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§8.2 傅里叶（Fourier）变换光学系统
光学信息处理的任务是研究以二维图像作为媒介来进行图像的识别、图像的增强与恢复、图像的传输与变换、功率谱分析和全息术中的傅里叶全息存储等。

而担任上述任务的数学运算是傅里叶变换，光学成像透镜就具备这种二维图像的傅里叶变换特性。

当然傅里叶变换运算可通过电子计算机来实现，但由于二维图像的信息容量大，需使用复杂而昂贵的电子计算机，且需一定的计算时间，由光学透镜组成的相干光学处理系统，可简单而迅速地完成二维图像的傅里叶变换运算，因此讨论光学透镜的傅里叶变换特性及其设计问题是非常必要的。

一、光学透镜的傅里叶变换特性
由标量衍射理论可知，振幅分布为f(x,y)的物体，其夫琅和费衍射场的振幅分布为
式中, (x,y)为物面坐标，(xf,yf)为衍射场坐标。

令
因此夫琅和费衍射过程实际上就是一个傅里叶变换过程，衍射场即为频谱面。

若把频谱面再进行一次傅里叶变换，可得
令x'=-x,y'=-y，则有f(x',y')=f(x,y)。

因此物函数f(x,y)经二次傅里叶变换后，仍可得到原函数f(x',y')，只不过函数的坐标发生了倒置。

若在第一次变换后的频谱面上插入各种不同用途的空间滤波器或掩膜板来改变输入物体的频谱状态，就可以达到各种光学图像的处理目的。

当傅里叶变换物镜满足某些特定的成像要求时，上述4f系统可获得严格的傅里叶变换关系，这是因为当平行光垂直照射输入物面(x,y)时，在输入面上要发生衍射，不同角度的衍射光经透镜L1后，在后焦面（频谱面）上形成夫琅和费衍射图像。

为了获得清晰而位置正确的夫琅和费衍射图像，也就是说为了获得严格的物面傅里叶频谱，傅里叶变换物镜应满足以
下成像要求，即具有相同衍射角的光线经透镜变换后，应聚焦于焦平面上的一
点，而不同衍射角的光线经透镜变换后，应聚焦于焦面上的不同点处，形成各级频谱。

对傅里叶变换物镜L来说，其成像关系为，若把其像方焦面作为像面，其物面应位于物方无限远，孔径光阑应位于透镜L的前焦面上，构成像方远心光路。

傅里叶变换物镜L既要对物方无限远的物体校正像差，又要对孔径光阑位置校正像差。

若把输入面作为物面，则其像面在像方无限远，其孔径光阑位置应位于透镜L的后焦面上，构成物方远心光路。

傅里
叶变换物镜既要对有限距离物面校正像差，又要对孔径光阑位置校正像差，因此傅里叶变换物镜通常要对二对共轭面校正像差。

上述二种不同的处理方法，根据光路可逆性，其本质是一致的。

二、傅里叶变换物镜的光学设计要求及结构型式
假定输入物体为一维衍射光栅，其光栅常数为，根据衍射理论，其k级衍射光与光轴的夹角应满足光栅方程
设k级衍射光的像高为yk'，可知，只有当yk'满足下式关系
yk'才呈线性分布，也就是说才能在后焦面上得到正确的傅里叶变换关系。

因此可知傅里叶变换物镜必须满足正弦条件要求。

为了获得清晰的夫琅和费衍射图像和正确的傅里叶变换关系，傅里叶变换物镜应对光瞳位置校正球差和慧差，对物面位置校正球差、慧差、像散和场曲，其像差公差应达到衍射极限，即波像差不大于。

可知，k级衍射光的像高，而理想光学系统的像高, 因此傅里叶变换物镜在满足上述像差校正时，必产生畸变量
但由于傅里叶变换物镜是成对使用的，且对频谱面为对称设置，因此在相干光学处理系统(4f 系统) 中，输出面的畸变会自动消除。

满足上述要求的傅里叶变换物镜，其结构形式很多，但其典型的结构型式不外乎下列二种，一种是单光组结构型式，单个光组为双胶合或双分离形式，这种结构形式的傅里叶变换物镜可使正弦差和球差得到很好较正，但由于轴外像差的存在，其视场角和相对孔径一般较小。

另一种结构型式的傅里叶变换物镜为对称型，这种结构型式的傅里叶变换物镜，其最大特点是采用二组对称的反远距透镜组，使得物镜的主面位置外移，从而可使物镜的物像方焦点距离小于物镜的焦距，减小了光学处理系统的外型尺寸。

在同样的工作条件下，对称型式的傅里叶物镜，其焦距可增长一倍左右，相应所能处理的物面和频谱面尺度变大，有利于发挥光学处理系统的作用。

此外，由于对称结构采用正负透镜组合，有利于校正物镜的像面弯曲和其它轴外像差，但其结构复杂，造价相对提高。