2019年高考数学(理)：专题02-平面向量与复数(命题猜想,含答案)

【考向解读】
1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.
2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度. 【命题热点突破一】平面向量的线性运算
(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
例1、(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →
等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →
答案 A
解析 作出示意图如图所示.
EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－1
4AC →. 故选A. 【方法技巧】
(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.
(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在
s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →
，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .
(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.
【变式探究】【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .
【答案】
【解析】利用如下图形，可以判断出2a b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，
所以
.
【变式探究】如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12
NC →
，P 是
BN 上的一点，若AP →
＝mAB →＋29
AC →
，则实数m 的值为( )
A.19
B.1
3 C.1 D.3 答案 B
解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，
∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23
AN →
.
又B ，N ，P 三点共线，∴m ＋23＝1，∴m ＝1
3
.
【变式探究】(1)设0<θ<π
2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，
1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.
(2)如图，在△ABC 中，AF ＝1
3AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .
若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →
＝xa ＋yb ，则x ＋y ＝________.
【答案】(1)12 (2)－1
2
【解析】(1)因为a ∥b ，
所以sin2θ＝cos 2
θ，2sin θcos θ＝cos 2
θ. 因为0<θ<π
2，所以cos θ>0，
得2sin θ＝cos θ，tan θ＝1
2
.
方法一 因为AB →＝a ，AC →
＝b ，D 为BC 的中点， 所以AD →＝1
2(a ＋b )．
所以AE →＝12AD →＝1
4(a ＋b )．
所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →
＝－b ＋1
4(a ＋b )
＝14a －34
b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.
方法二 易得EF ＝12MD ，MD ＝1
2CF ，
所以EF ＝14CF ，所以CE ＝3
4
CF .
因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →
＝－b ＋13a ，
所以CE →＝3
4(－b ＋13a )＝14a －34
b .
所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－1
2
.
【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
【变式探究】如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →
，则λ＋μ等于( )
A.2
B.83
C.65
D.8
5
答案 D
解析 方法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1，AC →
＝(1，1).
∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ－μ
2＝1，λ2＋μ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝6
5，μ＝2
5，
故λ＋μ＝8
5
.
方法二 以AB →，AD →
作为基底， ∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，
∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12
AB →，
∴AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ2＋μAD →
，
又AC →＝AB →＋AD →
，
因此⎩⎪⎨⎪⎧
λ－μ
2＝1，
λ
2＋μ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝6
5
，
μ＝2
5.
所以λ＋μ＝8
5
.
【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论
①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2
＋y 2
. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝
x 2－x 12
y 2－y 1
2
.
③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，
则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 2
2
. 例2、（2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
. 若点E 为边CD 上的动点，则
的最
小值为
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
，
，
点在上，则，设，则：
，即，
据此可得：，且：
，
，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：
，
结合二次函数的性质可知，当时，
取得最小值.
本题选择A 选项.
【命题热点突破四】复数的概念与运算
复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i )2
＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，
1－i
1＋i
＝－i 等要熟记． 例4、(2018·全国Ⅰ)设z ＝1－i
1＋i ＋2i ，则|z |等于( ) A.0 B.1
2 C.1 D. 2 答案 C
解析 ∵z ＝1－i
1＋i ＋2i ＝1－i 2
1＋i 1－i ＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，
∴|z |＝1.故选C.
【变式探究】【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若
，则a=
（A ）1或-1 （B （C ）（D 【答案】A 【解析】由
得234a +=，所以1a =±，故选A.
【变式探究】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若，则
a
b
的值为_______. 【答案】2 【解析】由
，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩
，所以
21a b =⎧⎨
=⎩
，2a
b =，故答案为2． 【变式探究】(1)若复数z ＝21＋3i
，则|z|＝( )
A ．12
B ．32
C ．1
D ．2
(2)已知复数z ＝1－i
i
(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】(1)C (2)B
【解析】 (1)z ＝21＋3i
＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝
（12）2＋（32
）2
＝1. (2)z ＝1－i i
＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．
【高考真题解读】
1. （2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非
零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1
B. +1
C. 2
D. 2−
【答案】A
【解析】设，则由得
，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2. （2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，，，
，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
，
点在上，则，设，则：
，即，
据此可得：，且：
，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
3. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得
，又，所以，从而可以求得
，故选D.
4. （2018年全国I 卷理数）在△中，
为
边上的中线，为
的中点，则 A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以
，故选A.
5. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知向量，满足
，
，则
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0 【答案】B 【解析】因为
所以选B.
6. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A 为直线上在
第一象限内的点，
，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若
，则点A 的横坐标为________．
5.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.
若2BD DC =，，且
，则λ的
值为___________. 【答案】
3
11
【解析】,则
.
6.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .
【解析】
，
，
，
∴
，解得：3
λ=
． 7．【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足则
的最小值是________，最大值是_______．
【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：
，
，则：
，
令
，
则
，
据此可得：，
即
的最小值是4
，最大值是
8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝
AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I O A O B ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，
则
A ．321I I I <<
B ．231I I I <<
C ．213I I I <<
D ．312I I I <<
【答案】C 【解析】因为， OA OC <， OB OD <，所以
，故选C 。

