摩擦学原理(第8章润滑设计)
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在流体润滑情况下有
（8.3）
h C e cos
e ,ψ的定义见第七章，因此略去式（8.3）的高阶小量，有： R
（8.4）
式中， 角起始线为轴承中心O和轴颈轴心O’的连线，顺转动 方向度量，见图8.1。 因此，当=0和=180时，润滑膜为最厚和最薄，分别为：
hmin C e
（8.14）
轴承最小润滑膜厚位于轴承的圆柱部分，因此有：
hmin C e
（8.15）
4．齿轮与凸轮 gear and cam 对于齿轮与凸轮润滑的问题，通常可以用半径分别与接触点的曲率半径相等的两 个圆柱体的接触来近似表示，见图8.5a。并进一步通过数学变换转化为一个当量圆柱 与一个平面的接触，见图8.5b。因此齿轮、凸轮润滑时的油膜厚度为：
1．圆轴承
circular bearing 任意两圆弧表面间的膜厚表达式。图8.1为某一工作状态下的圆轴承，轴承半径为R， 轴颈半径为r，半径间隙为C=R-r，e为偏心距，h为任一点处的膜厚。
在图8.1的 OOM
中
R2 e2 (r h)2 - 2e(r h)cos
将式（8.1）两端分别减去 并整理可得：
T T ) 流 ( k ) n n 壁
p流 p壁
2．不同流体边界面上的边界条件 different fluid boundary condition 通常可认为两种润滑流体在分界面的速度、温度和压力是连续的，即
u1流 u2流
p1流 p2流
T1流 T2流
3．流体润滑膜上游和下游的边界条件 up and down boundary conditions of fluid film 流体润滑膜上游或下游边界条件一般是指该处流体润滑膜的压力和温度。其中上游 边界处的流体膜温度，通常可以取由外界供给润滑剂和经下游边界返回上游处润滑流 体的混合温度。压力边界条件中气体润滑由于气体的可膨胀性，气体润滑膜可以保持 连续而无破裂，液体润滑中由于液体通常认为是不可压缩的，因此液体润滑时润滑膜 下游常有破裂发生，变得较为复杂。
（8.26）
式中， i 为第i块瓦的摆动角速度，
i 为第i块瓦的支点角。
图8.9可倾瓦轴承的运动示意图
3．动载轴承 (dynamic bearing )
在轴颈表面任一点M，相对于轴承内表面 点的切向和法向速度
M
U (b j )r e sin e( )cos
2．可倾瓦轴承
(tilting bearing )
在可倾瓦轴承中，不仅轴颈运动，而且轴瓦还绕其本身的支点运动（摆动）。因 此，可倾瓦轴承的运动关系较固定瓦复杂些。我们可将瓦块M点的摆动速度沿切向、 径向分解与式（8.24）、（8.25）合成并略去高阶小量，得
U r e sin( i ) e cos( i ) r i [1 cos( i i )] V e cos( i ) e sin( i ) r i [sin( i i )]
lubrication design for typical machine element
8.1 常见摩擦副的几何和运动关系以及边界条件
geometric and kinematics relations and boundary conditions for common friction pairs
1 C 2 max 1 Cmin
1
2 max 1 min
1
（8.13）
三油楔轴承内表面由圆柱和油楔两部分组成，对于圆柱部分，仍采用式（8.4）。对 于油楔部分（若油楔弧半径与轴径半径之差均为 C )
油楔1 油楔2 油楔3 h1 C e1 cos 1 h2 C e2 cos 2 h3 C e3 cos 3
（8.5）
2．椭圆轴承 ellipse bearing 这里阐述椭圆轴承的椭圆是工程意义上的椭圆，而不是数学里定义的椭圆， 它是由圆心不重合的两段圆弧组成，见图8.2。 图中O1、O2分别为瓦1、2的瓦弧 中心，O为轴承几何中心，O’为轴颈轴心， e为轴承偏心距，为轴承偏位角，e1、 e2分别为瓦1、瓦2的偏心距，e’为予置 偏心距。根据式（8.4）及椭圆轴承的几 何关系可得瓦1和瓦2膜厚为：
h1 C e1 cos 1
(a) (b) 图8.2 椭圆轴承几何关系示意图
其中
e1 [e (e) 2ee cos ]
2 2
h2 C e2 cos 2
2 2
（8.6）
1 2
e2 [e (e) - 2ee cos ]
1 2
（8.7）
各瓦最小润滑膜厚度
