实验5 典型时间序列模型分析

实验5 典型时间序列模型分析
1、实验目的
熟悉三种典型的时间序列模型：AR 模型，MA 模型与ARMA 模型，学会运用Matlab 工具对对上述三种模型进行统计特性分析,通过对2阶模型的仿真分析，探讨几种模型的适用范围，并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。

2、实验原理
AR 模型分析
设有AR(2)模型，
X(n)=-0.3X(n-1)-0.5X(n-2)+W(n) W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。

（1）用MATLAB 模拟产生X(n)的500观测点的样本函数，并绘出波形 （2）用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差 （3）画出理论的功率谱
（4）估计X(n)的相关函数和功率谱
【分析】给定二阶的AR 过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。

或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：
12
1
()10.30.5H z z z −−=
++
这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。

对于功率谱，可以这样得到，
2
2
12
12exp()
1()1x w
z j P a z a z ωωσ−−==++
可以看出，()x P ω完全由两个极点位置决定。

对于AR 模型的自相关函数，有下面的公式：
2
11(0)
(1)()(1)(0)(1)0()(1)(0)0x x x w x x x p x x x r r r p a r r r p a r p r p r σ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦"#####" 这称为Yule-Walker 方程，当相关长度大于p 时，由递推式求出：
1()(1)()0x p r r a r a r p +−++−="
这样，就可以求出理论的AR 模型的自相关序列。

1. 产生样本函数，并画出波形
题目中的AR 过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。

clear all;
b=[1]; a=[1 0.3 0.5]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0 randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2 x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR 过程 plot(x,'r');ylabel('x(n)');title('产生的AR 随机序列');grid
得到的输出序列波形为：
x
(n )产生的AR 随机序列
2.
估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到0x m =，对于方差可以先求出理论自相关输出，然后取零点的值。

()()*()*()x w r m h m h m r m =−
并且，()4()w r m m δ=，带入有
()4[()*()]x r m h m h m =−
可以采用上面介绍的方法，对式中的卷积进行计算。

计算出的卷积输出图形为：
n
h
(n )*h (-n )
在最大值处就是输出的功率，也就是方差，为
2(0) 5.6x x r σ==
对实际数据进行估计，均值为mean(x)= -0.0703，而方差为var(x)= 5.2795，两者和理论值吻合的比较好。

3.
画出理论的功率谱密度曲线 理论的功率谱为，
22
()()()4()j j x w P P H e H e ωωωω==
用下面的语句产生：
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:delta:w_max; % 得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
Gx=4*(abs(1./(1+0.3*exp(-i*w)+0.5*exp(-2*i*w))).^2); % 计算出理论值 Gx=Gx/max(Gx); % 归一化处理
f=w*Fs/(2*pi); % 转化到模拟域上的频率 plot(f,Gx,’b’),grid on;
得到的图形为：
f (Hz)
G
x (w ) d B
可以看出，这个系统是带通系统。

4.
估计自相关函数和功率谱密度
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出最后的仿真
图形。

% 计算理论和实际的自相关函数序列 Mlag=20; % 定义最大自相关长度 Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff'); m=-Mlag:Mlag; stem(m,Rx,'r.');
最终的值为
m
R
x (m )
可以看出，它和上面的理论输出值吻合程度很好。

实际的功率谱密度可以用类似于上面的方法进行估计，
window=hamming(20); % 采用hanmming 窗，长度为20 noverlap=10; % 重叠的点数 Nfft=512; % 做FFT 的点数 Fs=1000; % 采样频率，为1000Hz
[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided'); % 估计功率谱密度 f=[-fliplr(f) f(2:end)]; % 构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2, Fs/2] Py=[-fliplr(Py) Py(2:end)]; % 对称的功率谱 plot(f,10*log10(Py),’b’);
估计出来的功率谱密度为，
f (Hz)
G
x (w ) d B
将两幅图画在一起，可以看到拟合的情况比较好：
f (Hz)
G
x (w ) d B
ARMA 模型分析
设有ARMA(2,2)模型，
X(n)+0.3X(n-1)-0.2X(n-2)=W(n)+0.5W(n-1)-0.2W(n-2) W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。

