(加练半小时)2018版高考数学(江苏专用,理科)专题复习：专题12_选修系列第84练_(有解析)

1．(2016·苏北四市一模)设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋
1
x2－2xy＋y2
≥2y＋3.
2．(2016·南京、盐城二模)已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥8.
3．(2016·常州一模)已知a＞0，b＞0，证明：(a2＋b2＋ab)·(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.
4．(2016·南通模拟)已知：a≥2，x∈R.
求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
5．(2016·泰州一模)已知正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，求证：1
a2＋1
b4＋
1
c6≥27.
6．(2016·苏、锡、常、镇四市二模)已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．
答案精析
1．证明由题意得x＞0，y＞0，x－y＞0，
因为2x＋
1
x2－2xy＋y2
－2y
＝2(x－y)＋
1 (x－y)2
＝(x－y)＋(x－y)＋
1 (x－y)2
≥33
(x－y)2
1
(x－y)2
＝3，
所以2x＋
1
x2－2xy＋y2
≥2y＋3.
2．证明因为x为正数，所以1＋x≥2x，
同理，1＋y≥2y，1＋z≥2z，
所以(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥2x·2y·2z＝8xyz＝8，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．
3．证明因为a＞0，b＞0，
所以a2＋b2＋ab≥33
a2·b2·ab＝3ab＞0，
ab2＋a2b＋1≥33
ab2·a2b·1＝3ab＞0，
所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2，
当且仅当a＝b＝1时等号成立．
4．证明因为|m|＋|n|≥|m－n|，
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|. 又a≥2，故|2a－1|≥3.
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
5．证明因为正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，
所以1≥33
ab2c3，即ab2c3≤
1
27，
所以
1
ab2c3≥27，
因此1
a2＋
1
b4＋
1
c6≥3
31
a2b4c6≥27.
6．解存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，
f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x
＝3×x＋2＋1×14－x，
因为(3×x＋2＋1×14－x)2
≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，
所以f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，
当且仅当x＝10时取“＝”，
故常数a的取值范围是(－∞，8)．。