2025届陕西省西安市西安交大附中数学八上期末统考模拟试题含解析

2025届陕西省西安市西安交大附中数学八上期末统考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，△ABC 中，点D 在BC 延长线上，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．∠1＝∠A+∠
B B ．∠1＝∠2+∠A
C ．∠1＝∠2+∠B
D ．∠2＝∠A+∠B
2．如图，在△ABC 中，边AC 的垂直平分线交边AB 于点D ，连结CD ．若∠A＝50°，则∠BDC 的大小为（ ）
A ．90°
B ．100°
C ．120°
D ．130°
3． “高高兴兴上学，平平安安回家”，交通安全与我们每一位同学都息息相关，下列四个交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知a b c 、、为一个三角形的三条边长，则代数式2222a b c ab +--的值（ ） A ．一定为负数
B ．一定是正数
C ．可能是正数，可能为负数
D ．可能为零
5．如图，点A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB 平移至A 1B 1，则+a b 的值为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．当分式2
1
x x +-的值为0时，字母x 的取值应为（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．﹣2
D ．2
7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，则图中全等三角形的对数是（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
8．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为
A ．
10801080
1215x x =-- B ．
10801080
+1215x x =- C ．10801080
12+15
x x =- D ．10801080
+12+15
x x = 9．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =α，在AB 、BC 上分别找一点E 、F ，
使△DEF 的周长最小．此时，∠EDF =( )
A ．α
B ．1
902
α︒-
C ．
2
α D ．180°-2α
10．如果水位下降6m 记作6m -，那么水位上升6m 记作（ ） A ．6m +
B ．12m +
C ．6m -
D ．0m
11．已知直角三角形的两边长分别为2,3,则第三边长可以为（ ）
A ．7
B ．3
C ．11
D ．13
12．下列选项中，可以用来证明命题“若2a >，则2a >”是假命题的反例的是（ ） A ．3a =
B ．0a =
C ．2a =-
D ．3a =-
二、填空题（每题4分，共24分） 13．因式分解：（a+b ）2﹣64＝_____． 14．已知关于x ，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则k 的值是
_________．
15．分解因式：223a 3b -=________． 16．一组数据2、3、-1、0、1的方差是_____.
17．若x 2＋bx ＋c ＝(x ＋5)(x －3)，其中b ，c 为常数，则点P (b ，c )关于y 轴对称的点的坐标是________．
18．若点P （2-a ，2a -1）到x 轴的距离是3，则点P 的坐标是______． 三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，1），B （b ，1），其中a ，b 满足|a+2|+（b ﹣4）2=1．
（1）填空：a=_____，b=_____；
（2）如果在第三象限内有一点M （﹣3，m ），请用含m 的式子表示△ABM 的面积； （3）在（2）条件下，当m=﹣3时，在y 轴上有一点P ，使得△ABP 的面积与△ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标．
20．（8分）如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，AF 与DE 交于点O ． 求证：AB ＝CD ；
21．（8分）解不等式组()1
132
232
3x x x ⎧+≤⎪⎪⎨++⎪≥⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和．
22．（10分）如图1，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA =6cm ，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．
（1）求证：△CDE 是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）；
（2）如图2，当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．
23．（10分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y （个）与甲加工时间x h （）
之间的函数图象为折线OA AB BC ﹣﹣，如图所示． （1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小时加工 个零件；
（2）当36x ≤≤时，求y 与x 之间的函数解析式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？
24．（10分）如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．
（1）如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D ，求证：1
()2
EF AC AB =-； （2）如图2，ABC ∆中9AB =，5AC =，求线段EF 的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知ABC ∆三个定点坐标分别为()4,1A -，()3,3B -，()1,2C - .
（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，点,,A B C 的对称点分别是点111A B C 、、，则111A B C 、、的坐标： 1A （_________，_________），1B （_________，_________），
1C （_________，_________）；
（2）画出点C 关于y 轴的对称点2C ，连接12C C ，2CC ，1C C ，则12CC C ∆的面积是___________.
