2022-2023学年广东省佛山市南海区高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省佛山市南海区高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求．
1．已知向量a →
=（﹣1，2），b →
=（1，0），那么向量3b →
−a →
的坐标是（ ） A ．（﹣4，2） B ．（﹣4，﹣2） C ．（4，2） D ．（4，﹣2）
2．复数
2−i 3i−1
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．sin 275°﹣sin 215°的值为（ ） A ．−1
2
B ．1
2
C ．
√32
D ．−
√3
2
4．“φ＝90°”是“函数f （x ）＝sin （x +φ）为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的全面积的比是（ ） A ．2：3
B ．3：4
C ．4：5
D ．5：6
6．向量a →
=(2，2√3)在向量b →
=(√3，1)上的投影向量是（ ） A ．(−3，√3)
B ．(3，√3)
C ．(3，−√3)
D ．(−3，−√3)
7．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →
=2ED →
，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．1
3AB +
23
AD B ．34
AB +
14
AD C ．14
AB +
34
AD D ．1
3
AD +AB
8．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣3+4i |的最小值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间(π
2，π)上单调递增的函数是（ ） A ．y ＝sin2x
B ．y ＝cos2x
C ．y ＝sin x
D ．y ＝tan x
10．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是（5，7），（﹣3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标可能是（ ） A ．（﹣1，8）
B ．（﹣5，2）
C ．（11，6）
D ．（5，2）
11．已知函数f(x)=sinωx −√3cosωx ，ω＞0，则下列结论中正确的是（ ） A ．若ω＝2，则将f （x ）图象向左平移π
6
个单位长度后得到的图象关于原点对称
B ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4，且|x 1﹣x 2|的最小值为π
2
，则ω＝2
C ．若f （x ）在[0，π
3]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D ．当ω＝3时，f （x ）在[0，π]有且只有3个零点
12．已知圆锥顶点为S ，底面圆O 的直径AB 长为2√2，SO ＝1．若C 为底面圆周上不同于A ，B 的任意一点，则下列说法中正确的是（ ） A ．圆锥SO 的侧面积为6√2π B ．△SAC 面积的最大值为3
2
C ．圆锥SO 的外接球的表面积为9π
D ．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过SO 的中点时，则水的体积为7π12
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在四边形ABCD 中，AB →
∥CD →
，若AB →
=(k ，−4)，CD →
=(−3，k)，则k ＝ ． 14．根据诱导公式，填适当的式子，使 ＝﹣cos α． 15．
1+tan15°1−tan15°
= ．
16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π
6，b =√3
4c ，BC 边上的高为2√3，则△ABC 的面积是 ．
四;、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量a
→=3e 1
→
−3e 2→
，b
→=4e 1→+e 2→，其中e 1→=（1，0），e 2→
=（0，1），求：
（Ⅰ）a →•b →
和|a →
+b →|的值； （Ⅱ）a →
与b →
夹角的余弦值．
18．（12分）已知函数f(x)=1
2sin2x −√3
2cos2x ． （1）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间；
（2）把函数f （x ）图象上所有点向左平移π
3个单位，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在x ∈[0，π
2
]上
的最小值与最大值，并求出取最大值、最小值时自变量x 的值．
19．（12分）如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是2a ．
（1）求石凳的体积； （2）求石凳的全面积．
