北京市师大附中2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京师大附中2018-2019学年下学期高二年级期中考试
数学试卷
本试卷考试时长90分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。

1.在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，则28a a +=（ ） A. 45 B. 75
C. 180
D. 360
【答案】C 【解析】 【分析】
由34567450a a a a a ++++=，利用等差数列的性质求出5a ，再利用等差数列的性质可得结果.
【详解】由345673746555450a a a a a a a a a a a ++++=
++++==（）（）， 得到590a =，
则2852180a a a +==．故选C.
【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题. 解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若2p q m n r +=+=，则2p q m n r a a a a a +=+=.
2.等比数列{}n a 中, 259,243,a a ==则{}n a 的前4项和为（ ） A. 81 B. 120
C. 168
D. 192
【答案】B 【解析】
分析：根据等比数列的性质可知352a q a =，列出方程即可求出q 的值，利用2a q
即可求出1a 的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n 项和的公式即可求出{}n a 的前4
项和. 详解：
352243279
a q a ===，解得3a =， 又21933a a q ===，则等比数列{}n a 的前4项和()
4431312013
S -==-. 故选：B.
点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，
S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
3.如果1,,,,9a b c --依次成等比数列，那么（ ） A. 3,9b ac == B. 3,9b ac ==- C. 3,9b ac =-=- D. 3,9b ac =-=
【答案】B 【解析】
分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号. 详解：由题意2
1(9)9b =-⨯-=，又0b <，∴3b =-，∴29ac b ==， 故选D.
点睛：本题考查等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.
4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A. 6 B. 7
C. 8
D. 9
【答案】A 【解析】
分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以S n =-11n+
()n n 12
-×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．
【此处有视频，请去附件查看】
5.已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a ++
+=（ ）
A. 2
4(21)n -
B. 1
2
4(2
1)n -+
C. 4(41)3
n -
D.
14(42)
3
n -+ 【答案】C 【解析】
∵当1n =时，12a =，当1n >时
()
122222n n n n a +=---=
∴2224n n n a ==
∴首项14a =，公比4q =
(
)()22
2
1
241444
1
14
3
n
n
n n a a a S ⨯--++
+==
=-
故选C
6.正项等比数列{}n a 中，2510a a =，则34lg lg a a +＝（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】
lg a 3＋lg a 4＝lg(a 3a 4)＝lg(a 2a 5)＝lg 10＝1. 选B.
7.数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是a n =（ ） A.
1(101)9
n
- B. 111310n
⎛⎫-
⎪⎝
⎭
C.
2(101)9
n
- D.
3
(101)10
n - 【答案】B 【解析】 【分析】
利用观察法求数列通项即可 【详解】111=0.910-
，211=0.9910-，311=0.99910-，411=0.999910
-，…；明显地 1111=0.3310⎛⎫- ⎪⎝⎭
，2111=0.33310⎛⎫- ⎪⎝⎭，3111=0.333310⎛⎫- ⎪⎝⎭，4111=0.3333310⎛⎫
- ⎪⎝⎭，…；显然数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是11
1310n n a ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 答案选B
【点睛】本题考查利用观察法求数列通项问题，属于基础题
8. ） A. 第六项 B. 第七项
C. 第八项