（1）用MATLAB 模拟产生X(n)的500观测点的样本函数，并绘出波形 （2）用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差 （3）画出理论的功率谱
（4）估计X(n)的相关函数和功率谱
【分析】给定(2,2)的ARMA 过程，也可以用递推公式得出最终的输出序列。

或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：
12
12
10.50.2()10.30.2z z H z z z
−−−−+−=+− 对于功率谱，可以这样得到，
2
2
exp()()()x w z j P H z ωωσ==
对于ARMA 过程，当模型的所有极点均落在单位圆内时，才是一个渐进平稳的随机过程。

这个过程的自相关函数不能简单地写成Yule-Walker 方程形式，它于模型的参数具有高度的非线性关系。

1.
产生样本函数，并画出波形
题目中的ARMA 过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。

clear all;
b=[1 0.5 -0.2]; a=[1 0.3 -0.2]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数 h=impz(b,a,10); % 得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0 randn(‘state’,0);
w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA 过程 plot(x,’r’);
得到的输出序列波形为：
n
X
(n )
2. 估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到0x m =，对于方差可以先求出理论自相
关输出，然后取零点的值。

()()*()*()x w r m h m h m r m =−
并且，()4()w r m m δ=，带入有
()4[()*()]x r m h m h m =−
可以采用上面介绍的方法，对式中的卷积进行计算。

计算出的卷积输出图形为：
n
h
(n )*h (-n )
f (Hz)G
x (w ) d B 在最大值处就是输出的功率，也就是方差，为
2(0) 4.2x x r σ==
对实际数据进行估计，均值为mean(x)= -0.0547，而方差为var(x)=3.8，两者和理论值吻合的比较好。

3.
画出理论的功率谱密度曲线 理论的功率谱为，
22
()()()4()j j x w P P H e H e ωωωω==
用下面的语句产生：
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:delta:w_max; % 得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi] NS=1+0.5*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w); % 分子 DS=1+0.3*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w); % 分母 Gx=4*(abs(NS./DS).^2); % 计算出理论值
Gx=Gx/max(Gx);f=w*Fs/(2*pi); % 转化到模拟域上的频率 plot(f,Gx,’b’),grid on;
4.
估计相关函数和功率谱密度曲线
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出仿真图形。

% 计算理论和实际的自相关函数序列 Mlag=20; % 定义最大自相关长度 Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff'); m=-Mlag:Mlag; stem(m,Rx,'r.');
最终的值为
n
R
x (n )
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方法进行估计，
window=hamming(20); % 采用hanmming 窗，长度为20 noverlap=10; % 重叠的点数 Nfft=512; % 做FFT 的点数 Fs=1000; % 采样频率，为1000Hz
[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided'); % 估计功率谱密度 f=[-fliplr(f) f(2:end)]; % 构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2, Fs/2] Py=[fliplr(Py) Py(2:end)]; % 对称的功率谱 plot(f,10*log10(Py),’b’);
估计出来的功率谱密度为，
f (Hz)
P
x (w ) d B
把两幅图画在一起，可以得到下面的图形，可以看出两者的吻合度比较高。

f (Hz)
G
x (w ) d B
3、实验内容
1、熟悉实验原理，将实验原理上的程序应用matlab工具实现；
2、设有MA(2)模型，x(n) =W(n)-0.3W(n-1)+0.2W(n-2)
W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。

（1）用MATLAB模拟产生X(n)的500观测点的样本函数，并绘出波形（2）用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差
（3）画出理论的功率谱
（4）估计X(n)的相关函数和功率谱
4、实验要求
（1）用MATLAB编写程序。

（2）写出详细试验报告(要有自己对实验结果的结论)。