20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos A ＝a cos B +b cos A ． （1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的周长为9，外接圆的半径为√3，判断△ABC 的形状，并求△ABC 的面积． 21．（12分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AD ＝4，CB ＝CD ． （1）当BD 平分四边形ABCD 面积时，求CD 长度； （2）问AC →
⋅BD →
是定值吗？为什么？
22．（12分）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，
设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半球时取负值），φ为当地的纬度值．
（1）若φ＝45°，δ＝20°，求θ的值，并直接写出用φ，δ表示θ的关系式；
（2）某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值．下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：
请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）；
（3）设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y．该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似
满足函数y＝23.392911sin0.01720279x，经计算T=2π
ω
≈365.2422，已知2023年春分是3月21日，问
2023年夏至大概是几月几日？
（4）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）．
2022-2023学年广东省佛山市南海区高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求．
1．已知向量a →
=（﹣1，2），b →
=（1，0），那么向量3b →
−a →
的坐标是（ ） A ．（﹣4，2）
B ．（﹣4，﹣2）
C ．（4，2）
D ．（4，﹣2）
解：∵a →
=（﹣1，2），b →
=（1，0），
∴向量3b →
−a →
=3（1，0）﹣（﹣1，2）＝（4，﹣2） 故选：D ． 2．复数
2−i 3i−1
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解：
2−i 3i−1
=(2−i)(−1−3i)(−1+3i)(−1−3i)
=
−5−5i 10=−
12
−
12
i ，
所以复数对应的点坐标为(−1
2，−1
2)，该点是第三象限点， 故选：C ．
3．sin 275°﹣sin 215°的值为（ ） A ．−1
2
B ．1
2
C ．
√32
D ．−
√3
2
解：由题意可得：sin 275°−sin 215°=sin 2(90°−15°)−sin 215°=cos 215°−sin 215°=cos30°=√3
2
．
故选：C ．
4．“φ＝90°”是“函数f （x ）＝sin （x +φ）为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：若函数f （x ）＝sin （2x +φ）为偶函数，则φ=
π
2
+k π，k ∈Z ， 则“φ＝90°”是“函数f （x ）＝sin （2x +φ）为偶函数”的充分不必要条件． 故选：A ．
5．圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的全面积的比是（ ） A ．2：3
B ．3：4
C ．4：5
D ．5：6
解：设球的半径为R ，则球的表面积S 球＝4πR 2
所以圆柱的底面半径为R ，高为2R ，
则圆柱的全面积S 柱＝2×πR 2+2πR ×2R ＝6πR 2，
球的表面积与圆柱的全面积的比等于4πR 2：6πR 2＝2：3． 故选：A ．
6．向量a →
=(2，2√3)在向量b →
=(√3，1)上的投影向量是（ ） A ．(−3，√3)
B ．(3，√3)
C ．(3，−√3)
D ．(−3，−√3)
解：根据题意，向量a →
=(2，2√3)，b →
=(√3，1)， 则a →•b →
=2√3+2√3=4√3，|b →
|=√3+1=2， 向量a →
向量b →
上的投影向量为|a →
|cos ＜a →
，b →
＞b
→
|b →
|
=
a →⋅
b →|b →|
2b
→=4√34b →
=√3b →=（3，√3）．
故选：B ．
7．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →
=2ED →
，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．1
3AB +
23
AD B ．34
AB +
14
AD C ．14
AB +
34
AD D ．1
3
AD +AB
解：如图：
∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →
=2ED →
，AE 与对角线BD 交于F ， ∴DE =1
3
AB ，且DE ∥AB ， ∴△DEF ∽△BAF ， 可得
EF
AF
=1
3
，可得AF =3
4AE ，
∴AF →