D. 第九项
【答案】B 【解析】
试题分析：由数列前几项可知通项公式为n a ==7n =，为数列第七项
考点：数列通项公式
9.等比数列{}n a 中，12345630,120a a a a a a ++=++=，则789a a a ++＝（ ） A. 240 B. ±240
C. 480
D. ±480
【答案】C 【解析】 【分析】
利用已知条件，列出()123312330120
a a a q a a a ++=⎧⎨++=⎩，求出3
q ，
再利用()3
789456a a a q
a a a ++=++求解即可
【详解】设等比数列{}n a 中的公比为q ，由12345630,120a a a a a a ++=++=得，
()1233
12330120
a a a q a a a ++=⎧⎨++=⎩，解得3
4q =，∴()3789456a a a q a a a ++=++480=， 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题
10.已知2
21(2),2(0)2
b m a a n b a -=+
>=≠-，则m 与n 之间的大小关系是（ ） A. m n > B. m n < C. m n = D. 不确定
【答案】A 【解析】 【分析】
由基本不等式可得4x ≥，由二次函数和指数函数的值域可得4y <，从而可得结果.
【详解】由题意可得
11
222422
x a a a a =+=-++≥=--， 当且仅当3a =时取等号，
当0b <时，222b ->-，指数函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
单调递减， 故22
2
11422b y --⎛⎫⎛⎫
=<= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即x y >，故选A. 【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个数的大小，指数函数与二次函数的性质，属于中
档题. 比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.
11.已知,,a b c R ∈，且,0a b ab >≠，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 33a b >
B. 22ac bc >
C.
11
a b
< D.
22a b >
【答案】A 【解析】
试题分析：由函数3
y x =在R 上是增函数可知A 项正确；B 项0c =时不正确；C 项
1,1a b ==-时不正确；D 项1,1a b ==-时不正确
考点：不等式性质 12.已知
11
0a b
<<，则下列结论错误的是 A. 22a b <
B. 2ab b >
C.
2b a
a b
+> D.
2lg lg a ab <
【答案】B 【解析】 【分析】
先由
11
0a b
<<得到a 与b 大小关系，再判断. 【详解】由11
0a b
<< ，得：b ＜a ＜0，所以a 2＜b 2，故A 正确；
因为a ＞b ，b ＜0，所以ab ＜b 2
，故B 不正确;
因为
0,0b a a b >> ，且a b b a ≠ ，所以+2b a a b >= ，故C 正确；
因为a ＞b ，a ＜0，所以a 2＜ab ，根据对数函数的单调性，所以lga 2＜lgab ，所以D 正确； 故选B.
【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式，若比较大小的两式是指数型或对数型等，可构造具体函数，利用函数的单调性进行判断.
13.已知x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则3x y -的最小值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 12
D. 16
【答案】A 【解析】 【
分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】由约束条件0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
作出可行域如图，
联立40
0x y x y +-=⎧⎨-=⎩
，解得A （2，2），
令z=3x ﹣y ，化为y=3x ﹣z ，
由图可知，当直线y=3x ﹣z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4． 故选：A ．
【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
14.不等式组
2 x y
y x
+≤
⎧
⎨
≥
⎩
表示的平面区域是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别画出约束条件下的可行域即可求解
【详解】由题意得，2
x y
+≤表示直线2
x y
+=及其左下方区域，y x
≥表示直线=
y x及其左上方区域，因此
2
x y
y x
+≤
⎧
⎨
≥
⎩
表示的平面区域是选项C 【点睛】本题考查已知约束条件下求可行域，属于基础题15.矩形两边长分别为a、b，且26a b+=，则矩形面积的最大值是（）A. 4 B.
9
2
32
D. 2
【答案】B
【解析】
依题意可得,0
a b>，则622222
a b a b ab
=+≥⋅=2
a b
=时取等号。

