2018-2019学年湖南省邵东县第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2018-2019学年湖南省邵东县第一中学高一上学期
期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{2,3,4}A =，{2,5}B =，则A B =I () A ．{5} B ．{1,2,5}
C ．{2}
D ．∅
【答案】C
【解析】由A 与B ，求出两集合的交集即可． 【详解】
∵集合A ＝{2，3，4}，集合B ＝{2，5}， ∴A ∩B ＝{2}． 故选：C ． 【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．下列命题正确的是（）．
A ．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直
B ．两条异面直线不能同时平行于一个平面
C ．直线的倾斜角α的范围是0°<α≤180°
D ．两条异面直线所成的角α的取值范围是：0°＜α≤90° 【答案】D
【解析】利用直线与平面垂直的定义；直线倾斜角α的取值范围；二条异面直线所成的角的取值范围；线面平行的判定与性质．选出答案． 【详解】
一条直线与平面中的任意直线垂直，则直线与平面垂直故选项A 错，
在空间选取一点O （不在两异面直线上），将两异面直线平移到过O ，则可以确定一个平面，且由线面平行的判定定理，易证两异面直线均平行于这个平面，故选项B 错， 直线的倾斜角的范围是0°≤α≤180°故选项C 错，
二条异面直线所成的角的取值范围是0°＜α≤90°故选项D 正确. 故选：D ．
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的定义、直线倾斜角α的取值范围、二条异面直线所成的角的取值范围、线面平行的判定，属于基础题．
3．已知幂函数y =f (x )的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是() A ．y =x 2
B ．1()2
x
y =
C ．12
y x =
D ．y =2x
【答案】C
【解析】根据幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（4，2），求得幂函数的解析式即可． 【详解】
设幂函数y ＝f （x ）＝x α
∵幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（4，2）， ∴2＝4α ∴α12
=
， ∴幂函数f （x ）＝x α
1
2x =， 故选：C ． 【点睛】
本题考查幂函数解析式的求解，考查求函数值，解题的关键是认清幂函数的表达式． 4．在正方体ABCD A B C D ''''-中，二面角C AB C '--的大小是() A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】B
【解析】因为C ′C ⊥底面ABCD ，故可由三垂线定理法作出二面角的平面角，即∠C ′BC ，直接求解即可． 【详解】
因为C ′C ⊥底面ABCD ，C ′B ⊥AB ，所以∠C ′BC 即为二面角C ′﹣AB ﹣C 的平面角，因为∠C ′BC ＝45°，所以二面角C ′﹣AB ﹣C 的大小是45°． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二面角的作法和求解，考查正方体中线面关系，空间想象能力和运算能力． 5．直线3x +4y -3=0与圆22(2)(3)1x y -+-=的位置关系是：() A ．相离; B ．相交;
C ．相切;
D ．无法判定.
【答案】A
【解析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，然后利用点到直线的距离公式求出圆
心到已知直线的距离d ，发现d >r ，故直线与圆相离． 【详解】
由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r ＝1， 所以圆心到直线3x +4y ﹣3＝0的距离d 6123
5
+-==3>r ，
则直线与圆的位置关系为相离． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．其中直线与圆的位置关系的判定方法为：当0≤d ＜r 时，直线与圆相交；当d ＝r 时，直线与圆相切；当d ＞r 时，直线与圆相离．
6．下列运算中正确的是()
A 3π=-
B ．312
8
843()m m n n
-
=
C ．9log 819=
D ．lg lg
lg xy xy z z
= 【答案】B
【解析】分别利用根式与指数幂的互化，对数的运算及性质进行判断. 【详解】
对于A ，3π0-<，3π=-，故A 错，
对于B ，33112
888
88443()()()m m n m n n
-
-
==，故B 正确，
对于C ，9log 812=，故C 错， 对于D ，lg lg lg lg xy
x y z z
=+-，故D 错， 故选B. 【点睛】
本题考查了指对的运算及性质的应用，熟练掌握指对运算法则及性质是解题的关键. 7．已知0＜a ＜1，函数y =a x 与y =log a （-x ）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由函数y=a x 与y=log a x 互为反函数， y=log a （-x ）与y=log a x 的图象关于y 轴对称， 以及函数的单调性即可得出． 【详解】
函数y=a x 与y=log a x 互为反函数，其图象关于直线y=x 对称， y=log a （-x ）与y=log a x 的图象关于y 轴对称， 又0＜a ＜1，根据函数的单调性即可得出． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质，属于基础题．
8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是()
A ．
3
π B ．
23
π C ．
26
π D 3π 【答案】D
【解析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据三视图的数据易得圆锥的底面直径及母线，可得高，代入圆锥体积公式即可得到答案． 【详解】
由三视图知几何体的直观图是半个圆锥， 又∵正视图是边长为2的等边三角形，
∴r ＝1，h =v 211132π=⋅=
π 故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．
9．已知球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是36πcm 2，则球心到截面圆圆心的距离是（） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D
【解析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求解球心与截面圆周的圆心的距离即可． 【详解】
球的半径为10cm ，若它的一个截面圆的面积是36πcm 2， 可得截面圆的半径为：6cm ，
=8cm ． 故选：D ． 【点睛】
本题考查球与截面圆的位置关系，点线面距离的求法，考查计算能力．
10．若函数()211
1x x f x lgx
x ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)=
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B 【解析】【详解】
因为101>，所以()10lg101f ==. 所以2
((10))(1)112f f f ==+=,故选B. 【点评】
对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.
