21-22版：2.3.1 直线与平面垂直的判定(步步高)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析 由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A 正确； 因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确； 异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
√A.45°
C.30°
B.60° D.75°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，
则下列结论正确的有
①BC⊥平面PAB；
②AD⊥PC；
③AD⊥平面PBC；
④PB⊥平面ADC.
A.1个
知识点三 直线与平面所成的角
斜线
有关概念 与平面α 相交 ，但不和平面α 垂直 ，图中_直__线__P_A_
对应图形
斜足
斜线和平面的 交点 ，图中_点__A__
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 _斜__足__的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜 线PA在平面α上的射影为__直__线__A_O__
思考 空间两条直线垂直一定相交吗？ 答案 不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异 面垂直.
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直 文字语言 线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b ＝P⇒l⊥α
图形语言
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的
关系是
A.异面
√C.垂直
B.平行 D.不确定
解析 ∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l， 又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l， ∴l⊥平面ABC， ∴l⊥AC.
解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
反思 感悟
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与
“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，
证明 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
核心素养之逻辑推理与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU SHU XUE YUN SUAN
求直线与平面所成的角
直线与平面 所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中_∠__P_A__O__ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行， 或在平面内，它们所成的角是__0_°_
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，__0_°_≤__θ_≤__9_0_°_
思考辨析 判断正误
3.求线面角的常用方法 (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算). (2)转移法(找过点与面平行的线或面). (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).
4 课时对点练
PART FOUR
一、选择题
1.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内三条不都平行的直线；
②l垂直于α内无数条直线；
A.2个
√B.3个
C.4个
D.5个
解析 ①④不正确，其他三项均正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 A.平行 B.垂直相交
√C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
解析 连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC. 又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD. 显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE， AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H， 那么，在这个空间图形中必有 A.AG⊥△EFH所在平面
√B.AH⊥△EFH所在平面
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
跟踪训练2 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一 点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
B.2个
√C.3个
D.4个
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二、填空题 9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a， l⊥b中另外添加的一个条件是__a_与__b_相__交___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
解析 连接AD1， ∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1， ∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 2.线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是90°. (2)线面垂直，则线线垂直.
PART ONE
知识点一 直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与 平面α互相垂直
记法
_l_⊥__α_
直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的 垂面 ，它们惟一的 有关概念 公共点P叫做_垂__足__
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形 的一边垂直
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
反思 感悟
(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
2 题型探究
PART TWO
题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解
例1 下列命题中，正确的序号是_③__④___. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变， ∴AH⊥平面EFH.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝ 2∶1，则AB1与平面BB1C1C
所成角的大小为
典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
素养 评析
(1)求直线与平面所成角的步骤
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角
或直角即为所求的角.
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 ①错，②③对.
12345
3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的
第二章 §2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理. 3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测 课时对点练
1 自主学习
√B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 解析 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1， ∴AD1⊥平面A1DB1.
12345
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为__9_0_° _.
解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④ 中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下 底边，它们互相平行，不满足定理条件.
题型二 直线与平面垂直的判定
例2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，
作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是
A.1
√B.2
C.3
D.6
12345
2.给出下列三个命题：
③l垂直于α内正六边形的三条边.
其中能得出l⊥α的所有条件序号是
A.②
B.①
√C.①③
D .③
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是 A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD
√C.AC1⊥平面CB1D
D.异面直线AD与CB1所成的角为45°
位置关系是 Aபைடு நூலகம்平行
√B.垂直
C.相交
D.不确定
解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l 和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
12345
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 A.平面DD1C1C
它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB
√C.平面OBC
B.平面OAC D.平面ABC
解析 ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC， ∴OA⊥平面OBC.
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两 条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是__①__③__④__.(填序号)
10.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB， 则直线PB与平面ABC所成角的度数为__4_5_°__.