（8.18） 定义可倾瓦轴承的预负荷系数：
1
C C
（8.19）
可倾瓦轴承各瓦的最小润滑膜厚：
hi min C ei
（8.20）
图8.6可倾瓦轴承的几何关系示意图
可倾瓦轴承最小润滑膜厚应取各瓦中最小润滑膜厚的较小值。对可倾瓦轴承其最 小润滑膜所在位置一般是在最大承载瓦上。
6．可倾瓦推力轴承 (tilting thrust bearing )
在第七章建立了求解润滑问题的Reynolds方程和其它有关方程。要进行润滑设 计则要求解相关的方程。
第八章 典型零件润滑设计
而要求解Reynolds方程及能量方程等相关方程，则首先要知道两相对运动表面 的几何和速度关系，建立润滑膜厚度h和速度U、V的表达式，并选取合适的边界条件
8.1.1润滑膜厚度表达式 expression of film thickness
图8.3椭圆轴承示意图
max min
一般采用2~3。
3．多油叶和多油楔轴承 (multi wedge bearing) 以以三油叶、三油楔轴承为例，见图8.4。
(a) 图8. 4 多油叶、多油楔轴承几何关系示意图
(b)
采用与椭圆轴承相同的方法，根据式（8.4）及三油叶轴承（瓦弧包角为120度)的 几何关系为:
u0
un Un
（8.30）
对于非粘性流体则可以有滑移，此时 （8.31）
（2）温度边界条件 temperature boundary condition 可认为为固体壁面处润滑流体的温度与固体壁面的温度相等、热流量相等，即：
T流 T壁
(k
T 为法向热流梯度，通常定义从固体壁面向流体传导的热量为正。 n 3）压力的边界条件 press boundary condition 固体壁面作用在流体上的压力与该处流体作用于固体壁面上的压力相等，即：
定义椭圆度为
max
C R
，顶隙比 min Cm ，侧隙比
R
,三者的关系为
C C e C Cm 1 m 1 m 1 min C C C Cmax max
（8.9）
椭圆度是椭圆轴承的一个重要参数。它是非椭圆轴承的 一个特征量，它表示该轴承予负荷的大小，为此，在多 油叶轴承中常称此值为预负荷系数。对于油叶形轴承
（1）油膜形成和破裂的原因与现象 ① 油膜破裂的原因 关于油膜破裂原因，一般有两种解释。一种观点认为油里本来溶解有一部分气体，当压力降至大气 压以下，溶解度也随之降低，于是一些气体逃逸出来形成了气穴。另一种观点认为压力降至油的液 态和气态能够共存的“饱和压力时”，一部分油发生相变，成为油的“蒸汽”，因而形成气穴。但 在通常的轴承运转温度下，润滑油的饱和压力比大气压低很多，而实验结果表明油膜破裂现象却在 压力稍小于大气压时就发生了。因此一般认为前一种解释较为合理。所以，在流体润滑设计中通常 采用环境大气压代表油膜破裂时的压力。
（8.1）
e2 cos2
（8.2）
h ( R 2 - e 2 sin 2 ) - r e cos
图8. 1圆轴承几何关系示意图
采用级数展开，则有：
1 e 1 e 4 4 h R[1 ( ) 2 sin 2 ( ) sin .....]-r+ecos 2 R 2 4 R 1 e 1 e C +ecos es in 2 ( ) 2 e sin 4 ..... 2R 8 R
x2 h h0 ( R1 R x ) ( R2 R x ) h0 2R
2 1 2 2 2 2
（8.16）
式中，R称为当量曲率半径(equivalent radius of curvature) 。 若R1和R1分别是两轮的半径，对外啮合与内啮合两种情况，当量曲率半径R 为：
可倾瓦推力轴承润滑膜厚度为：
h hp rp r sin( p )
设最小膜厚位于
图8.7可倾瓦推力轴承结构示意图
（8.21） ，则 (rm , m) （8.22）
hmin hp rp rm sin( p m )
将式（8.22）代入式（8.21），可得
h hmin rp [r sin( p ) rm sin( p m )] （8.23）
（8.27）
V eco s e( )sin be sin
（8.28）
图 8.10径向动载轴承
8.1.3边界条件 (boundary condition )
求解润滑理论问题，建立Reynolds方程和能量方程等控制方程是其中的重 要一步，但如果没有采用合适的边界条件，其结果也是大相径庭。 这里所说道边界条件是指润滑流体边界的已知条件。通常有下面几种情况。 1．流体与固体壁面的边界条件 2．不同流体边界面上的边界条件 fluid-solid wall boundary condition different fluid boundary condition