=34AE →=34（AD →+DE ）=34（AD →+13AB →）=14AB →+34AD →
，
故选：C ．
8．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣3+4i |的最小值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解：设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ）， ∵|z |＝1，
∴a 2+b 2＝1，即复数z 对应的点，在以原点为圆心，1为半径的圆上，
∵|z ﹣3+4i |＝|a ﹣3+（4+b ）i |=√(a −3)2+(4+b)2，表示圆上的点到（﹣3，4）的距离， ∴|z ﹣3+4i |的最小值为√(−3−0)2+(4−0)2−1=5−1=4． 故选：C ．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间(π
2，π)上单调递增的函数是（ ） A ．y ＝sin2x
B ．y ＝cos2x
C ．y ＝sin x
D ．y ＝tan x
解：函数y ＝sin2x 的最小正周期T =2π
2=π，x ∈(π
2，π)时，2x ∈（π，2π），则函数在区间(π
2，π)上不单调，故A 不符合；
函数y ＝cos2x 的最小正周期T =2π2=π，x ∈(π2，π)时，2x ∈（π，2π），则函数在区间(π2
，π)上单调递增，故B 符合；
函数y ＝sin x 的最小正周期T ＝2π，故C 不符合；
函数y ＝tan x 的最小正周期T ＝π，x ∈(π
2
，π)时，函数单调递增，故D 符合． 故选：BD ．
10．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是（5，7），（﹣3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标可能是（ ） A ．（﹣1，8）
B ．（﹣5，2）
C ．（11，6）
D ．（5，2）
解：根据题意，设A （5，7），B （﹣3，5），C （3，4），第四个点为D （x ，y ），
若平行四边形为ABCD ，则AC 、BD 的中点重合，则有{−3+x =5+3
5+y =7+4，解可得{x =11y =6，此时第四个
顶点的坐标为（11，6）；
若平行四边形为ABDC ，则AD 、BC 的中点重合，则有{x +5=(−3)+37+y =5+4，解可得{x =−5
y =2，此时第四
个顶点的坐标为（﹣5，2）；
若平行四边形为ACBD ，则AB 、CD 的中点重合，则有{5+(−3)=3+x 7+5=4+y ，解可得{x =−1
y =8，此时第四
个顶点的坐标为（﹣1，8）；
则第四个顶点的坐标可能是（11，6）、（﹣5，2）、（﹣1，8）； 故选：ABC ．
11．已知函数f(x)=sinωx −√3cosωx ，ω＞0，则下列结论中正确的是（ ） A ．若ω＝2，则将f （x ）图象向左平移π
6个单位长度后得到的图象关于原点对称
B ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4，且|x 1﹣x 2|的最小值为π
2
，则ω＝2
C ．若f （x ）在[0，π
3
]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D ．当ω＝3时，f （x ）在[0，π]有且只有3个零点 解：函数f(x)=sinωx −√3cosωx =2sin(ωx −π
3)，
对于选项A ，若ω＝2，f(x)=2sin(2x −π
3
)，将f （x ）图象向左平移π
6
个单位长度后得到y =2sin(2(x +
π6)−π3
)=2sin2x ，其图象关于原点对称，故A 正确； 对于选项B ，若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4，且|x 1﹣x 2|的最小值为π2
，则T 2
=
πω
=
π2
，解得ω＝2，故B 正确；
对于选项C ，当x ∈[0，π3
]时，ωx −
π3∈[−π3，πω3−π3]，若f （x ）在[0，π
3]上单调递增，则πω3−π3
≤π2
，解得0＜ω≤5
2，故C 错误；
对于选项D ，当ω＝3时，f(x)=2sin(3x −π
3)，令3x −π
3=kπ，k ∈Z ，解得x =kπ
3+π
9，k ∈Z ， 因为x ∈[0，π]，所以x =π
9，x =4π
9，x =7π
9， 所以f （x ）在[0，π]有且只有3个零点，故D 正确； 故选：ABD ．
12．已知圆锥顶点为S ，底面圆O 的直径AB 长为2√2，SO ＝1．若C 为底面圆周上不同于A ，B 的任意一点，则下列说法中正确的是（ ） A ．圆锥SO 的侧面积为6√2π B ．△SAC 面积的最大值为32
C ．圆锥SO 的外接球的表面积为9π
D ．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过SO 的中点时，则水的体积为7π12
解：对A ：由题意可知：OA =OB =√2，SO =1，SA =SB =SC =√SO 2+OB 2=√3， 故圆锥SO 的侧面积为π×√2×√3=√6π，A 错误；
对B ：△SAC 面积S △SAC =12SA ⋅SC ⋅sin∠ASC =12×√3×√3×sin∠ASC =3
2sin∠ASC ，
