江西省吉安一中2013届高三上学期期中考试数学理试题

江西省吉安一中2012—2013学年度上学期期中考试高三数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1. 设U=R ，若集合)}(log |{2
2x x y x A +-==，则C U A 等于（ ）
A. ]0(，-∞
B. ),1[+∞
C. ),1[]0,(+∞⋃-∞
D. ),0[]1,(+∞⋃--∞
2. 若a<b<0，则下列不等式中成立的是（ ） A.
b
a 1
1< B.
a
b a 1
1>- C. ||||b a <
D. 2
a ＞2
b
3. 若函数)1,0(),1(log )(≠>+=a a x x f a 且的定义域和值域都是[0,1]，则a=（ ）
A.
2
1 B.
2
C.
2
2 D. 2
4. 方程()x f y =的曲线如图所示，那么方程()x f y -=2的曲线是（ ）
5. △ABC 中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 一解或两解
6. ⊥+===且，,,2||1||，则向量a 与b 的夹角为（ ） A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
7. 已知}{n a 为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n
达到最大值的n 是（ ） A. 21 B. 20
C. 19
D. 18
8. 如图，长方形的四个顶点为O （0，0），A （4，0），B （4，2），C （0，2），曲线x
y =经过点B 。

现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A.
12
5
B.
2
1 C.
3
2 D.
4
3 9. 使函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 是奇函数，且在]4
,0[π上是减函数的θ一个
值是（ ）
A.
3
π B.
32π C. 34π D. 35π 10. 若函数m
x x
m x f +-=2)2()(的图象如图所示，则m 的范围为（ ）
A. )1,(--∞
B. )2,1(-
C. （1，2）
D. （0，2）
二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

11. 点P （x ，y ）满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥020
k y x x y x （k 为常数），若z=x+3y 的最大值为8，则
k=______________
12. 已知函数⎩⎨⎧><=0
,ln 0,)(x x x e x f x ，则=)]1
([e f f ____________
13. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4
2
22c b a S -+=，则角C=_________
14. 一个细胞群体每小时死亡2个细胞，余下的每个细胞分裂成2个，若最初5个细胞，经过n 小时后，该细胞群体的细胞个数为_____________。

15. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=0
,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(2
x f x f >-的实数x 的取值范围
是__________________。

三. 解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本题满12分）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且A c a sin 23= （1）确定角C 的大小； （2）若7=
c ，且△ABC 的面积为
2
3
3，求a+b 的值。

17. （本题满分12分） 已知}0322
94|{1
≤+⋅-=+x x
x A ，},8log 2log |{2
12
1
A x x
x y y B ∈⋅==；若B y ∈1，B y ∈2。

求|y 1-y 2|的最大值。

18. （本题满分12分）
已知)4,3(=a ，)3,4(=b ，求x ，y 的值使a b y a x ⊥+)(，且1||=+b y a x 。

19. （本题满分12分）
已知函数()x f 的定义域是),0(+∞，且满足)()()(y f x f xy f +=，1)2
1
(=f ，如果对于0<x<y ，都有)()(y f x f >， （1）求()1f ；
（2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f 20. （本题满分13分） 已知函数d cx bx x x f +++=
23
3
1)(，设曲线y=()x f 在与x 轴交点处的切线为y=4x-12，()x f 为()x f 的导函数，且满足)(')2('x f x f =-
（1）求()x f
（2）设0,)(')(>=m x f x x g ，求函数g （x ）在[0，m]上的最大值。

（3）设)('ln )(x f x h =，若对一切]1,0[∈x ，不等式)22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围
21. （本题满分14分）
对数列{a n }，规定{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=∆+。

对自然数k ，规定}{n k a ∆为{a n }的k 阶差分数列，其中)(1
111n k n k n k n k a a a a --+-∆∆=∆-∆=∆。

（1）已知数列{a n }的通项公式)(2
N n n n a n ∈+=，试判断}{}{2n n a a ∆∆，
是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{a n }首项a 1=1，且满足)(212N n a a a n
n n n ∈-=+∆-∆+，求数列{a n }的通项
公式。

（3）对（2）中数列{a n }，是否存在等差数列{b n }，使得n n
n n n n a C b C b C b =+++ 2211对
一切自然N n ∈都成立？若存在，求数列{b n }的通项公式；若不存在，则请说明理由。