26．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是△ABC 内一点，AD=BD ，且AD ⊥BD ，连接CD ．过点C 作CE ⊥BC 交AD 的延长线于点 E ，连接BE ．过点D 作DF ⊥CD 交BC 于点F ．
（1）若，求BC的长；
（2）若BD=DE，求证：BF=CF．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据三角形外角性质逐一判断即可得答案．
【详解】∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1＝∠A+∠B，故A选项说法一定成立，
∠1与∠2+∠A的关系不确定，故B选项说法不一定成立，
∠1与∠2+∠B的关系不确定，故C选项说法不一定成立，
∠2与∠A+∠B的关系不确定，故D选项说法不一定成立，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形外角得性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻得两个内角得和；熟练掌握三角形外角性质是解题关键．
2、B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到
∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50︒，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100︒，
故答案选：B.
【点睛】
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质.
3、D
【分析】将一个图形一部分沿一条直线对折，能与另一部分完全重合，则这个图形叫轴对称图形，据此判断即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有D选项图形是轴对称图形．
故选：D
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形定义是解题关键．
4、A
【分析】把代数式分解因式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断．
【详解】2222
+--
a b c ab
=（a−b）2−c2，
＝（a−b＋c）（a−b−c），
∵a＋c−b＞1，a−b−c＜1，
∴（a−b＋c）（a−b−c）＜1，
即2222
+--＜1．
a b c ab
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用完全平方公式配方，利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用完全平方公式配方整理成两个因式乘积的形式是解题的关键．
5、B
【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．
【详解】解：由点A（2，0）的对应点A1（4，b）知向右平移2个单位，
由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，
∴a=0+2=2，b=0+1=1，
∴a+b=2+1=3，
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．
6、C
【分析】解分式方程，且分式的分母不能为0.
【详解】解：由题意，得 x +2=0且x ﹣1≠0， 解得x =﹣2， 故选：C ． 【点睛】
掌握分式方程的解法为本题的关键. 7、D
【详解】试题分析：∵ D 为BC 中点，∴CD=BD ，又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD 和△ACD 中，
AB AC
AD AD BD CD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACD ；∵EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，AE=CE ，在△AOE 和△COE 中，
0A 0C OE 0E AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COE ；在△BOD 和△COD 中，BD CD BDO CDO OD 0D =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△BOD ≌△COD ；
在△AOC 和△AOB 中，AC AB
OA 0A OC 0B =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，∴△AOC ≌△AOB ；所以共有4对全等三角形，
故选D ．
考点：全等三角形的判定. 8、A
【分析】关键描述语：单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B 型包装箱的数量=所用A 型包装箱的数量-12，由此可得到所求的方程．
【详解】解：根据题意，得：10801080
1215
x x =-- 故选：A ． 【点睛】
此题考查分式方程的问题，关键是根据公式：包装箱的个数与文具的总个数÷每个包装箱装的文具个数是等量关系解答． 9、D
【分析】作点D 关于BA 的对称点P ，点D 关于BC 的对称点Q ，连接PQ ，交AB 于E ，
交BC 于F ，则点E ，F 即为所求．根据四边形内角和等于360°,可得∠ADC 的度数,进而可得∠P+∠Q 的度数，由对称性可得∠EDP+∠FDQ 的度数，进而即可求解． 【详解】作点D 关于BA 的对称点P ，点D 关于BC 的对称点Q ，连接PQ ，交AB 于E ，交BC 于F ，则点E ，F 即为所求．
∵四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =α， ∴∠ADC =180°-α，
∴∠P+∠Q=180°-∠ADC=α， 由对称性可知：EP=ED ，FQ=FD ， ∴∠P=∠EDP ，∠Q=∠FDQ ， ∴∠EDP+∠FDQ=∠P+∠Q=α，
∴()1802EDF ADC EDP FDQ α∠=∠-∠+∠=︒- 故选D ．
【点睛】
本题主要考查轴对称的性质和应用，四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理，掌握掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 10、A
【解析】根据正负数的意义:表示具有相反意义的量,即可判断． 【详解】解: 如果水位下降6m 记作6m -，那么水位上升6m 记作6m + 故选A ． 【点睛】
此题考查的是正负数意义的应用,掌握正负数的意义:表示具有相反意义的量是解决此题的关键． 11、D
【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【详解】解：若3是直角边，
则第三边=22
+=13，
23
若3是斜边，
则第三边=22
-=5，
32
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．
12、D
【分析】根据题意，将选项中a的值代入命题中使得命题不成立即可判断原命题是假命题.
