26.1 二阶矩阵与平面向量.pptx

x B、 x 2 y
C、x y 2y
x y D、 2 y
答案：D。解析：根据二阶矩形与平面列向量的乘法规则。
2、设
A
3 -1
2 1
，若点P
经过矩阵A
变换后得到点(5,5),.若
P
点坐标为(x,
y) ，则
x
y
学海无涯
A、—3
B、3
Байду номын сангаасC、—2
D、2
（）
答案：B。解析：由已知得
3x x
2y 5 y 5
答案：（1）∵
a b
c 0
1 0
a b
，∴
P(a,b)
∵b>0， SPOA 3, POA 3 ,a 2, b 2 3
（2）设直线4x y 0 上任一点(x 0, 4x 0) ，则
2 2
3
c x0 04x
0
2 2
x0 4cx0 3x 0
∴ (2x0 4cx0 , 2 3x0 ) 在 3x y 0 上，∴ (2 4c) 3 2 3 0,c 1。
解之得a
1,b
0, c
2, d
3。
3c d 9
6、请用矩阵表示二元一次方程组
a11x a12 y a2x1 a y22 b
b1
2
a 答案： a1211
a12 a 22
x
y
b1 b2
。
7 、 求 矩 阵 A ， 使 点 A(0,3),B(— 3,0) 在 矩 阵 A 对 应 的 变 换 作 用 下 分 别 得 到 点
则
3 1
1 x 0y
3x x
y
x y
，∴
3x y x y
x
即
x y
y
x
3y
， ∵ (x, y)
在直线
x 2 y 1 0 上，∴ y 2(x 3y) 1 0 即 2x 7 y 1 0 这就是变换后图形的方程式。
【作业本】
A组
1、计算
1 0
1 x 2 y
（）
A、x x 2y
学海无涯
26.1 二阶矩阵与平面向量
【知识网络】 1、矩阵的概念和表示方法，及其矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和
表示； 2、二阶矩阵与平面列向量的乘法规则及其几何意义； 3、矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。
【典型例题】
例 1 （1）设矩阵 A 为二阶矩阵，且规定其元素aij i2 j,i 1,2; j 1,2 ，则 A=（ ）
3 0
,
3 0
0 2 1 2
6 2
∴新图形的面积 S 9 ，而原图形面积S 原= 3 。
2
2
3、在矩阵
a 0
b
1
对应的变换下，将直线6x
5
y
1 变成2x
y 1，则 a b （
）
A、0
B、1
C、 4 3
D、2
答案：A。解析：设直线6x 5y 1 上任一点 P(x, y) 经变换后，变为 P(x0, y0 ) ，则
0 2
3 4
1 3 0 4 0 3 2 4
3 8
。
6、已知
x
y
x
y
2x 3y
x
y
，将它写成矩阵的乘法形式是
。
答案：
x
y
x
y
2 1
3 x
1
y
。
7、设矩阵A
为 3 3
矩阵，且规定其元素aij
ij, i j i j, i
j
，其中i,
j
1,2,3 ，那么A
学海无涯
解得ay12 ∴ x y a b 1。
x y b
b 3
（5）已知变换
x y
x y
3 0
1 x 2 y
，将它写成坐标变换的形式是
。
答案：
x
y
x
y
3x+y 2y
。
学海无涯
例2
设矩阵scions22
sin+cos sin -cos
a b
1 c2
，且 0
，试求a, b, c
。
x
y
3 1
∴所求点P 的坐标为（3，1）。 9、某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为：
语 数外
平 日 80 90 80 期中 80 80 70 又平日、期中、期终三次成绩各自的权重分别为：平日：30%；期中： 期 终 90 85 95
30%；期终：40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？
（）
A、
3 2
2
1
B、
3 2
2 -1