R1 R2 R R1 R2
（8.17）
h0 x
R1
h h0 x
R h
R2
(a) 图8.5齿轮、凸轮润滑时的油膜厚度
(b)
5．可倾瓦轴承 (tilting bearing)
由图8.6所示的几何关系可导出可倾瓦轴承 第i块轴瓦上的润滑膜厚度表达式：
hi C -(C - C)cos(i - i ) e cos(i - ) ri sin ( i - i )
8.1.2
运动速度表达式
moving velocity expression
1．固定瓦轴承 fixed pad bearing 以圆柱轴承为例，见图8.8，设轴颈以ω速度转动，同时转轴轴心以 的速度和的 速度 ' 沿轴承中心O和 O 转轴轴心连线的方向及其垂直的方向运动。则轴颈的上某一点 M相对于 轴瓦上对应点 M 的相对速度的切向分量 U和径向分量V，为
h1min C e1 h2 min C e2
（8.8）
轴承的最小润滑膜厚度取两瓦最小润滑膜厚度中较小的。
当轴颈中心与轴承几何中心重合时，椭圆轴承的半径间隙最大值，通常也称侧隙，为
Cmax
C(C R r )
半径间隙最小值，.3。
e C
3．流体润滑膜上游和下游的边界条件 inlet and outlet boundary conditions of fluid film
1．流体与固体壁面的边界条件
fluid-solid wall boundary condition
（1）速度边界条件 speed boundary condition 当固体壁面不可渗透时，粘性流体质点将依附于固体壁面上而无滑移。若设流体速度 为u，壁面速度为U，则有： 对于运动固体壁面： u U （8.29） 对静止固体壁面：
U r e sin e cos r e sin( ) e cos( )
V e cos e sin = e cos( ) e sin( )
（8.24）
（8.25）
图8.8 固定瓦轴承速度示意图
h1 C e1 cos
h1min C - e1
h2 C e2 cos h3 C e3 cos
h2min C - e2
（8.10）
（8.12）
h3min C - e3
三油叶轴承的轴承最小润滑膜厚度应取三瓦中的最小者
三油叶轴承的预负荷系数，为：
1
（8.3）
h C e cos
e ,ψ的定义见第七章，因此略去式（8.3）的高阶小量，有： R
（8.4）
式中， 角起始线为轴承中心O和轴颈轴心O’的连线，顺转动 方向度量，见图8.1。 因此，当=0和=180时，润滑膜为最厚和最薄，分别为：
hmin C e
（8.14）
轴承最小润滑膜厚位于轴承的圆柱部分，因此有：
hmin C e
（8.15）
4．齿轮与凸轮 gear and cam 对于齿轮与凸轮润滑的问题，通常可以用半径分别与接触点的曲率半径相等的两 个圆柱体的接触来近似表示，见图8.5a。并进一步通过数学变换转化为一个当量圆柱 与一个平面的接触，见图8.5b。因此齿轮、凸轮润滑时的油膜厚度为：
1．圆轴承
circular bearing 任意两圆弧表面间的膜厚表达式。图8.1为某一工作状态下的圆轴承，轴承半径为R， 轴颈半径为r，半径间隙为C=R-r，e为偏心距，h为任一点处的膜厚。
在图8.1的 OOM
中
R2 e2 (r h)2 - 2e(r h)cos
将式（8.1）两端分别减去 并整理可得：
T T ) 流 ( k ) n n 壁
p流 p壁
2．不同流体边界面上的边界条件 different fluid boundary condition 通常可认为两种润滑流体在分界面的速度、温度和压力是连续的，即
u1流 u2流
p1流 p2流
T1流 T2流
3．流体润滑膜上游和下游的边界条件 up and down boundary conditions of fluid film 流体润滑膜上游或下游边界条件一般是指该处流体润滑膜的压力和温度。其中上游 边界处的流体膜温度，通常可以取由外界供给润滑剂和经下游边界返回上游处润滑流 体的混合温度。压力边界条件中气体润滑由于气体的可膨胀性，气体润滑膜可以保持 连续而无破裂，液体润滑中由于液体通常认为是不可压缩的，因此液体润滑时润滑膜 下游常有破裂发生，变得较为复杂。
（8.26）
式中， i 为第i块瓦的摆动角速度，
i 为第i块瓦的支点角。
图8.9可倾瓦轴承的运动示意图
3．动载轴承 (dynamic bearing )