二、填空题
11．函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是________． 【答案】1
【解析】因为函数f(x)＝2x ＋x 3－2的导数为f′(x)＝2x ln2＋3x 2≥0，所以函数f(x)单调递增，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以根据根的存在定理可知在区间(0，1)内函数的零点个数为1个．
12．在空间直角坐标系O -xyz 中，点（1,2,3）关于原点的对称点坐标为__________. 【答案】（-1，-2，-3）
【解析】直接根据空间点的对称得到结果. 【详解】
点（1,2,3）关于原点的对称点坐标为（-1，-2，-3）， 故答案为：（-1，-2，-3） 【点睛】
本题考查空间坐标的概念及对称问题，属于基础题.
13．过点(4,2)P -且与直线l :270x y --=平行的直线方程为_________. 【答案】2100x y -+=
【解析】设与直线2x -y -7＝0平行的直线方程为 2x -y +m ＝0，把点（-4，2）代入直线方程，求出m 值即得直线l 的方程． 【详解】
设与直线2x -y -7＝0平行的直线方程为 2x -y +m ＝0， 把点（-4，2）代入直线方程得， -8﹣2+m ＝0，m ＝10，
故所求的直线方程为2x -y +10＝0， 故答案为：2x -y +10＝0． 【点睛】
本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设与已知平行的直线方程的方法是解题的关
键．
14．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 【答案】2
2
(2)10x y -+=.
【解析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为
24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径
=22
(2)10x y -+=.
【点睛】
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
15．已知函数f (x )＝22
log (1),0
2,0
x x x x x +>⎧⎨
--≤⎩若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(0,1)
【解析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m 的范围． 【详解】
令g （x ）＝f （x ）﹣m ＝0， 得m ＝f （x ）
作出y ＝f （x ）与y ＝m 的图象，
要使函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有3个零点， 则y ＝f （x ）与y ＝m 的图象有3个不同的交点， 所以0＜m ＜1， 故答案为：（0，1）．
【点睛】
本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视．
三、解答题
16．已知集合A ={x |a ≤x ≤a +2}，B ={x |x <-1或x >5} （1）若a =0,求A ∩B .
（2）若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围. 【答案】（1）∅（2）{}
53a a a ><-或 【解析】（1）化简集合A ，由此能求出A ∩B ，．
（2）推导出A ⊆B ，从而a +2＜﹣1或a ＞5，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】
（1）当a ＝0时，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞5}． ∴A ∩B ＝∅.
（2）∵集合A ＝{x |a ≤x ≤a +2}，B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞5}，A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，
∴a +2＜﹣1或a ＞5， 解得a ＜﹣3或a ＞5．
∴实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）． 【点睛】
本题考查交集的求法，考查并集的性质的应用及集合间的关系，考查运算求解能力，是基础题．
17．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别是AB 和PC 的中点．
(1)求证：AB ⊥平面PAD ； (2)求证：EF //平面PAD ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）证明P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，证得AB ⊥平面P AD ．
（2）取CD 的中点G ，由FG 是三角形CPD 的中位线，可得 FG ∥PD ，再由矩形的性质得 EG ∥AD ，证明平面EFG ∥平面P AD ，从而证得EF ∥平面P AD ． 【详解】
（1）∵侧棱P A 垂直于底面，∴P A ⊥AB ．又底面ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ， 这样，AB 垂直于平面P AD 内的两条相交直线，∴AB ⊥平面P AD ．
（2）取CD 的中点G ，∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴FG 是三角形CPD 的中位线， ∴FG ∥PD ，FG ∥面P AD ．∵底面ABCD 是矩形，∴EG ∥AD ，EG ∥平面P AD ． 故平面EFG ∥平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ． 【点睛】
本题考查证明线面垂直、线面平行、面面平行的判定定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于中档题． 18．函数()2
1x b
f x x
+=
+是定义在(1,1)-上的奇函数。

（1）求函数()f x 的解析式；
（2）用单调性的定义证明函数()f x 在(0,1)上是增函数。

【答案】(1) 2
()1x
f x x
=
+ (2) 见解析 【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义得(0)0f =，解得0b =（2）先根据定义作差，通分提取公因式，再根据自变量范围确定各因子符号，确定差的符号，由增函数定义得证 试题解析：
19．已知圆22C :8120x y y +-+=，直线l :ax y 2a 0++=． （1）当直线l 与圆C 相切，求a 的值；
（2）当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且22AB =时，求直线l 的方程． 【答案】(1) 3
4
a =-
(2) 7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】试题分析：（1）把一般方程配成圆的标准方程，求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离为半径得到关于a 的方程，解出a 即可．（2）先利用几何性质由弦长AB 得2，再利用点到直线距离公式得到关于a 的方程，解出a 即可． 解析：圆2
2
:8120C x y y +-+=化成标准方程为()2
244x y +-=，则此圆的圆心为
()0,4，半径为2.
（1）当直线l 与圆C 24221
a
a +=+ ，解得3
4a =-
（2）过圆心C 作CD AB ⊥于D ，则根据题意和圆的性质，2CD =，
2
4221
a a +=+7a =-或1a =-，故所求直线方程为7140x y -+=或
20x y -+=.
20．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．
【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0]
【解析】(1)由
10
{
10
x
x
>
>
－，
＋，
得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．
(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2，
设t＝1－x2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．
所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋(t2－1)，t∈(0，1]，
设0<t1<t2≤1，则lgt1<lgt2，21t<22t，
所以lgt1＋(21t－1)<lgt2＋(22t－1)，
所以函数y＝lgt＋(t2－1)在t∈(0，1]上为增函数，
所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．。