在△SAB 中，cos ∠ASB =SA 2
+SB 2−AB 22SA⋅SB =2×3×3
=−1
3＜0，故∠ASB 为钝角，
由题意可得：0＜∠ASC ＜∠ASB ，
故当∠ASC =π
2时，△SAC 面积的最大值为32sin∠ASC =3
2
，B 正确；
对C ：由选项B 可得：cos ∠ASB =−1
3，∠SAB 为钝角，可得sin ∠SAB =√1−cos 2∠SAB =2√2
3
， 由题意可得：圆锥SO 的外接球即为△SAB 的外接圆，设其半径为R ， 则2R =
AB sin∠ASB =2√2223
=3，即R =3
2
，
故圆锥SO 的外接球的表面积为4π×(3
2)2=9π，C 正确；
对D ，当水的平面过SO 的中点时，则水的体积为1
3×π×（√2）2×1−13
×π×（
√22
）2×12=7π
12，D 正
确． 故选：BCD ．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在四边形ABCD 中，AB →
∥CD →
，若AB →
=(k ，−4)，CD →
=(−3，k)，则k ＝2√3． 解：在四边形ABCD 中，AB →
∥CD →
， 则AB →
与CD →
反向共线，k ＞0， AB →
=(k ，−4)，CD →
=(−3，k)，
则k 2＝（﹣4）×（﹣3）＝12，解得k =2√3（负值舍去）． 故答案为：2√3．
14．根据诱导公式，填适当的式子，使 cos(π−α)，cos(π+α)，sin(3π2+α)，sin(3π
2
−α)（答案不唯一） ＝﹣cos α．
解：由诱导公式可知cos （π﹣α）＝﹣cos α， cos （π+α）＝﹣cos α， sin(
3π
2+α)=−cos α， sin(3π
2−α)=−cos α．
故答案为：cos(π−α)，cos(π+α)，sin(3π
2+α)，sin(3π
2−α)（答案不唯一）． 15．
1+tan15°1−tan15°
=
√3．
解：原式=tan45°+tan15°
1−tan45°tan15°=tan （45°+15°）＝tan60°=√3． 故答案为：√3
16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π6，b =√3
4c ，BC 边上的高为2√3，则△ABC 的面积是 7√3．
解：因为A =π6，b =√3
4c ，
由正弦定理得sin B =√3
4sin C ＝sin （5π
6−C ）=12cos C +√3
2sin C ，
化简得tan C =−
2√3
3
， 所以sin C =2√7
7，cos C =−√217，
所以sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =12×（−√217）+√32×2√77=√2114
， 因为sin B =√21
14=AD c =2√3
c ，解得c ＝4√7， sin C =2√7
7=AD
b =2√3
b ，解得b =√21，
所以△ABC 的面积S =1
2bc sin A =1
2×√21×4√7×1
2=7√3． 故答案为：7√3．
四;、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量a
→=3e 1
→
−3e 2→
，b
→=4e 1→+e 2→，其中e 1→=（1，0），e 2→
=（0，1），求：
（Ⅰ）a →•b →
和|a →
+b →|的值； （Ⅱ）a →
与b →
夹角的余弦值． 解：∵e 1→
=(1，0)，e 2→
=(0，1)； ∴a →
=(3，−3)，b →
=(4，1)； （Ⅰ）a →
⋅b →
=3×4+(−3)×1=9；
a →
+b →
=(7，−2)；
∴|a →
+b →
|=√72+(−2)2=√53； （Ⅱ）|a →
|=
√32+(−3)2
=3√2，|b →
|=√17；
∴cos ＜a →，b →
＞=
a →⋅b
→
|a →||b →
|
=
93√2×√17=3√34
34．
18．（12分）已知函数f(x)=1
2
sin2x −
√3
2
cos2x ．
（1）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间；
（2）把函数f （x ）图象上所有点向左平移π
3个单位，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在x ∈[0，π
2]上
的最小值与最大值，并求出取最大值、最小值时自变量x 的值． 解：（1）因为f(x)=1
2
sin2x −
√3
2
cos2x =sin(2x −π3)，所以由周期公式可知：T =
2π
2
=π． 由2kπ−π
2≤2x −π
3≤2kπ+π
2，k ∈Z ， 解得：kπ−π
12≤x ≤kπ+5π
12，k ∈Z ，
所以f （x ）的单调递增区间为[kπ−π
12，kπ+5π
12]，k ∈Z ． （2）把f （x ）的图象上所有点向左平移π3个单位长度，
得到函数g(x)=sin(2x +π
3)的图象．
令t =2x +π3，x ∈[0，π
2]，则t ∈[π3，4π3
]，g （t ）＝sin t ，
当t =4π3，即x =π2时，g(x)min =−√3
2， 当t =π2
，即x =
π
12
时，g （x ）max ＝1． 综上，g （x ）在x ∈[0，π2
]上，当x =π2
时，g （x ）取得最小值−√3
2
；
当x =π
