数学建模第六章最优化方法建模--6.2生产计划的制定

第三， 在车间内部， 根据产品的加工时间和顺序， 以完工时间最早或设备均衡生产为目标， 给出各产品 的作业排序。 此外，不论哪个层次，当目标不止一个时，将使 问题更加复杂。下面举例说明这些优化问题的建模过 程。
例1 某厂有 n 种产品 J
c1 , c 2 , , c n
1
, J 2 , , J n
，单位数量产品的利润为
，根据市场调查，其需求不超过 q 1 , q 2 , , q n ，
i
按照工厂生产能力，单位数量 J
( i 1, 2 , , n ) 所需人力
资源为 a 1 i ，所需设备资源为 a 2 i ，所需原料为 a 3 i ，而 工厂的人力、设备、原料资源限制分别为 b
1
（3）
I i , j 1 x ij I ij
2 x1 j , i 2 x1 j , i 3 x2 j ,i 4 4 x , i 5 3j x3 j , i 6
, j 1, 2 , ,10
（4）
其他约束条件有
x ij , I ij 0 ( i 1, 2 , , 6 ; j 1, 2 , ,10 )
§2 生产计划的制定
企业内部生产计划的制定是一项非常复杂的工 作，让我们简要地分这样几个层次加以讨论。 第一，在工厂一级，根据市场需求和人力、设备 条件，以最大利润为目标制定产品生产计划； 第二，在车间一级，根据产品生产计划、生产流 程、资源约束以及费用参数等，以最小成本为目标， 制定生产批量计划；
3


i 1
（3）
根据 d ， d 的定义还应有约束
x1 x 2 d 3 d 3 0

（4）
例1中的其他约束条件仍然成立。
a
i 1
n
2i
xi b2
（5） （6） （7）
a
i 1
n
3i
x i b3
x i q i , x i 0 , i 1, 2 , , n
ij
视为实数） ，所以在运筹学中称为（混合）整数规划。 在模型中没有考虑项目的生产费用， 这是因为需求必 须满足，各时段生产量之和是个常数，只要各项目单 位数量的生产费用不随时段改变， 那么总的生产费用 仍为常数，所以最优决策与这部分费用无关。
例3 如果例1给出的问题还要考虑下列因素， 试重新 求解。1）要力争达到并超过去年的总利润 M ；2） 充分利用现有人力资源， 但不希望增加劳动力； J 3）
, b2 , b3
，问
工厂在制定生产计划时应如何确定这 n 种产品的产 量。
这类优化问题建模的关键是确定决策变量、 目标 函数和约束条件，并用数学形式（符号、式子等）将 它们表达出来。 决策变量应是问题要求确定的量—各 产品的产量，记以 x 1 , x 2 , , x n 。目标函数显然应是总 利润

1
3
Z p1 d 1 p 2 ( d 2 d 2 ) p 3 d 3
（1）
而原来由利润给出的目标函数（例1（1）式）变为约 束条件

n
ci xi d1 d1


M
i 1
（2）
原来的人力资源约束（例1（2）式）化为

3
n
a 1i x i d 2 d 2 b1
最小。
对于本题，我们设利润超过 M 的部分为正偏差
d1

M 的部分为负偏差 d 1 ，人力资源超过 b 1 的 ，不足

部分为正偏差 d 2 量 x 1 超过 J 2 负偏差 d 3

，不足 b 1 的部分为负偏差 d 2 的部分为正偏差 d 3


； J1 产
产量 x 2
，不足部分为
。需要指出的是，由于决策值不可能既超 ， d k ( k 1, 2 ,3 ) 二者
i 1 n i
xi
最大。
例2
工厂已经拟定了对某种产品的需求量，譬如 10
个时段（可以一周或一天为一时段）的需求分别为
d 1 , d 2 , , d 10
，该产品的生产流程如图 1，其中 1 是（最
终）产品，2~6 是它的零部件，箭头旁的数字是装配 系数，如 4 个 5 装配 1 个 3。1 至 6 统称项目。
2
1
和 J 属同类产品，但 J 已老化，将退出市场，故 J 的
1
1
产量不要超过 J 。
2
与例 1 只有一个目标不同，这里有 3 个目标，属 于多目标决策问题，目标规划模型是解决这类问题的 方法之一，其思路是首先引入一些新的决策变量，即 对每个目标设一个正偏差变量和一个负偏差变量（指 决策值与目标值间的偏差） ，然后利用权重系数，将 多目标问题化为单目标问题，使这些偏差的总和尽量 小。
（5） （6）
I i,0 0
i 1, 2 , , 6
问 题 归 结 为 条 件 （ 2 ） ~ （ 6 ） 下 求
x ij ( i 1, 2 , , 6 ; j 1, 2 , ,10 )
，使（1）式给出的 Z 最小，这
是无资源约束下多项目的生产批量模型。 因为目标函 数中的 y 取整数值 0，1（一般 x ij 和 I ij 取值相当大，可

过目标值，又未达到目标值， d k
必有一个为零，且按定义，它们均为非负值。
按照问题的要求，在将这3个目标综合为单目标 时，应使 ， ， ， 尽量小（请注意，这里不应
d1
包括 d 和 d ） ，设这3个目标的权重分别为 p 1 , p 2 , p 3 ， 并不妨令 p 1
p2 p3 1， 那么这个模型的目标函数为
1 2 2 1 4 图1 5 4 1 3 1 6
现在考虑两种费用：生产准备费和贮存费。如果 某时段生产项目 i ，则需准备费 s i （与生产数量无 关） ；如果将以后时段对 i 的需求也提前生产出来（目 的在于节省准备费） ，则单位时段需贮存费 h （可看
i
作资金的积压） 假定各项目的生产能力都是无限的， 。 即在一个时段内可以完成任意数量的生产， 且各项目 都不需要生产提前期。试制订各项目的生产批量计 划，即每个项目每时段各生产多少，使总费用最少。
C
c
i 1
n
i
xi
（1）
人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件
a
i 1
n
1i
x i b1
（2） （3） （4） （5）
a
i 1
n
2i
xi b2
a
i 1
n
3i
x i b3
x i q i , x i 0 , i 1, 2 , , n
问题归结为在条件（2）~（5）下求 x 1 , x 2 , , x n ，使 （1）式给出的 C c
最后，再加上 d k
dk



，d
k
( k 1, 2 , 3 ) 的非负约束
，dk 0
( k 1, 2 , 3 )
（8）
目标规划模型归结为，在条件（2）~（8）下求
x 1 , x 2 , , x n 和 d k ， d k ( k 1, 2 , 3 ) ，使（1）式确定的 Z
则总费用可表示为
Z
(s
i 1 j 1
6
10
i
y ij h i I ij )
（1）
其中
y ij 1, x ij 0 0 , x ij 0
（2）
x ij
与 I 的关系可表为以下的约束条件
ij
I 1 , j 1 x 1 j I 1 j d j , j 1, 2 , ,10
决策变量是各项目在各时段的产量，
x ij ( i 1, 2 , , 6 ; j 1, 2 , ,10 ) 为项目 i
在时段 j 的产量。
目标函数是生产准备费与贮存费之和，
I ij ( i 1, 2 , , 6 ; j 1, 2 , ,10 ) 为项目 i
在时段 j 的贮存量，