【详解】选项中A，B，C都满足原命题，D选项与原命题的条件相符但与结论相悖，a=-是原命题作为假命题的反例，
则3
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了命题的相关知识，熟练掌握真假命题的判断是解决本题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（a+b﹣8）（a+b+8）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：（a+b）2﹣64＝（a+b﹣8）（a+b+8）．
故答案为（a+b﹣8）（a+b+8）．
【点睛】
此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用公式是解题关键．
14、－1
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，
∴x=-y③，
把③代入②得：-y+2y=-1，
解得y=-1，所以x=1，
把x=1，y=-1代入①得2-3=k，
即k=-1.
故答案为-1
15、3（a+b）（a-b）
【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：3a 2-3b 2=3（a 2-b 2）=3（a+b ）（a-b ）．
故答案为：3（a+b ）（a-b ）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 16、2
【解析】先利用公式求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式即可得出答案 【详解】平均数()12310115x =
+-++= 则方差()()()()()2222221213111011125s ⎡⎤=
-+-+--+-+-=⎣
⎦. 故答案为:2.
【点睛】
本题考查方差的定义以及平均数求法,熟记公式是解题关键,方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.
17、 (－2，－15)
【解析】分析：先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出b 、c 的值，然后根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
详解：∵(x +5)(x −3)=x 2+2x −15，
∴b =2，c =−15，
∴点P 的坐标为(2,−15)，
∴点P (2,−15)关于y 轴对称点的坐标是(−2,−15).
故答案为(−2,−15).
点睛：：考查关于y 轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数.
18、（0，3）或（3，-3）
【解析】根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．
【详解】解：由题意，得
2a-1=3或2a-1=-3，
解得a=2，或a=-1．
点P 的坐标是（0，3）或（3，-3），
故答案为：（0，3）或（3，-3）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，利用点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）.﹣2，4；（2）.﹣3m；（3）.（1，﹣3）或（1，3）.
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可求得a+2=1，b﹣4=1，即可求出a、b的值；（2）作MC⊥x轴交x轴于点C，，分别求出AB、MC的长度，由三角形面积公式表示出△ABM的面积即可；（3）求出当m=﹣3时，△ABM的面积，设P（1，a），将△ABP 的面积表示出来，列方程求解即可.
【详解】（1）由题意得：a+2=1，b﹣4=4，
∴a=﹣2，b=4；
（2）作MC⊥x轴交x轴于点C，
∵A（﹣2，1），B（4，1），
∴AB=6，
∵MC=﹣m，
∴S△ABM=1
2
AB·MC=
1
2
×6×（﹣m）=﹣3m；
（3）m=﹣3时，S△ABM=﹣3×（﹣3）=9，设P（1，a），
OP= |a|，
∴S△ABP=1
2
AB·OP=
1
2
×6×|a|=3 |a|，
∴3 |a|=9，
解得a=±3，
∴P（1，3）或（1，﹣3）.
【点睛】
本题主要考查非负数的性质、点的坐标以及三角形的面积公式，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题.
20、详见解析.
【分析】根据BE=CF推出BF=CE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】证明：∵BE=CF ，
∴BE+EF=CF+EF ，
即BF=CE ，
在△ABF 和△DCE 中
A D
B
C BF CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△ABF ≌△DCE （AAS ），
∴AB=DC （全等三角形对应边相等）
21、05x ≤≤，15
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
【详解】解：解①得：5x ≤
解②得：0x ≥
∴原不等式组的解集为05x ≤≤，
∴原不等式组的整数解为：0，1，2，3，4，5
∴原不等式组的整数解之和为0+1+2+3+4+5=15.
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22、 (1)见解析；(2) 存在，当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE ，∠DCA=∠ECB ，由等边三角形的判定可得结论；
（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，
∴∠DCE =60°，DC =EC ，
∴△CDE 是等边三角形；
（2）解：存在，
①当0≤t ＜6s 时，由旋转可知，60ABE ∠=︒，60DBE ∠<︒，
若90BED ∠=︒，由(1)可知，△CDE 是等边三角形，
∴60DEC ∠=︒，
∴60DEC ∠=︒，
∴30CEB ∠=︒，
∵CEB CDA ∠=∠，
∴30CDA ∠=︒，
∵60CAB ∠=︒，
∴30DCA CDA ∠=∠=︒，
∴4DA CA ==，
∴OD =OA ﹣DA =6﹣4=2，
∴t =2÷
1=2s ； ②当6＜t ＜10s 时，由∠DBE =120°＞90°，
∴此时不存在；
③ t = 10s 时，点D 与点B 重合，
∴此时不存在；
④ 当t ＞10s 时，由旋转的性质可知， ∠CBE =60°
又由（1）知∠CDE =60°，
∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°
+∠BDC ， 而∠BDC ＞0°，
∴∠BDE ＞60°，
∴只能∠BDE =90°，
从而∠BCD =30°，
∴BD =BC =4cm ，
∴OD =14cm ，
∴t =14÷
1=14s ； 综上所述：当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23、（1）270,20,40；（2）6090=-y x ()36x ≤≤；（3）甲加工1.5h 或4.5h 时，甲与乙加工的零件个数相等.
