第三章工程传热学

A
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BC D

3
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4 边界条件对温度分布的影响
环境（边界条件）对系统温度 分布的影响是很显著的,这里以 (b) (c) t 一维非稳态导热过程（也就是 t∞
大平板的加热或冷却过程）为 (a) 例来加以说明。
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第三章 非稳态导热
Unsteady Heat Conduction
定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过 程为非稳态导热。
特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t =
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能量守恒：单位时间物体热力学能的变化量 应该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t t)
引入过余温度： t t
cV d hA d
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第三章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热过程 §3-2 集总参数法 §3-3 一维非稳态导热的分析解 §3-4 半无限大物体内的非稳态导热 §3-5 二维及三维非稳态导热
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1
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4
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t1
t1
t1
t1
t0
t0
t0
t0
ABCD ABCD ABCD ABCD
(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
无量纲 时间
Biv越小，表示内部热阻小或外部热阻大，则内 部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。
Fo越大，热扰动就能越深入传播到物体内部, 物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
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4 瞬态热流量
Φ hA(t t ) hA(t0 t ) exp( BiV FoV )
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
A
ΔΕ
ρ , c, V, t0
Qc α , t0
初始条件为： (0) t0 t 0
d hA d cV
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d hA d cV
当物体冷却或加热过程 θ /θ 0
所经历的时间等于其时
1
间常数时，即 τ=τc，
0.386
＝e 1 0.386 0
01
τ /τ c
τ=4τc，
＝e 4.6 0
0.01
工程上认为= 4τc时导热
体已达到热平衡状态
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Bi / h 1/ h
以下几种情况Bi很小，可用集总参数法：
（1）导热系数 相当大；
A
（2）几何尺寸 很小；
（3）表面换热系数h很小。
ΔΕ
Qc
2 温度分布
ρ , c, V, t0
h, t
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、 密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放 入温度为t、换热系数为h的环境中。
周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下 发生的导热过程，物体温度按一定的周期发生 变化。
非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件 下发生的导热过程，物体的温度随时间不断地 升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经 历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介 质温度，最终达到热平衡
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3
较大。必须用无穷级数描述
=3
正规状况阶段：在 = 3时刻之后，初始温度
分布的影响已经消失，物体内的温度分布主 要受边界条件的影响，可以用初等函数描述。
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3 热量变化：与稳态导热的另一区别：由于 有温度变化要积聚或消耗热量，同一时刻流 过不同界面的热流量是不同的。通过截面A 的热流量是从最高值不断减小，在其它各截 面的温度开始升高之前通过此截面的热流量 是零，温度开始升高之后，热流量才开始增 加。
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2 两个阶段：非正规状况阶段（初 始状况阶段）、正规状况阶段
t1
非正规状况阶段（初始状况阶段）：
在 = 3时刻之前的阶段，物体内 t0
的温度分布受初始温度分布的影响
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把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无 因次的数，我们称之为毕欧（Biot）数， 即 Bi h
1h
那么，上述三种情况则对应着Bi<<1、Bi1 和Bi>>1。
特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无 量纲数，又叫准则数。如Re, Bi。
1 定义 忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一 致的分析方法。此时， Bi 0 ，温度分布只 与时间有关，即t f ( ) ，与空间位置无关， 因此，也称为零维问题。
Bi / h 1/ h
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f()
例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或 冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工 况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与 室内空气温度
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非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
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如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所 hA 传递的热量大、导热体的温度变化快，
时间常数 ( Vc / h A) 小
反映了系统处于一定的环境中所表现出来的 传热动态特征，与其几何形状、密度及比热 有关，还与环境的换热情况相关。
曲线（b）表示平板外环
(b) (c) t
境的换热热阻 1 h 相当于 t∞
平板内的导热热阻 ,
(a)
即 1/h /
这也是正常的第三类边界
x
0
x
条件
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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曲线（c）表示平板外环
可见，同一物质不同的形状其时间常数不同， 同一物体在不同的环境下时间常数也是不相 同。
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如图所示，时间常数越小，物体的温度变化就 越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。 这说明，时间常数反映物体对环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数大 的响应慢。
/0
用热电偶测量流体温度，总 是希望热电偶的时间常数越 1 小越好，时间常数越小，热 电偶越能迅速地反映流体的 .37 温度变化，故热电偶端部的 接点总是做得很小
c1 c2 c3
c1 c2 c3

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hA
e e Vc
Biv Fov
0
方程中指数的量纲：
物体中的温度 呈指数分布
hA

W m2K
m2

W1
Vc


kg m3

Jkg K
[
m3
]

J
s
3 时间常数
cV 称为系统的时间常数，记为c，也称弛
hA 豫时间。
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x
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第三类边界条件下物体被冷却时的温度分布
t0
t0
t0
t 2
1/h<</
Bi 1
t 2
/<<1/h
Bi 1
t 2
1/h~/
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(b) (c) t t∞
(a)
q t tw tw t
1h
作一个近似的分析。
x
0
x
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曲线（a）表示平板外环境 的换热热阻1 h 远大于平 板内的导热热阻 , 即
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§3-1 非稳态导热过程
1 温度分布 一平壁初始温度为t0，令其左侧表面的温度突 然升高到t1，右侧保持温度为t0 首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很 快，经过一定时间后内部区域温度依次变化， 最终整体温度分布保持恒定，当为常数时， 最终温度分布为直线。
1/ h /
(b) (c) t
从曲线上看，物体内部的温 t∞
度几乎是均匀的，这也就说 (a) 物体的温度场仅仅是时间的
函数，而与空间坐标无关。
我们称这样的非稳态导热系
x
0
x
统为集总参数系统（一个等
温系统或物体）。
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境的换热热阻 1 h 远小于
平板内的导热热阻 , 即 1/ h /
(b) (c) t t∞
从曲线上看，物体内部温
度变化比较大，而环境与
(a)
物体边界几乎无温差，此
时可用认为 t t w 。那么， x 0 边界条件就变成了第一类
边界条件，即给定物体边
界上的温度。
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hA
cV


hV
A
A2 cV 2

h(V /

A)
a
(V / A)2
BiV FoV
Ｂｉ＝１ｈ ＝ｈ
＝ 内部导热热阻 外部对流换热热阻
无量纲 热阻

换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
图表示一个大平板的加热过程，
并画出在某一时刻的三种不同 x 0
x
边界情况的温度分布曲线（a）、
（b）、（c）
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这实质上是表明在第
三类边界条件下可能
的三种温度分布。 按照传热关系式
积分得： d


hA d
0
0 cV

ln

hA
0 cV
0
exp
hA
cV


指数可写成：

hA
cV


hV
A
A2 cV 2

h(V

/
A)
a
(V / A)2

BiV FoV
Fov 是傅立叶数
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毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准 则，它表征了给定导热系统内的导热热阻与 其和环境之间的换热热阻的对比关系。
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§3-2 集总参数法 (Lumped heat capacity method)