在轴颈表面任一点M，相对于轴承内表面 点的切向和法向速度
M
U (b j )r e sin e( )cos
2．可倾瓦轴承
(tilting bearing )
在可倾瓦轴承中，不仅轴颈运动，而且轴瓦还绕其本身的支点运动（摆动）。因 此，可倾瓦轴承的运动关系较固定瓦复杂些。我们可将瓦块M点的摆动速度沿切向、 径向分解与式（8.24）、（8.25）合成并略去高阶小量，得
U r e sin( i ) e cos( i ) r i [1 cos( i i )] V e cos( i ) e sin( i ) r i [sin( i i )]
lubrication design for typical machine element
8.1 常见摩擦副的几何和运动关系以及边界条件
geometric and kinematics relations and boundary conditions for common friction pairs
1 C 2 max 1 Cmin
1
2 max 1 min
1
（8.13）
三油楔轴承内表面由圆柱和油楔两部分组成，对于圆柱部分，仍采用式（8.4）。对 于油楔部分（若油楔弧半径与轴径半径之差均为 C )
油楔1 油楔2 油楔3 h1 C e1 cos 1 h2 C e2 cos 2 h3 C e3 cos 3
（8.5）
2．椭圆轴承 ellipse bearing 这里阐述椭圆轴承的椭圆是工程意义上的椭圆，而不是数学里定义的椭圆， 它是由圆心不重合的两段圆弧组成，见图8.2。 图中O1、O2分别为瓦1、2的瓦弧 中心，O为轴承几何中心，O’为轴颈轴心， e为轴承偏心距，为轴承偏位角，e1、 e2分别为瓦1、瓦2的偏心距，e’为予置 偏心距。根据式（8.4）及椭圆轴承的几 何关系可得瓦1和瓦2膜厚为：
h1 C e1 cos 1
(a) (b) 图8.2 椭圆轴承几何关系示意图
其中
e1 [e (e) 2ee cos ]
2 2
h2 C e2 cos 2
2 2
（8.6）
1 2
e2 [e (e) - 2ee cos ]
1 2
（8.7）
各瓦最小润滑膜厚度
（8.18） 定义可倾瓦轴承的预负荷系数：
1
C C
（8.19）
可倾瓦轴承各瓦的最小润滑膜厚：
hi min C ei
（8.20）
图8.6可倾瓦轴承的几何关系示意图
可倾瓦轴承最小润滑膜厚应取各瓦中最小润滑膜厚的较小值。对可倾瓦轴承其最 小润滑膜所在位置一般是在最大承载瓦上。
6．可倾瓦推力轴承 (tilting thrust bearing )
在第七章建立了求解润滑问题的Reynolds方程和其它有关方程。要进行润滑设 计则要求解相关的方程。
第八章 典型零件润滑设计
而要求解Reynolds方程及能量方程等相关方程，则首先要知道两相对运动表面 的几何和速度关系，建立润滑膜厚度h和速度U、V的表达式，并选取合适的边界条件
8.1.1润滑膜厚度表达式 expression of film thickness
图8.3椭圆轴承示意图
max min
一般采用2~3。
3．多油叶和多油楔轴承 (multi wedge bearing) 以以三油叶、三油楔轴承为例，见图8.4。
(a) 图8. 4 多油叶、多油楔轴承几何关系示意图
(b)
采用与椭圆轴承相同的方法，根据式（8.4）及三油叶轴承（瓦弧包角为120度)的 几何关系为:
u0
un Un
（8.30）
对于非粘性流体则可以有滑移，此时 （8.31）
（2）温度边界条件 temperature boundary condition 可认为为固体壁面处润滑流体的温度与固体壁面的温度相等、热流量相等，即：
T流 T壁
(k
T 为法向热流梯度，通常定义从固体壁面向流体传导的热量为正。 n 3）压力的边界条件 press boundary condition 固体壁面作用在流体上的压力与该处流体作用于固体壁面上的压力相等，即：
定义椭圆度为
max
C R
，顶隙比 min Cm ，侧隙比
R
,三者的关系为
C C e C Cm 1 m 1 m 1 min C C C Cmax max
（8.9）
椭圆度是椭圆轴承的一个重要参数。它是非椭圆轴承的 一个特征量，它表示该轴承予负荷的大小，为此，在多 油叶轴承中常称此值为预负荷系数。对于油叶形轴承
