形可帮助领会和记忆相应的极限公式。
记住下列公式，将有助于今后的学习：
正确答案选择（B）
（2）（A）因为 ， ，所以 不存在。
（B） ，即 不存在。
（C） 振荡无极限。
（D）
正确答案选择（D）
（3）因为 ，
即 所以极限不存在
正确答案选择（D）
（4）（A）当 时， 与 都是无穷小量 = 是两个无穷小量的乘积，它一定是无穷小量。
（B）与（D）当 时， 是两个无穷小量的代数和，它们一定是无穷小量。
这就是极限式 的几何意义。
（2）在理解函数的极限定义的时要注间
①随着差距 无限变小，差距 可以要多小有多小。
②当差距 小到一定程序后，差距 可以小于预先指定的任意小的正数 。
③如果对于任意给定的 ，总可以找到一个 ，使当 ， 恒成立。
④“ ”表示 无穷接近于 ，但 。因此在讨论函数极限 时要求 在 附近有定义，但在 处可以有定义，也可以没有定义。
注意： “对于预先给定的任意小正数 ”中的“小”可删去。即改为“对于预先给定的任意正数 ”。因为“任意正数 ”已经包括了不论多么小的正数。加上“小”字后，是为了突出“要多小就可以多小”这一意思。
2 “总存在一个正整数 ，使得当 ”表示 大到一定程序后”。
3 “ ”是预先给定的。“ ”是随后找到的。
“ ”有两层意思，它先是任意给的，但给定后就固定下来了。因而“ ”也相应地有以下两方面的意义：它是“ ”在在相对固定的情形下找到的；它又可随“ ”的不同而不同。所以有时我们将“ ”写成 。
解
（3）分析因为原极限式是“ ”型的，不能直接用商的运算法则，首先将分子、分母进行分解因式，然后去约零因子，再用商的运算法则求之。
解
（4）分析因为原极限式是“ ”型的，首先将分子有理化，然后约去零因子，再求其极限。
解
（5）分析因为原极限式是“ ”型，不能直接用减的运算法则，应先通分，将其变为“ ”型，再分解因式，约去零因子，最后用商的运算法则求之。
3．学会利用下列内容来求极限：
（1）恒等变形；
（2）极限的四则运算；
（3）已知的极限公式；
（4）函数的连续性。
4．无穷小量是一类最简单的有极限的量（极限为0），要求掌握无穷小量的性质。无穷大量是不取零值的小量的倒数，它是一类没有极限的量。
5．领会公式 是函数 在点 处连续的确切描述，掌握间断点的分数，这有助于从后面理解连续概念。学会判断给定函数在一点处是连续的还是间断的。记住：初等函数在其有定义的区是内是连续的，在闭区间上连续的函数具有两个重要性质；最大值最小值存在定理和介值定理（包括零点定理）。
而
（3）设 ，当 时，
而
4．在使用第二重要极限 或 时，要注意在自变量 的变化过 程中，被求极限的函数应该是呈“1 ”型的极限，
例如： ，当 时， ，故 是 型极限.
〔 〕
=
（四）关于函数连续性
1．函数连续的定义
设函数 在点 的某邻域内有定义，且 成立，则称 在点 处连续。
在讨论当 时 的极限时，只考虑 的过程中， 的变化趋势，与 在 处的函数值 没有必然联系 在点 处可以有定义，也可以没有定义，但是讨论 在点 处连续时，就必须与 在 处的函数值 联系起来，所在在连续定义中，提出了一个与极限定义根本不同的一点，即 在点 处要有定义；另外，当 时， 的极限值要等于函值 。
4 一般说来 越小， 越大。但 与 并不呈现函数关系。这是因为，对 。若能找到 ，当 时，对一切 有 。那么当 ， ,…，这时的一切 显然也满足不等式 ，因此 , …都可以作为我们所要找的
2、函数的极限
（1）直观的描述
①当 时，函数 的极限。
此种情况与数列的极限类似。不同处在于 是整序变量 只取1,2,3,…等孤立的正整数点到 。而 时，自变量 连续地取实数值变到 。函数 无限接近一个正常数 。
2．在使用“和的极限等极限的和”这一法则时，应注意，这个法则只对有限个函数之和的情形才成立，否则容易犯错误。
例如：
=
=
这种做法是错误的，因为当 时，上式是无限项的和，不能用和的极限运算法则。
正确的做法是：
3．在使用第一重要极限 时，要注意自变量 趋于 它可推广为 成立，例如：
（1） ；
（2）设 ，当 时
在理解无穷小量的运算性质时，要注意：“有限个无穷小量的代数和无穷小量，”“有限个无穷小量的积是无穷小量”不能把有限个“这一关键词丢掉，例如：
当 时。 分别都是无穷小量。而
是 个无穷小量的和，当 时，是夫限个无穷小量的和，显然有
此例说明，无限个穷小量的和可以不是无穷小量。
2．无穷小量的阶
设 与 是同一变化过程中的无穷小量。如
正确答案选择（C）
例2给出下列各题的正确答案
（1） 。
（2）若 ， ， 。
（3）若 ，则 ，
（4）若函数
如果 在 处连续，则 ，
解(1)因为当 时， 是无穷小量， 是有界变量，由无穷小量的性质可知：
正确答案填0
（2）因为 是“ ”型不定式，所以 ，即 .由此可得
即 , 且
正确答案填-7，6
（3）因为
若 ，用 除以分子、分母，使吩子极限为0，分母极限为 ，则结果为0.
若 ，用 除以分子、分母，使分子极限为 ，分母极限为0，则结果为 .
所以，
上述结论也适用于 ， 不是正整数的情况.
2．对“ ”型的极限，可先分解因式或有理化分式，将分子、分母中的零因子约去，再求极限。
3．对“ ”型的极限，若是分式相减的，可先通分；若是根式相减的，可先根式有理化，再求极限。
如果 是无穷小量，那么 是无穷大量，反之，如果 是无穷大量。寻么 是无穷小量。
无穷小量具有的运算性质，对于无穷大量就不一定成立。例如“有限个无穷小量的和仍是无穷小量。”是正确的。如果说：“有限个无穷大量的和仍是无穷大量，”这就错了。无穷大量不是有极限的量，例如：
设函数 ， 那么当 时， ， 分别都是无穷大量。但 时， ，这显然不是无穷大量。
高等数学B（1）
极限与连续的例题分析及解法
本章小结
我们说过，高等数学研究的对象是变量，是函数，现在又可进一步说，高等数学是通过极限来研究并获知函数的许多特性的，后面的微分，积分，级数等都是研究一些特殊类型的极限，因此可以认为极限是高等数学的基础和工具。
第二章，我们介绍了极限的概念和求法，给出了数列极限的定义和函数极限的概念（包括 和 两种类型），介绍了求极限的若干种方法。同时，叙述了用极限的概念确切地描述函数曲线的连续与间断。