九年级数学上册第二十一章一元二次方程一元二次方程中的思想方法辅导素材新人教版(2021年整理)

2018秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程一元二次方程中的思想方法同步辅导素材（新版）新人教版
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一元二次方程中的思想方法
一、转化思想
例1对于实数a，b，我们定义一种运算“※"为:a※b=a2-ab,例如1※3=12—1×3。

若x※4=0,则x=______.
分析:观察“新运算”的要求，将新运算转化为我们熟悉的运算，再解方程可得x的值.
解：由题意，得x※4=x2-4x=0，解得x1=0，x2=4.
故答案为0或4。

二、整体思想
例2已知x2—2x-3＝0，则2x2—4x的值为 ( ）A．-6 B．6 C．—2或6 D．-2或30
分析:先将条件变形为x2—2x＝3，再将2x2—4x转化为2（x2—2x)的形式，把x2-2x＝3整体代入即可．
解：将x2-2x—3＝0，变形为x2-2x＝3,所以2x2—4x＝2（x2—2x）=2×3＝6，故选 B．
三、分类讨论思想
例3等腰三角形一条边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2—12x＋k=0的两个解，则k的值是 ( ）
A．27 B．36 C．27或36 D．18分析：题中没有说明已知的边长3是腰还是底边,故需要分腰为3，或底边为3两种情况讨论，分别代入求出k的值，再根据三角形任意两边之和大于第三边舍去不符合题意的答案。

解：当等腰三角形的腰长为3时，则x=3也是一元二次方程x2-12x＋k=0的一个解,把x=3代入x2-12x＋k=0，解得k=27.此时方程的另一解为9,则三角形的底边长为9。

因为3+3＜9,所以不能组成三角形，故k≠27.
当等腰三角形底边长为3时，一元二次方程x2-12x＋k=0有两个相等的实数根，则 =0,即122—4k=0，解得k=36，此时方程的解为x1=x2=6，等腰三角形的三边长分别为3，6，6,满足三角形的三边关系.
故选B 。

例4 已知关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，试求k 的取值范围。

分析：方程“有实数根",既可以是“有一个实数根”,也可以是有“有两个实数根"，即方程既可以是一元一次方程,也可以是一元二次方程,故需按0=k 和0≠k 来分类讨论.
解: 当k =0时，原方程为034=+-x ，这时有一个实数根43
=x .
当0≠k 时，方程有两个实数根，则34)4(2⋅--=∆k ≥0，解得k ≤34
，且k ≠0.
综上所述, k 的取值范围应为k ≤34。