高思数学_4年级上-第2讲-还原问题(彩色)
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4. 在电脑里输入一个数，它会按既定的指令进行如下运算：如果是偶数，就把它除 以 2；如果是奇数，就把它加上 3．这样进行了 3 次运算之后，得到的结果为 27．请问： 原来输入的数可能是多少？
5. 有甲、乙、丙三袋水果糖，先取出甲袋的一半，平均放入乙、丙两袋中；再取出 乙袋的一半，平均放入甲、丙两袋中；最后取出丙袋的一半，平均放入甲、乙两袋中， 这时三袋糖正好都是 32 块．请问：原来甲、乙、丙三袋中各有多少块水果糖？
练习
4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的 人的糖数增加一倍．经过四次这样的操作以后，甲有 7 块糖，乙有 12 块糖．两个人原来 的糖数分别是多少？
10
还原问题
课本
例题 5
甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些 钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 2 倍，结果乙的钱最多；接着 乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加 2 倍，结果丙的钱最多；最 后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加 2 倍，结果三人的钱数 一样多．如果他们三人共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？
例题 4
甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的 人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍．经过三次这样的操作以后，甲 有 5 块糖，乙有 12 块糖．两个人原来的糖数分别是多少？
分析 每操作一次，两人的糖的数量都在变化，大家可以像例题 3 那样自己列 表分析．每次都是糖多的人给糖少的人一些糖，让糖少的人的糖数加倍，那么 在最后一步操作中是甲给乙一些糖呢？还是乙给甲一些糖呢？
分析 大家能算出最后三人各有多少钱吗？试着列表倒推分析吧．
练习
5. 三堆苹果共有 48 个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果并入第二堆，再 从第二堆里拿出与第三堆个数相同的苹果并入第三堆，最后再从第三堆里拿出与这时第 一堆个数相同的苹果并入第一堆，结果三堆苹果数完全相同．问：原来这三堆苹果各有 多少个？
还原问题
课本
2 还原问题
我们以前遇到过的应用题，大都是已知“起因”和“经过”，需要算出“结果”的问 题．举一个简单的例子：猪八戒吃了 10 块西瓜，没有吃够，又吃了 5 块西瓜才罢休，那 么猪八戒一共吃了10 + 5 = 15（块）西瓜．如果交换已知与所求，问题则变成：猪八戒吃了 一些西瓜后，又吃了 5 块，这时它一共吃了 15 块西瓜，那么猪八戒原来吃了15 − 5 = 10（块） 西瓜．这时我们已知“经过”和“结果”，需要反求出“起因”．
二、当题目中有两个或两个以上的量在变化时，可以采用列表格的方法依次记录每 一个变化过程．
作业
1. 某数加上 2，除以 5，加上 5，除以 2，其结果等于 10，那么这个数是多少？
2. 袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了 4 次 之后，袋子里还有 3 个球．请问：原来袋子里有多少个球？
7
四年级
上册第 2 讲
例题 1
有一个数，把它加上 37，再乘以 18，减去 323，得到的
结果用 23 去除，商是 16，余数是 11．这个数是多少？
分析 我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算
出哪个数呢？
ަ౨ 37 ѐྻ 18
˛
˛
߈ 323 ҂ྻ 23
˛
˛
16 ဥ 11
当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表 示清楚，这时我们可以采用列表格的方法依次记录每一个变化过程．
例题 3
地上有 26 块砖，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚 挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖．哥哥看弟弟挑得太多，就从弟 弟那儿抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只 好再给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块．请问：最初弟弟准备挑多少块 砖？
本讲中我们就将遇到这样一类应用题：开始时的状态不知道，只知道中间的过程以 及结束时的状态．这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接 近最开始的状态，直至解决问题．这种思考问题的方法叫做倒推法（还原法）．
我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原， 乘法用除法还原，除法用乘法还原．即原来是加（减）几，还原时要变成减（加）几；原来 是乘（除）几，还原时要变成除（乘）几．
分析 我们根据最后树上剩下的 4 个桃子，可以一步一步地倒推出原来树上有 多少个桃子．第三只猴子吃了 3 个桃子并摘下了剩下桃子的一半，我们应该先 倒推摘桃子的过程还是倒推吃桃子的过程？
8
还原问题
课本
练习
2. 田地里种着一些玉米．一天晚上，田鼠一家来偷玉米．田鼠爸爸偷走了所有玉米 的一半多一个，田鼠妈妈偷走了剩下玉米的一半多一个，最后田鼠宝宝偷走了剩下玉米 的一半多一个．这时所有玉米恰好被田鼠一家偷光了．请问原来田地里一共有多少个玉 米？