【解析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB 段可得甲机器的速度，观察BC 段结合甲的速度可求得乙的速度；
(2)设当36x ≤≤时，y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+，利用待定系数法求解即可；
(3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可.
【详解】(1)观察图象可知一共加工零件270个，
甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20个，
乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40个，
故答案为：270，20，40；
()2设当36x ≤≤时，y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+
把()3,90B ，()6,270C ，代入解析式，得
3906270k b k b +=⎧⎨+=⎩解得6090k b =⎧⎨=-⎩
6090y x ∴=- ()36x ≤≤
()3设甲加工x 小时时，甲与乙加工的零件个数相等，
乙机器出现故障时已加工零件50-20=30个，
2030x =，
1.5x =；
乙机器修好后，根据题意则有
()2030403x x =+-，
4.5x =，
答：甲加工1.5h 或4.5h 时，甲与乙加工的零件个数相等.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键.
24、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）先证明AB=AD ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）先证明AB=AP ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AB BD ⊥，
90AED AEB ∠=∠=︒∴，
90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒，
BAE DAE ∠=∠∵，
ABE ADE ∠=∠∴，
AB AD ∴=，
∵AE BD ⊥，
BE DE ∴=，
BF FC =∴， 111()()222
EF DC AC AD AC AB ==-=-∴． （2）如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．
∵AE BP ⊥，
90AEP AEB ∠=∠=︒∴，
90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒；
BAE PAE ∠=∠∵，
ABE APE ∠=∠∴，
AB AP =∴，
∵AE BD ⊥，
BE PE =∴，
∵BF FC =，
1111()()(95)22222
EF PC AP AC AB AC ==-=-=-=∴．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25、（1）画图见解析；-4，-1；-3，-3；-1，-2；（2）画图见解析，4.
【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）作出点C 关于y 轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得．
【详解】（1）如图所示，
111A B C ∆即为所求，()()()1114,1,3,3,1,2A B C ------；
（2）如图所示，12CC C ∆的面积是12442
⨯⨯= 【点睛】
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
26、（1）2；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用勾股定理求出BE 的长，进而再次利用勾股定理求出BC 的长；
（2）连接AF ，首先利用ASA 证明出△BDF ≌△EDC ，得到DF CD =，进而得到∠ADF =∠BDC ，再次利用SAS 证出△ADF ≌△BDC ，结合题干条件得到AF ⊥BC ，利用等腰三角形的性质得到结论．
试题解析：(1)∵BD ⊥AD ，点E 在AD 的延长线上，
∴90BDE ∠=，
∵5BD DE ==，
∴2210BE BD DE ，
=+=
∵BC ⊥CE ，
∴90BCE ，
∠= ∴2210222BC BE CE =-=-=；
(2)连接AF ，
∵CD ⊥BD ，DF ⊥CD ，
∴90BDE CDF ，∠=∠= ∴∠BDF =∠CDE ，
∵CE ⊥BC ，
∴90BCE ，
∠= ∴∠DBC =∠CED ，
在△BDF 和△EDC 中，
∵DBF DEC BD DE
BDF CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BDF ≌△EDC (ASA)，
∴DF =CD ，
∴45CFD DCF ∠=∠=，
∵∠ADB =∠CDF ，
∴∠ADB +∠BDF =∠CDF +∠BDF ， ∴∠ADF =∠BDC ，
在△ADF 和△BDC 中，
∵AD BD ADF BDC DF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADF ≌△BDC (SAS)，
∴∠AFD =∠BCD ，
∴45AFD ∠=，
∴90AFC AFD CFD ，
∠=∠+∠= ∴AF ⊥BC ， ∴AB =AC ， ∴BF =CF .。