C、
3 2
4
6
D、
2 -1
4
6
答案：B。
2、若△PQR 的顶点P(0,1),Q(1,0),R(2,2)，经过
3 0
0
1
变换后，得新图形的面积是原图形
面积的 A、1 倍
B、2 倍
C、3 倍
D、4 倍
（）
答案：C。解析：∵
3 0
00
1
1
0
1
3 0 1 , 0 1 0
2 判断四边形 A, B,C, D的形状，并求其面积。
答案：（1）∵
1 1
2 1
0 0
0 0
1 22 , 1 1 0
2 2
1 22 , 1 1 1
4 3
,
1 1
2 0
1
1
2 1
,
∴ A(0,0), B(2, 2),C(4,3), D(2,1)
（2）∵ kAB 1, kCD 1, 且 | AB || CD | 2 2 ，∴ ABCD 是平行四边形
,a
b
0
。
4、坐标平面上的任一点，在矩阵 A 对应的变换下，横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标变
为原来的 5 倍，则 A=
。
答案：
3 0
0 5
。
5、由矩阵
1 1
3 2
3 3
1 4
表示平面中的图形的面积为
。
答案：4。解析：在平面直角坐标系中，作出点(1,1),(3,2),(3,3),(1,4)，易知该图形是上底 为 1，下底为 3，高为 2 的等腰梯形。
4、某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯 30S，黄灯 3S，红灯 20S，如果
分别用 1，0，—1 表示绿灯、黄灯、红灯，试用 23 矩阵表示该路口的时间设置为
。
答案：
1 0 30
-1 3 20
。
5、点
A(3,4)在矩阵
1 0
0
2
对应的变换作用下得到的点坐标为
。
答案：（3，8）。解析：
1 0
a 0
b x
1
y
ax
by
y
x0
y 0
,
x0 y0
ax y
by
，又
P′在直线2x
y
1上，
学海无涯
∴ 2x0 y0 1，从而2(ax by) y 1
即 2ax (2b 1) y 1 与 6x 5y 1 是同一条直线
∴
2a 2b
6 1
5
，从而a b
3 3
学海无涯
（2）设 M (x0 , y0 ) 是直线L 上的任一点，在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 M (x, y) ，
则
3 1
1 x0
2
y0
3xx002yy00
x
y
，∴
3x0 y0 x
x0
2
y0
y
x 2x y
0
5
, 0y
3y x 5
∵ M (x0 , y0 ) 在直线L： 2x y 3 上，∴ 2x0 y0 3
中所有元素之和为
。
1 3 4
答案：38。解析：由题意知 A 3 4 5 ，故 A 中所有元素之和为 38。 45 9
8、设
A
1 2 4 3
，求在矩阵A
对应的变换作用下得到点(5,15)的平面上的点
P
的坐标。
答案：设 P(x,
y)
，则
1 4
2 x
3
y
x2y
4x
3y
5 15
,
x 2y 5 4x 3y 15
1 2
2
2
所表示的三角形的面积是
（）
A、2
B、1
C、 1 2
D、 1 4
答案：C。解析：矩阵表示三个点（1，1），（1，2），（2，2）构成的三角形。
（4）已知
A
3x x+y
2y
x-3y x-y ,
B
1 a
7
b
，若
A=B，则
x
y
a
b
3x 2y 1 x 1
答案：1。解析：
x x
3y 7 ya
答案：
1 2
3 1
5 2
1 (1) 3 2
2
(1)
5
2
5 8
。它表示点（—1，2）在矩阵
1 2
3
5
的作
用下变成了点（5，8）。
例4
设平面上一矩形ABCD，A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)，在矩阵
1 1
2
1
对应的变换作
用下依次得到 A, B, C, D 。
1 求 A, B,C, D的坐标；