12时，g （x ）取得最大值1．
19．（12分）如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是2a ．
（1）求石凳的体积； （2）求石凳的全面积．
解：（1）根据题意可知正方体的体积为V 正方体=(2a)3=8a 3，
又截去的每个四面体体积为V 四面体=13⋅12a 2⋅a =a 36，
∴石凳的体积V =V 正方体−8⋅V 四面体=8a 3−8⋅a 3
6=
20a 3
3
； （2）∵石凳的每个正方形面面积为：S 正方形=(√2a)2=2a 2， 又石凳的每个正三角形面面积为：S 三角形=
1
2⋅(√2a)2sin60°=√3a 22
， ∴石凳的全面积为：S =6S 正方形+8⋅S 三角形=12a 2
+8⋅
√3a 2
2
=(12+4√3)a 2．
20．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos A ＝a cos B +b cos A ． （1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的周长为9，外接圆的半径为√3，判断△ABC 的形状，并求△ABC 的面积． 解：设△ABC 外接圆的半径为R ． （1）因为2c cos A ＝a cos B +b cos A ，
由正弦定理得2sin C cos A ＝sin A cos B +sin B cos A ， 因为sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ）＝sin C ， 所以2sin C cos A ＝sin C ，
又C ∈（0，π），所以sin C ≠0，得cosA =1
2
， 又A ∈（0，π），所以A =π
3；
（2）依题意R =√3，由正弦定理得a ＝2R sin A ＝3， 因为△ABC 的周长为9，所以b +c ＝6，
由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccos π
3=(b +c)2−3bc ， 即9＝36﹣3bc ，所以bc ＝9，
由{b +c =6bc =9得{b =3
c =3，所以△ABC 为等边三角形， 所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×3×3×√32=9√3
4．
21．（12分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AD ＝4，CB ＝CD ． （1）当BD 平分四边形ABCD 面积时，求CD 长度； （2）问AC →⋅BD →
是定值吗？为什么？
解：（1）由直角三角形ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AD ＝4， 可得S △ABD =1
2×2×4＝4， 由题意可得S △CBD ＝4． 设CD ＝t ，
由BD =√4+16=2√5，可得等腰三角形CBD 底边BD 上的高为√t 2−5， 所以1
2×2√5×√t 2−5=4，
解得t =
√205
5
，即CD =√205
5
；
（2）如图建立直角坐标系，A （0，0），B （2，0），C （x ，y ），D （0，4）， 依题意，CB ＝CD ，
即√x 2+(y −4)2=√(x −2)2+y 2， 化简可得x ﹣2y ＝﹣3，
AC →
⋅BD →
=(x ，y)⋅(−2，4)=−2x +4y =−2(x −2y)=6， 所以AC →
⋅BD →
是定值6．
22．（12分）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，
设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半球时取负值），φ为当地的纬度值．
（1）若φ＝45°，δ＝20°，求θ的值，并直接写出用φ，δ表示θ的关系式；
（2）某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了
连续400天太阳直射点的纬度平均值．下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：
请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）；
（3）设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y ．该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y 与x 近似满足函数y ＝23.392911sin0.01720279x ，经计算T =2π
ω
≈365.2422，已知2023年春分是3月21日，问2023年夏至大概是几月几日？
（4）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）．
解：（1）∵φ＝45°，δ＝20°，由图形可知θ＝90°﹣（45°﹣20°）＝65°， 用φ，δ表示θ的关系式为：θ＝90°﹣|φ﹣δ|； （2）
（3）夏至与春分相距T
4≈91.31天，
因为春分是3月21日，3月、5月有31天，4月、6月有30天，10+30+31+21＝92天，
所以夏至大概是6月21日；
（4）∵400（T﹣365）≈96.88，故应在400年中设定97个闰年．。