解析 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB， 所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°， 即直线PB与平面ABC所成的角等于45°
3.下列说法中，正确的有
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( × ) 2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( × ) 4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( √ )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
√A.45°
C.30°
B.60° D.75°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，
则下列结论正确的有
①BC⊥平面PAB；
②AD⊥PC；
③AD⊥平面PBC；
④PB⊥平面ADC.
A.1个
知识点三 直线与平面所成的角
斜线
有关概念 与平面α 相交 ，但不和平面α 垂直 ，图中_直__线__P_A_
对应图形
斜足
斜线和平面的 交点 ，图中_点__A__
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 _斜__足__的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜 线PA在平面α上的射影为__直__线__A_O__
思考 空间两条直线垂直一定相交吗？ 答案 不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异 面垂直.
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直 文字语言 线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b ＝P⇒l⊥α
图形语言
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的
关系是
A.异面
√C.垂直
B.平行 D.不确定
解析 ∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l， 又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l， ∴l⊥平面ABC， ∴l⊥AC.
解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
反思 感悟
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与
“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，
证明 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
核心素养之逻辑推理与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU SHU XUE YUN SUAN
求直线与平面所成的角
直线与平面 所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中_∠__P_A__O__ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行， 或在平面内，它们所成的角是__0_°_
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，__0_°_≤__θ_≤__9_0_°_
思考辨析 判断正误
3.求线面角的常用方法 (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算). (2)转移法(找过点与面平行的线或面). (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).
4 课时对点练
PART FOUR
一、选择题
1.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内三条不都平行的直线；
②l垂直于α内无数条直线；
A.2个
√B.3个
C.4个
D.5个
解析 ①④不正确，其他三项均正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 A.平行 B.垂直相交
√C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
解析 连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC. 又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD. 显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE， AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H， 那么，在这个空间图形中必有 A.AG⊥△EFH所在平面
√B.AH⊥△EFH所在平面
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
跟踪训练2 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一 点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
B.2个
√C.3个
D.4个
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二、填空题 9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a， l⊥b中另外添加的一个条件是__a_与__b_相__交___.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
解析 连接AD1， ∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1， ∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 2.线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是90°. (2)线面垂直，则线线垂直.
PART ONE
知识点一 直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与 平面α互相垂直
记法
_l_⊥__α_
直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的 垂面 ，它们惟一的 有关概念 公共点P叫做_垂__足__
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形 的一边垂直
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
反思 感悟
(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
2 题型探究
PART TWO
题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解
例1 下列命题中，正确的序号是_③__④___. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变， ∴AH⊥平面EFH.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝ 2∶1，则AB1与平面BB1C1C
所成角的大小为
典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
素养 评析
(1)求直线与平面所成角的步骤
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角
或直角即为所求的角.
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 ①错，②③对.
12345
3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的
第二章 §2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理. 3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测 课时对点练
1 自主学习
√B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 解析 ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1， ∴AD1⊥平面A1DB1.
12345
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为__9_0_° _.
解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④ 中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下 底边，它们互相平行，不满足定理条件.
题型二 直线与平面垂直的判定
例2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，
作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是
A.1
√B.2
C.3
D.6
12345
2.给出下列三个命题：
③l垂直于α内正六边形的三条边.
其中能得出l⊥α的所有条件序号是
A.②
B.①
√C.①③
D .③
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是 A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD
√C.AC1⊥平面CB1D
D.异面直线AD与CB1所成的角为45°
位置关系是 Aபைடு நூலகம்平行
√B.垂直
C.相交
D.不确定
解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l 和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
12345
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 A.平面DD1C1C
它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB
√C.平面OBC
B.平面OAC D.平面ABC
解析 ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC， ∴OA⊥平面OBC.
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两 条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是__①__③__④__.(填序号)
10.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB， 则直线PB与平面ABC所成角的度数为__4_5_°__.
解析 因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB， 所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°， 即直线PB与平面ABC所成的角等于45°
3.下列说法中，正确的有
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( × ) 2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( × ) 4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( √ )