6、观察下列甲、乙、丙三城市之间的联络道路路线图，并回答后面的问题。 （1）完成下面表中一城市直达另一城市的道路数 ， 并写出对应的矩阵A。
终点
起点
甲
乙
丙
甲
甲
乙
丙
乙
丙
（2）矩阵A 从结构上看有什么规律？为什么会有这种规律？
0 3 4
答案：（1）A 3 0 5 。 45 0
（2）矩阵A 中的元素aji aji (i j),i, j 1,2,3 这是因为从i 城市到 j 城市的直达道路数与从 j 城市到i 城市的直达道路数相等。
答案：语：800.3 80 0.3 90 0.4 84 ； 数： 900.3 800.3 850.4 85 ； 外：800.3 70 0.3 95 0.4 83 。
10、求直线
x
2y
1
0
经二阶矩阵
3 1
1
0
的变换后的图形的方程式。
答案：设变换后的图形上的任一点为(x, y)，与之对应的原直线上的点为(x, y) ，
。
2、
3 1
5 2
2
1
=
（）
A、
0 1
B、
1 0
C、[0，1]
D、[1，0]
答案：B。解析：
3 1
5
2
2 3 2 5(1)
1
=
1
2
2
(1)
1 0
。
3、 A
0 0
,
B
0 0
0
0
，则
（）
A、A=B
B、矩阵A 表示 12 矩阵
C、矩阵B 表示 22
D、A，B 都对应于原点
答案：C。解析：由矩阵的相关知识易得。
4、已知
x 1 x+3
4
y
y 1 2y+7
4
y
，则
x
y
。
答案：—2。解析：由已知
x x
1 3
y 1 2y
7
，即
x
x
y 2
2 y4
，解得
x
0,
y
2
。
5、
A
2
1
2 1
,
A
3 1
3 9
，则
A=
。
2a b 2
1 0
答案：2
3
。解析：设
A
a c
b
d
，则
2c 3a
b
d
1 3
答案：由已知sin
cos
1 ,0
2
,1 sin 2
1 ,sin 2
4
3 4
,
2
,
∴ sin cos 0 ，从而sin cos 1 sin 2 7
2
∴sin 1
7 , cos 1
7
，从而cos 2
7
，
4
4
4
∴a 3 ,b 7 ,c 7 。
4
4
2
例 3 计算21 3521，并解释计算结果的几何意义。
7、设设阵 A
3 1
1
2
，（1）求点
P(2,
3)
经过A
对应的变换后的点坐标。
（2）又 P 在直线 L： 2x y 3 上，求 L 上所有点经过矩阵A 对应的变换后所形成的
新图形 L′的方程。
答案：（1）∵
3 1
1 2
2 3
3 2 1(3) 1 2 2 (3)
3 4
∴变换后的点坐标为(3,4) 。
，解得
x
1,
y
4
，故
x
y
3
。
3、若△ABC
的顶点
A(1,1),B(0,1),C(2, 0)
，经
1 3
2
4
变换后，新图形的面积为（
）
A、2
B、3
C、4
D、6
1 2 1 1 1 2 0 2 1 2 2 2
答案：B。解析：∵ 3
4 1 1 , 3
4
1
4
,
3
4 0 6
∴ A(1, 1), B(2, 4),C(2, 6) ，易知 SABC 3 。
A、
2 3
5
6
B、
2 5
3 6
C、
2 3
6
5
D、
2 6
2
5
答案：B。解析：i, j 分别表示元素aij 所在的行与列。
（2）
3 -1
2 2
1 1
的结果是
（）
A、
5 5
B、[5，5]
C、
8 -1
D、 8,1
答案：C。解析：根据二阶矩阵与列向量的乘法法则求得，其结果是列向量。
（3）由矩阵
1 1
又∵直线 AB 方程为 x y 0 ，∴ D 到直线 AB 的距离为 2 2
S ∴ ABC D
2
2
22。 2
学海无涯
【课内练习】
1、已知A(3,1),B(5,2)，则表示 AB 的列向量为
（）
A、
2 1
B、
2 1
C、
3 1
5
2
D、
5 2
3 1
答案：A。解析：∵
AB
(2,1)
，所求列向量为
2 1
A(1,1), B(1, 2) 。
答案：设
A
a c
b
d
，则
a c
b 0
d
3
3b
3d
1 1
，
a c
b 3
d
0
3a
3c
1
2
1 1
∴
b
d
1