9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为
OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若
(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .
【答案】
3
(第12题)
10.【2017江苏，16】 已知向量
（1）若a ∥b ,求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =
（2）0x =时，()f x 取得最大值，为3； 5π
6
x =
时，()f x 取得最小值，为-. 【解析】 解：（1）因为，
，a ∥b ，
所以
.
若cos 0x =，则sin 0x =，与
矛盾，故cos 0x ≠.
于是.
又[]
0,πx ∈，所以5π
6
x =. （2）
.
因为[]
0,πx ∈，所以
，
从而.
于是，当ππ
66
x +
=，即0x =时， ()f x 取到最大值3；
当π6x π+
=，即5π6
x =时， ()f x 取到最小值-1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z
∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则
z ∈R ；
3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则
z ∈R .
其中的真命题为 A.13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24
,p p 【答案】B
【解析】令，则由
得
0b =，所以z R ∈，故1p 正确；
当i z =时，因为，而i z R =∉知，故2p 不正确；
当12i z z ==时，满足
，但12z z ≠，故3p 不正确；
对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.
2.【2017课标II ，理1】
31i
i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D
【解析】由复数除法的运算法则有：，故选
D 。

3.【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若，
则a=
（A ）1或-1 （B （C ）（D 【答案】A 【解析】由
得2
34a +=，所以1a =±，故选A.
3.【2016高考新课标2理数】已知
在复平面内对
应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，
【答案】A
【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30
m 10
+>⎧⎨
-<⎩，解得
3m 1-<<，故选A.
4.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】－1 【解析】
，故填：－1 5.【2016高考山东理数】若复数z 满足其中i 为虚数单
位，则z =（ ） （A ）1+2i
（B ）1-2i
（C ）12i -+
（D ）
12i --
【答案】B
【解析】设bi a z +=，则，故
，
则i z 21-=，选B.
6.【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若
，则
a
b
的值为_______. 【答案】2 【解析】由
，可得110b a
b +=⎧⎨
-=⎩
，所以
21a b =⎧⎨
=⎩，2a
b
=，故答案为2． 7.【2016高考江苏卷】复数其中i 为虚数单位，则z
的实部是________▲________. 【答案】5 【解析】
，故z 的实部是5
1．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2．(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i 解析 因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D. 答案 D
3．(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3
－2i ＝( )
A ．－i
B ．－3i
C ．i
D ．3i
解析 i 3
－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.
答案 C
4．(2015·山东，2)若复数z 满足z
1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z
＝( )
A ．1－i
B ．1＋i
C ．－1－i
D ．－1＋i
解析 ∵z
1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2
＝1＋i ，∴z ＝1－i.
答案 A
5．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
解析 由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i
1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.
答案 A。