【试题答案】
一、单项选择 1. 【答案】C 2. 【答案】B 3. 【答案】D 4. 【答案】C 5. 【答案】C 6. 【答案】C 7. 【答案】B 8. 【答案】C
3
16432|322
34
4
023
=⨯==
=
⎰
x dx x S 阴，3
2
42316
=⨯==
矩形阴S S p 9. 【答案】B 10. 【答案】C
二、填空题
11. 【答案】－6 12. 【答案】
e
1 13. 【答案】45° 14. 【答案】2n +4
15. 【答案】),1()21,(+∞⋃---∞
而当0≤x 时，11)(2
>+=x x f 单调递减，所以当012
≤-x ，02≤x 即1-≤x 时，不等式)2()1(2
x f x f >-等价于x x 212
<-，解得21+
->x 或21--<x ，此时
21--<x 。

当02,012>≤-x x 即x>1时，不等式)2(11)1()1(2
22x f x x f =>+-=-恒
成立。

综上可得，21--<x 或x>1
三. 解答题 16. 【答案】
解（1）由A c a sin 23=及正弦定理得，
C A A c a sin sin 3
sin 2== 2
3
s i n ,0s i n
=∴≠C A ∵△ABC 是锐角三角形，3
π=
∴C
（2）3
,7π
=
=C c 。

由面积公式得
2
333s i n 21=πab ，即ab=6 ①
由余弦定理得
73
c o s 22
2
=-+π
ab b a ，即72
2=-+ab b a
②
由②变形得25)(2
=+b a ，故a+b=5 17. 【答案】
1622032218)2(2
≤≤⇒≤+⋅-x
x
x }41|{,41≤≤=∴≤≤⇒x x A x )l o g 3)(log 1(8log 2log 222
12
1
x x x
x y --=⋅= 令)20(log 2≤≤=t x t )20)(3)(1(≤≤--=t t t y 3,0;4
3
,23m a x m i n ==-==
∴y t y t 4
15
||max 21=-∴y y
18. 【答案】
)4,3(=a ，)3,4(=b ，有)34,43(y x y x b y a x ++=+；
又0)34(4)43(30)()(=+++⇔=⋅+⇔⊥+y x y x a b y a x a b y a x 即02425=+y x
①
又1||1||2=+⇔=+y x y x 1)34()43(2
2
=+++⇔y x y x
整理得12548252
2
=++y xy x 即12524)2425(2
=+++y xy y x x ②
由①②有125242
=+y xy ③
将①变形代入③可得：7
5±
=y
再代回①得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==7535
24y x 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x
19. 【答案】
（1）令x=y=1，则0)1(),1()1()1(=+=f f f f
（2）)2
1
(2)3()(f x f x f -≥-+-
)1(0)21
()3()21()(f f x f f x f =≥+-++-
)1()2
32(),1()23()21(f x
x f f x f f ≥-⋅-≥-+-
则⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤-⋅-<≤->->-123201,02
302x x x x x
20. 【答案】 （1）331)(23
-+-=
x x x x f （2）2
10≤<m 最大值为2
m m -
22121+≤<m 时，最大值为4
1 2
21+>
m 时最大值为m m -2
（3）01<<-t 21. 【答案】
解：（1）22)()1()1(2
21+=+-+++=-=∆+n n n n n a a a n x n
}{n a ∆∴是首项为4，公差为2的等差数列
2)22(2)1(22
=+-++=∆n n a n
}{2
n a ∆∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列 （2）n
n n n a a a 212-=+∆-∆+，即n n n n n a a a a 211-=+∆-∆-∆++，即n n n a a 2=-∆
n
n n a a 221+=∴+
3
4231212432,2312,224,1⨯==⨯==⨯==∴=a a a a 猜想：1
2-⋅=n n n a
证明：i ）当n=1时，0
1211⨯==a ；
ii ）假设n=k 时，121
+=⋅=-k n k a k k 时，
1
)1(12)1(2222-++⋅+=+⋅=+=k k k k k k k k a a 结论也成立 ∴由i ）、ii ）可知，12-⋅=n n n a
（3）n n n n n n a C b C b C b =+++ 2211，即122112-⋅=+++n n n n n n n C b C b C b 1
112111013212)(321------⋅=++++=++++n n n n n n n n n n n n C C C C n nC C C C
∴存在等差数列}{n b ，b n =n ，使得n n
n n n n a C b C b C b =+++ 2211对一切自然N n ∈都成
立。