七年级-人教版(2024新版)-数学-上册-【教学设计】初中数学-七年级上册-第四章-4

4.1整式（第2课时）
1．理解多项式、多项式的项及其次数以及整式的概念．
2．能确定一个多项式的项和次数，会用多项式表示简单的数量关系．
理解整式及多项式的有关概念，会用多项式表示实际问题中的数量关系．
准确确定多项式的项及次数．
新课导入
填空：
1．买一个书包需要x元，买一支铅笔需要y元，买一个本子需要z元，买1个书包、2支铅笔、2个本子共需要(x＋2y＋2z)元．
2．若三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的周长是a＋b＋c ．
3．如下图，长方形的宽为a，长为b，圆的半径为r，则阴影部分的面积是ab－πr² ．
新知探究
一、探究学习
【问题】思考：列出的这些式子有什么共同特点？与单项式有什么联系？
x＋2y＋2z，a＋b＋c，ab－πr²．
【师生活动】学生先独立分析所写出的三个式子，尽自己努力找到它们的共同特点，师生再共同进行总结．
教学目标
教学重点
教学难点
教学过程
【设计意图】通过自主探究，让学生更深刻地理解多项式和单项式之间的关系．
二、新知精讲
【新知】多项式的定义
几个单项式的和叫作多项式．
【师生活动】学生复述这一定义．
【设计意图】通过重复记忆，让学生进一步加深对多项式的定义的理解．
【新知】多项式的相关概念
x2－2x＋18
多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．
多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【师生活动】结合实例，让学生认识多项式的项和次数．
【设计意图】为后面确定多项式的项和次数做好铺垫．
【问题】多项式的次数与单项式的次数有什么区别？
【师生活动】引导学生结合定义做出回答．
【设计意图】通过对问题的解答，使学生理解多项式和单项式的次数之间的联系和区别．【思考】展示单项式与多项式的动图，想一想单项式和多项式有什么关系．
【思考】多项式是几个单项式的和，那么多项式与单项式有统称吗？
【新知】整式的概念
单项式与多项式统称整式．
【思考】单项式、多项式、整式之间有什么关系？
【师生活动】对三者的定义进行区分，明确它们之间的关系．
【设计意图】巩固并加深学生对概念的理解．
三、典例精讲
【例1】请指出下列式子中的多项式：
（1）1
2
xy3－5x＋3；（2）
22
2
+
a b
；（3）
2
+
mn
m n
；（4）－7．
【答案】解：根据“多项式是几个单项式的和”进行判断即可．
（1）1
2
xy3－5x＋3可看成单项式
1
2
xy3，－5x，3的和，是多项式；
（2）
22
2
+
a b
可看成单项式
2
2
a
，
2
2
b
的和，是多项式；
（3）2
+
mn
m n
的分母中含有字母，显然不符合题意；
（4）－7是单项式．
所以，（1）（2）是多项式．
【师生活动】学生回答，老师点评．
【设计意图】巩固学生对多项式的概念的理解和掌握．
【例2】指出下列多项式的项与次数：
（1）a3－a2b＋ab2－b3；（2）3n4－2n2＋1．
【答案】解：（1）多项式a3－a2b＋ab2－b3的项有a3，－a2b，ab2，－b3，次数是3．（2）多项式3n4－2n2＋1的项有3n4，－2n2，1，次数是4．
【师生活动】学生独立解决，组内探讨答案是否正确．
【设计意图】让学生熟练找出多项式的项和次数．
【例3】用多项式填空，并指出它们的项和次数．
（1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为_______．
（2）m为一个有理数，m的立方与2的差为_______．
（3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆．第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为_______．
（4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为_______．
【答案】解：（1）2a＋2b，它的项分别为2a，2b，次数是1．
（2）m3－2，它的项分别为m3，－2，次数是3．
（3）2a－12b，它的项分别为2a，－12b，次数是1．
（4）18a2＋4ab，它的项分别为18a2，4ab，次数是2．
【师生活动】学生独立解答，教师进行指导.
【设计意图】巩固学生对多项式的项和次数的概念的理解和掌握．
【变式】如图，用式子表示圆环的面积．当R＝15 cm，r＝10 cm时，求圆环的面积（π取3.14）．
【答案】解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR2－πr2．当R＝15 cm，r＝10 cm时，
圆环的面积（单位：cm2）是πR2－πr2＝3.14×152－3.14×102＝392.5．
这个圆环的面积是392.5 cm2．
【师生活动】先用式子表示出圆环面积，再把数值代入求解．
【设计意图】掌握用多项式表示数量关系的方法，并能对多项式进行求值．
【拓展】自然数被3整除的规律
在小学，我们知道像12，27，36，45，108，⋯这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？
先来看两位数的情形．
̅̅̅．于是
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为ab
ab
̅̅̅＝10a ＋b ＝9a ＋（a ＋b ）． 显然9a 能被3整除，因此，如果a ＋b 能被3整除，那么9a ＋（a ＋b ）就能被3
整除，即ab
̅̅̅能被3整除． 请你用类似的方法表示三位数、四位数，并说明前面结论的道理．你还可以继续研究五位数、六位数等情形吗？
【答案】解：若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a ，b ，c ，则通常记这
个三位数为abc ̅̅̅̅̅．于是abc
̅̅̅̅̅＝100a ＋10b ＋c ＝99a ＋9b ＋(a ＋b ＋c ）． 显然99a ，9b 能被3整除，因此，如果a ＋b ＋c 能被3整除，那么99a ＋9b ＋(a ＋
b ＋
c ）就能被3整除，即abc
̅̅̅̅̅能被3整除． 若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a ，b ，c ，d ，则通常记
这个四位数为abcd ̅̅̅̅̅̅．于是abcd ̅̅̅̅̅̅＝1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＝999a ＋99b ＋9c ＋(a ＋b ＋c ＋d ）．
显然999a ，99b ，9c 能被3整除，因此，如果a ＋b ＋c ＋d 能被3整除，那么abcd
̅̅̅̅̅̅＝999a ＋99b ＋9c ＋(a ＋b ＋c ＋d ）就能被3整除，即abcd
̅̅̅̅̅̅ 能被3整除． 所以，如果一个自然数所有数位上的数字之和是3的倍数，那么原数就是3的倍数，由此可以拓展到所有自然数．
【师生活动】先类推出表示三位数、四位数的数量关系的多项式，再根据式子总结规律．
【设计意图】掌握用多项式表示数量关系的方法．
课堂小结
板书设计
一、多项式的定义
二、多项式的项和次数
三、整式的定义
课后任务
完成教材第93页练习1～3题．
教学反思
_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。