分析 你能算出最后哥哥和弟弟各挑多少块砖吗？在倒推的过程中，哥俩挑的砖 的数量都在变化，一个示意图就显得力不从心了．我们可以列表来倒推分析两人 挑的砖的数量变化．
9
四年级
上册第 2 讲
开始时 弟弟减半后 哥哥减半后 弟弟给哥哥 5 块后
哥哥挑的砖 弟弟挑的砖
练习
3. 王刚和李强手中各有若干枚硬币．开始时李强给王刚一些硬币，让王刚手中的硬 币数量增加一倍；然后，王刚给李强一些硬币，让李强手中的硬币数量增加一倍．这样 交换后，每人手中各有 20 枚硬币．请问：原来两人各有多少枚硬币？
李白买酒
朱世杰是我国宋元时期杰出的数学家，他的《四元玉鉴》中，有许多精辟的数学创 作．流传极广的数学名题“李白买酒”，就出现在《四元玉鉴》中．题目是这样的：
无事街上走，提壶去买酒， 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花，喝光壶中酒． 诗的意思是说，李白一日闲来无事，在街市上游走，忽然闻到不远处香气扑鼻，单 凭嗅觉他就断定那必是清香爽口、绵柔顺和的醇酒，便忍不住要前去打酒．他的壶中本 来就有酒，每次遇到有卖如此醇酒的小店时再打的酒都与壶中的酒一样多，壶中酒便也 因此增加一倍；每次看到花，他就不禁饮酒作诗，喝上一斗．这样边打边饮，三次之后， 壶中的酒就全部被喝光了． 这是一道典型的还原问题，聪明的同学们，你知道李白的酒壶中原来有多少酒吗？
思考题
甲、乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次糖后，甲有 16 块糖，乙有 2 块糖． 求两个人原来的糖数分别是多少？
11
四年级
上册第 2 讲
本讲知识点汇总
一、在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原， 乘法用除法还原，除法用乘法还原．
3. 猴子淘淘和奇奇结伴去摘桃子，摘了一个下午，一共摘了 40 个桃子．奇奇看到淘 淘摘的桃子比它多得多，不高兴了，把淘淘摘的桃子的一半抢了过来，和自己摘的放在 一起；淘淘也不甘示弱，抢走了奇奇现有桃子的一半；最后奇奇又从淘淘那里抢了 7 个桃 子，这时淘淘和奇奇的桃子一样多．请问：开始时奇奇摘了多少个桃子？
12
练习
1. 将一个自然数减去 18，然后乘 4，再除以 7，得到的商是 23，余数是 3．请问这 个自然数是多少？
例题 2
果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子来偷吃桃子．第一 只猴子吃了 1 个桃子并摘下了剩下桃子的一半，然后第二只猴子吃了 2 个 桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了 3 个桃子并摘下了剩 下桃子的一半．这时树上刚好还有 4 个桃子，请问原来树上一共有几个桃子？
5. 有甲、乙、丙三袋水果糖，先取出甲袋的一半，平均放入乙、丙两袋中；再取出 乙袋的一半，平均放入甲、丙两袋中；最后取出丙袋的一半，平均放入甲、乙两袋中， 这时三袋糖正好都是 32 块．请问：原来甲、乙、丙三袋中各有多少块水果糖？
练习
4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的 人的糖数增加一倍．经过四次这样的操作以后，甲有 7 块糖，乙有 12 块糖．两个人原来 的糖数分别是多少？
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还原问题
课本
例题 5
甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些 钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 2 倍，结果乙的钱最多；接着 乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加 2 倍，结果丙的钱最多；最 后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加 2 倍，结果三人的钱数 一样多．如果他们三人共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？
例题 4
甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的 人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍．经过三次这样的操作以后，甲 有 5 块糖，乙有 12 块糖．两个人原来的糖数分别是多少？
分析 每操作一次，两人的糖的数量都在变化，大家可以像例题 3 那样自己列 表分析．每次都是糖多的人给糖少的人一些糖，让糖少的人的糖数加倍，那么 在最后一步操作中是甲给乙一些糖呢？还是乙给甲一些糖呢？
分析 大家能算出最后三人各有多少钱吗？试着列表倒推分析吧．
练习
5. 三堆苹果共有 48 个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果并入第二堆，再 从第二堆里拿出与第三堆个数相同的苹果并入第三堆，最后再从第三堆里拿出与这时第 一堆个数相同的苹果并入第一堆，结果三堆苹果数完全相同．问：原来这三堆苹果各有 多少个？
还原问题
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2 还原问题
我们以前遇到过的应用题，大都是已知“起因”和“经过”，需要算出“结果”的问 题．举一个简单的例子：猪八戒吃了 10 块西瓜，没有吃够，又吃了 5 块西瓜才罢休，那 么猪八戒一共吃了10 + 5 = 15（块）西瓜．如果交换已知与所求，问题则变成：猪八戒吃了 一些西瓜后，又吃了 5 块，这时它一共吃了 15 块西瓜，那么猪八戒原来吃了15 − 5 = 10（块） 西瓜．这时我们已知“经过”和“结果”，需要反求出“起因”．
二、当题目中有两个或两个以上的量在变化时，可以采用列表格的方法依次记录每 一个变化过程．
作业
