2021年秋高中数学课时分层作业10复数代数形式的乘除运算新人教A版选修12

2021年秋高中数学课时分层作业10复数代数形式的
乘除运算新人教A 版选修12
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题 1.
1＋i 31－i
2
＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
D [∵
1＋i
31－i
2
＝
2i 1＋i
－2i
＝－1－i ，选D.]
2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )
【导学号：48662156】
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
C [z －1＝1＋i
i
＝1－i ，因此z ＝2－i ，故选C.]
3．在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2
对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
B [
i 1＋i ＋(1＋3i)2
＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝
⎛⎭⎪⎫23＋12i ，对应点
⎝
⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．]
4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45
C ．4
D.45
D [∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝53－4i ＝
53＋4i
3－4i 3＋4i ＝35＋45
i. 故z 的虚部为4
5
，选D.]
5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )
【导学号：48662157】
A ．34
B ．43
C ．－43
D ．－34
A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.
z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，
又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝3
4.]
二、填空题
6．i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i
2－i ，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.
1 [∵z ＝1＋2i 2－i ＝1＋2i 2＋i 2－i ·2＋i ＝5i
5＝i ，
∴z ＝－i ，∴z ·z ＝1.] 7．已知
a ＋2i
i
＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.
【导学号：48662158】
1 [∵
a ＋2i
i
＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，
∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]
8．设复数z 1、z 2在复平面内的对应点分别为A 、B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i)＝3－i ，则|z 2|＝________.
5 [∵z 1(1－i)＝3－i ，∴z 1＝3－i
1－i
＝
3－i 1＋i
1－i
1＋i
＝2＋i ，∵A 与B 关于x 轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数，∴z 2＝z 1＝2－i ，∴|z 2|＝ 5.]
三、解答题
9．已知复数z ＝5
2－i .
(1)求z 的实部与虚部；
(2)若z 2
＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值.
【导学号：48662159】
[解] (1)z ＝
52＋i 2－i 2＋i ＝52＋i
5
＝2＋i ，
因此z 的实部为2，虚部为1.
(2)把z ＝2＋i 代入z 2
＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2
＋m (2－i)＋n ＝1－i ，
因此⎩
⎪⎨
⎪⎧
2m ＋n ＋3＝1，
4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.
10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及
z z
.
[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，
由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋2
b ＝4，2a －b ＝3.
得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i.
∴z
z
＝2＋i
2－i ＝
2＋i 2
2－i 2＋i ＝3＋4i 5＝35＋4
5
i.
[能力提升练]
1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i
D ．－4－i
A [∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称，∴z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选A.] 2．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．
命题是( ) 【导学号：48662160】
A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2
B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2
C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 2
1＝z 2
2
D [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2
＝z 2，真命题；
C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2
＝|z 2|2
⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；
D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，明显z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 2
2，假命题．]
3．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________． 83 [z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝
3a －8＋4a ＋6i
25
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a －8＝0，4a ＋6≠0，
∴a ＝8
3
.]
4．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝5
1－3i ，则x ＋y ＝________.
4 [x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i 可化为，
x 1＋i
2
＋
y 1＋2i
5＝51＋3i 10
，
则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋25y i ＝12＋32
i ， 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 5＝12，
x 2＋25y ＝3
2.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝5，∴x ＋y ＝4.]
5．设z 是虚数，ω＝z ＋1
z
是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z |的值及z 的实部的取值范
畴；
(2)设u ＝1－z
1＋z
，证明u 为纯虚数.
【导学号：48662161】
[解] (1)因为z 是虚数，因此可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 因此ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1
x ＋y i
＝x ＋y i ＋
x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 因此y －
y
x 2
＋y
2
＝0，因此x 2＋y 2
＝1，
即|z |＝1.现在ω＝2x .
因为－1＜ω＜2，因此－1＜2x ＜2， 从而有－1
2
＜x ＜1，
即z 的实部的取值范畴是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1. (2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2
＋y 2
＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝
1－x ＋y i 1＋
x ＋y i ＝1－x －y i 1＋x －y i
1＋x 2＋y
2
1－x 2
－y 2
－2y i 1＋x 2＋y 2＝－
y
1＋x
i. 因为x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1，y ≠0，因此y 1＋x ≠0，
因此u 为纯虚数.。