所以
2
69
82
ab≤=，即矩形面积的最大值为
9
2
，故选B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

16.数列{}n a 前n 项和2*
()n S n n N =∈，则8a ＝___________。

【答案】15 【解析】
试题分析：2
887644915n S n a S S =∴=-=-=
考点：等差数列求和公式
17.若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q 的值为__________。

【答案】1 【解析】 【分析】 根据题意，设公比
q ，可设三数为a
q
，a ，aq ，列出方程，求解方程即可
【详解】三数成等比数列，设公比为q ，可设三数为a q ，a ，aq ，可得38
4
a a aq q ⎧=⎪
⎨+=⎪⎩
，求
出21
a q =⎧⎨=⎩，公比q 的值为1 【点睛】本题考查利用等比数列的性质求解，属于基础题
18.已知{}n a 是等差数列，246816a a a a +++=，则9S ＝_________。

【答案】36 【解析】 【分析】
利用284652a a a a a +==+，求出54a =，然后利用等差数列求和公式即可求解
【详解】{}n a 是等差数列，246816a a a a +++=，284652a a a a a +==+，得出54a =，
又由
()19992
a a S ⋅+=
5936a ==
【点睛】本题考查利用等差数列的性质求和，属于基础题
19.已知0x >，则函数4
23y x x
=--的最大值是__________。

【答案】2- 【解析】 【分析】
由函数423(0)y x x x =-->变形为4
2(3)y x x
=-+，再由基本不等式求
得43t x x =+≥
4
2(3)2y x x
=-+≤-，即可得到答案.
【详解】∵函数4
23(0)y x x x
=-->
∴4
2(3)y x x
=-+
由基本不等式得43t x x =+≥43x x =
，即x =. ∴函数4
23(0)y x x x
=--
>
的最大值是2-
故答案为2-.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
20.已知,x y 满足20
01x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最大值为_________。

【答案】14
【解析】
【分析】
（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最值即可.
【详解】
如图，根据题意画出可行域，令0z =，得到直线240x y +=，平移该直线至max 24z x y =+处，明显可见，max 24z x y =+过点()1,3，所以，可得max 21214z =+=为所求答案 【点睛】本题考查线性规划求最优解问题，属于基础题
三、解答题：共2道大题，每大题10分，共20分，请写出解题步骤。

21.已知等差数列{}n a 的公差不为0，13a =，且247,,a a a 成等比数列， （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求2462n a a a a ++++
【答案】（1）2n a n =+（2）23n n +
【解析】
【分析】
（1）设出公差d ，根据247,,a a a 成等比数列，利用等比中项的关系，列出关于d 的方程求
解即可
（2）求出222n a n =+，故2{}n a 是首项为4、公差为2的等差数列，利用等差数列的求和公式求解即可
【详解】（1）24,a a 7,a 成等比数列，2427a a a ∴=
即2111(3)()(6)a d a d a d +=++ 化简得1(3)0a d d -=
∵公差0d ≠，13a d ∴=
13a =，1d ∴=
1(1)2n a a n d n ∴=+-=+
（2）由（1）知222n a n =+，故2{}n a 是首项为4、公差为2的等差数列，
所以2222462()(422)322
n n n a a n n a a a a n n +++++++===+ 【点睛】本题考查等比中项、等差通项、求和问题，属于基础题
22.某单位计划建一长方体状的仓库，底面如图，高度为定值，仓库的后墙和底部不花钱，正面的造价为40元/米，两侧的造价为45元/米，顶部的造价为20元/平方米，设仓库正面的长为x 米，两侧的长各为y 米。

（1）用x ，y 表示这个仓库的总造价z （元）；
（2）若仓库底面面积s=100平方米时，仓库的总造价z 最少是多少元？此时正面的长x 应设计为多少米？
【答案】解：⑴由题意得仓库的总造价为：4045220t x y xy =+⨯+…… 3分
⑵仓库底面面积2100S xy m ==时,404522040902000t x y xy x y =+⨯+=++
2000≥120020003200=+=… 5分当且仅当4090x y =时等号成立, … 6分又∵100xy =, ∴15()x m =.… 7分
答：仓库底面面积2100S m =时, 仓库的总造价最少是3200元, 此时正面的长应设计为
15m .
【解析】
试题分析：（1）求得长方体顶部，正面，侧面的面积，与相应的单位造价的乘积之和即可得到总造价；（2）在函数式中xy 是定值，利用均值不等式将40452x y +⨯部分的最小值求解出来，即可得到总造价的最小值，此时等号成立的条件即为设计方案
试题解析：（1）由题意得仓库的总造价为：4045220t x y xy =+⨯+
（2）仓库底面面积2100S xy m ==时，404522040902000t x y xy x y =+⨯+=++
2000≥120020003200=+=… 5分当且仅当4090x y =时，等号成立， 又∵100xy =，∴15()x m =．
答：仓库底面面积2100S m =时，仓库的总造价最少是3200元，此时正面的长应设计为
15m ． ——12
考点：1．函数的实际应用；2．均值不等式求最值。