1. 某数加上 2，除以 5，加上 5，除以 2，其结果等于 10，那么这个数是多少？
2. 袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了 4 次 之后，袋子里还有 3 个球．请问：原来袋子里有多少个球？
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四年级
上册第 2 讲
例题 1
有一个数，把它加上 37，再乘以 18，减去 323，得到的
结果用 23 去除，商是 16，余数是 11．这个数是多少？
分析 我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算
出哪个数呢？
ަ౨ 37 ѐྻ 18
˛
˛
߈ 323 ҂ྻ 23
˛
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16 ဥ 11
当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表 示清楚，这时我们可以采用列表格的方法依次记录每一个变化过程．
例题 3
地上有 26 块砖，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚 挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖．哥哥看弟弟挑得太多，就从弟 弟那儿抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只 好再给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块．请问：最初弟弟准备挑多少块 砖？
本讲中我们就将遇到这样一类应用题：开始时的状态不知道，只知道中间的过程以 及结束时的状态．这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接 近最开始的状态，直至解决问题．这种思考问题的方法叫做倒推法（还原法）．
我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原， 乘法用除法还原，除法用乘法还原．即原来是加（减）几，还原时要变成减（加）几；原来 是乘（除）几，还原时要变成除（乘）几．
分析 我们根据最后树上剩下的 4 个桃子，可以一步一步地倒推出原来树上有 多少个桃子．第三只猴子吃了 3 个桃子并摘下了剩下桃子的一半，我们应该先 倒推摘桃子的过程还是倒推吃桃子的过程？
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还原问题
课本
练习
2. 田地里种着一些玉米．一天晚上，田鼠一家来偷玉米．田鼠爸爸偷走了所有玉米 的一半多一个，田鼠妈妈偷走了剩下玉米的一半多一个，最后田鼠宝宝偷走了剩下玉米 的一半多一个．这时所有玉米恰好被田鼠一家偷光了．请问原来田地里一共有多少个玉 米？
分析 你能算出最后哥哥和弟弟各挑多少块砖吗？在倒推的过程中，哥俩挑的砖 的数量都在变化，一个示意图就显得力不从心了．我们可以列表来倒推分析两人 挑的砖的数量变化．
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四年级
上册第 2 讲
开始时 弟弟减半后 哥哥减半后 弟弟给哥哥 5 块后
哥哥挑的砖 弟弟挑的砖
练习
3. 王刚和李强手中各有若干枚硬币．开始时李强给王刚一些硬币，让王刚手中的硬 币数量增加一倍；然后，王刚给李强一些硬币，让李强手中的硬币数量增加一倍．这样 交换后，每人手中各有 20 枚硬币．请问：原来两人各有多少枚硬币？
李白买酒
朱世杰是我国宋元时期杰出的数学家，他的《四元玉鉴》中，有许多精辟的数学创 作．流传极广的数学名题“李白买酒”，就出现在《四元玉鉴》中．题目是这样的：
无事街上走，提壶去买酒， 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花，喝光壶中酒． 诗的意思是说，李白一日闲来无事，在街市上游走，忽然闻到不远处香气扑鼻，单 凭嗅觉他就断定那必是清香爽口、绵柔顺和的醇酒，便忍不住要前去打酒．他的壶中本 来就有酒，每次遇到有卖如此醇酒的小店时再打的酒都与壶中的酒一样多，壶中酒便也 因此增加一倍；每次看到花，他就不禁饮酒作诗，喝上一斗．这样边打边饮，三次之后， 壶中的酒就全部被喝光了． 这是一道典型的还原问题，聪明的同学们，你知道李白的酒壶中原来有多少酒吗？
思考题
甲、乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次糖后，甲有 16 块糖，乙有 2 块糖． 求两个人原来的糖数分别是多少？
11
四年级
上册第 2 讲
本讲知识点汇总
一、在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原， 乘法用除法还原，除法用乘法还原．
3. 猴子淘淘和奇奇结伴去摘桃子，摘了一个下午，一共摘了 40 个桃子．奇奇看到淘 淘摘的桃子比它多得多，不高兴了，把淘淘摘的桃子的一半抢了过来，和自己摘的放在 一起；淘淘也不甘示弱，抢走了奇奇现有桃子的一半；最后奇奇又从淘淘那里抢了 7 个桃 子，这时淘淘和奇奇的桃子一样多．请问：开始时奇奇摘了多少个桃子？
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练习
1. 将一个自然数减去 18，然后乘 4，再除以 7，得到的商是 23，余数是 3．请问这 个自然数是多少？
例题 2
果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子来偷吃桃子．第一 只猴子吃了 1 个桃子并摘下了剩下桃子的一半，然后第二只猴子吃了 2 个 桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了 3 个桃子并摘下了剩 下桃子的一半．这时树上刚好还有 4 个桃子，请问原来树上一共有几个桃子？