（1）油膜形成和破裂的原因与现象 ① 油膜破裂的原因 关于油膜破裂原因，一般有两种解释。一种观点认为油里本来溶解有一部分气体，当压力降至大气 压以下，溶解度也随之降低，于是一些气体逃逸出来形成了气穴。另一种观点认为压力降至油的液 态和气态能够共存的“饱和压力时”，一部分油发生相变，成为油的“蒸汽”，因而形成气穴。但 在通常的轴承运转温度下，润滑油的饱和压力比大气压低很多，而实验结果表明油膜破裂现象却在 压力稍小于大气压时就发生了。因此一般认为前一种解释较为合理。所以，在流体润滑设计中通常 采用环境大气压代表油膜破裂时的压力。
（8.1）
e2 cos2
（8.2）
h ( R 2 - e 2 sin 2 ) - r e cos
图8. 1圆轴承几何关系示意图
采用级数展开，则有：
1 e 1 e 4 4 h R[1 ( ) 2 sin 2 ( ) sin .....]-r+ecos 2 R 2 4 R 1 e 1 e C +ecos es in 2 ( ) 2 e sin 4 ..... 2R 8 R
x2 h h0 ( R1 R x ) ( R2 R x ) h0 2R
2 1 2 2 2 2
（8.16）
式中，R称为当量曲率半径(equivalent radius of curvature) 。 若R1和R1分别是两轮的半径，对外啮合与内啮合两种情况，当量曲率半径R 为：
可倾瓦推力轴承润滑膜厚度为：
h hp rp r sin( p )
设最小膜厚位于
图8.7可倾瓦推力轴承结构示意图
（8.21） ，则 (rm , m) （8.22）
hmin hp rp rm sin( p m )
将式（8.22）代入式（8.21），可得
h hmin rp [r sin( p ) rm sin( p m )] （8.23）
（8.27）
V eco s e( )sin be sin
（8.28）
图 8.10径向动载轴承
8.1.3边界条件 (boundary condition )
求解润滑理论问题，建立Reynolds方程和能量方程等控制方程是其中的重 要一步，但如果没有采用合适的边界条件，其结果也是大相径庭。 这里所说道边界条件是指润滑流体边界的已知条件。通常有下面几种情况。 1．流体与固体壁面的边界条件 2．不同流体边界面上的边界条件 fluid-solid wall boundary condition different fluid boundary condition
R1 R2 R R1 R2
（8.17）
h0 x
R1
h h0 x
R h
R2
(a) 图8.5齿轮、凸轮润滑时的油膜厚度
(b)
5．可倾瓦轴承 (tilting bearing)
由图8.6所示的几何关系可导出可倾瓦轴承 第i块轴瓦上的润滑膜厚度表达式：
hi C -(C - C)cos(i - i ) e cos(i - ) ri sin ( i - i )
8.1.2
运动速度表达式
moving velocity expression
1．固定瓦轴承 fixed pad bearing 以圆柱轴承为例，见图8.8，设轴颈以ω速度转动，同时转轴轴心以 的速度和的 速度 ' 沿轴承中心O和 O 转轴轴心连线的方向及其垂直的方向运动。则轴颈的上某一点 M相对于 轴瓦上对应点 M 的相对速度的切向分量 U和径向分量V，为
h1min C e1 h2 min C e2
（8.8）
轴承的最小润滑膜厚度取两瓦最小润滑膜厚度中较小的。
当轴颈中心与轴承几何中心重合时，椭圆轴承的半径间隙最大值，通常也称侧隙，为
Cmax
C(C R r )
半径间隙最小值，.3。
e C
3．流体润滑膜上游和下游的边界条件 inlet and outlet boundary conditions of fluid film
1．流体与固体壁面的边界条件
fluid-solid wall boundary condition
（1）速度边界条件 speed boundary condition 当固体壁面不可渗透时，粘性流体质点将依附于固体壁面上而无滑移。若设流体速度 为u，壁面速度为U，则有： 对于运动固体壁面： u U （8.29） 对静止固体壁面：
U r e sin e cos r e sin( ) e cos( )
V e cos e sin = e cos( ) e sin( )
（8.24）
（8.25）
图8.8 固定瓦轴承速度示意图
h1 C e1 cos
h1min C - e1
h2 C e2 cos h3 C e3 cos
h2min C - e2
（8.10）
（8.12）
h3min C - e3
三油叶轴承的轴承最小润滑膜厚度应取三瓦中的最小者
三油叶轴承的预负荷系数，为：
1