济南市外国语初中部数学三角形解答题达标检测卷(Word版 含解析)

济南市外国语初中部数学三角形解答题达标检测卷（Word 版 含解析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.
(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.
(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分
EPK ∠，求HPQ ∠的度数.
【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1
2
∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1，
图1
∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=︒，
又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=︒， ∴//AB CD ；
(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，
图2
∴180BEF EFD ∠+∠=︒．
又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1
(2
)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=
∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3，
∵PHK HPK ∠=∠，
2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥，
∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1
452
QPK EPK HPK ∠=
∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.
2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；
（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】
（1）答案为：30°；是；
（2）∵AB⊥OM
∴∠B AO＝90°
∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°
∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°
∴∠ACO＝3∠OAC，
∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°
∵△ABC为“智慧三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，
∴30＝3（90-x），∴x=80
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30=3（60+x ） ∴x= -50 （舍去） ∴此种情况不存在， Ⅲ、当∠BCA ＝3∠BAC 时， ∴60+x ＝3（90-x ）， ∴x ＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA ＝3∠ABC 时， ∴60+x ＝90°， ∴x ＝30°，
Ⅴ、当∠BAC ＝3∠ABC 时， ∴90-x ＝90°， ∴x ＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC ＝3∠ACB 时， ∴90-x ＝3（60+x ）， ∴x= -22.5（舍去）， ∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。

【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．（问题探究）
将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.
（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；
（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；
（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；
（拓展延伸）
（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点
A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结
论，并说明理由.
【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.
【解析】 【分析】
（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】
解：（1）如图，∠1=2∠A ．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．
（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．
（3）如图，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
（4）如图，
根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()41812
02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒，
∴()()1801180236011
22
A D ∠+∠+
-∠+-∠=︒， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒． 【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
4．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，
（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n n
α∠=-⨯- 【解析】 【分析】
（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；
（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；
（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=
1
11-1802
2
α︒
⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】
解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE
11
()22
ACO ACE αβ∴∠=
∠=+ 同理可得：1
()2
CAO αγ∠=
+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴11
180180()()22
O ACO CAO αβαγ︒
︒
∠=-∠-∠=-
+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111
180()1809090222
αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；
（3）∵∠B=α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=
∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1
180902α︒
︒
--=
111-1802
2
α︒
⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n n
α∠=-⨯-. 【点睛】
本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.
5．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2
αβ
-∠=；（3）75°．
【解析】 【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝
2
αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1
2
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1
352
ACE ACB ∠=
∠=︒． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2
αβ
-∠=
．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152
DCE αβ
-'=
=︒∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1
(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
6．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).
(1)求△BCD的面积；
(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
【详解】
解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD//x轴
∴△BCD面积=1
2
×3×2=3；
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.
7．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC
＝1
3
∠AOC，∠PCE＝
1
3
∠ACE，求∠P的大小；
(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1
n
∠AOC，∠PCE＝
1
n
∠ACE，猜想∠OPC
的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．
【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n
【解析】
试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=1
3
∠AOC、∠PCE=
1
3
∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，
再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1
n
∠AOC、∠PCE=
1
n
∠ACE可以求得
∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．
试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.
∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.
(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.
(3)解：∠OPC＝.
证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
(180°－45°)＝.
∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，
∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.
点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．
8．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，
∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；
(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；
(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).
【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．
（3）参照（2）的解题思路.
【详解】
解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，
又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P ，
即2∠P=∠B+∠D ，
∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．
（3）由（2）的解题步骤可知，∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D ．
【点睛】
考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
9．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：
如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12
ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12
ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S +=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH +=．
如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】PE PF CH -=
【解析】
【分析】
参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP ACP ABC S
S S +=，同样，P 为BC 延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP ACP ABC S
S S =-，即可得出结论． 【详解】
∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12
ACP S AC PF =⋅，12
ABC S AB CH =⋅
又∵ABP ACP ABC S S S =-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH -=．
故答案为：PE PF CH -=．
【点睛】
本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．
10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．
(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；
(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.
【解析】 【分析】
()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到1BAE BAC 392
∠∠==；
②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可； ()2由B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到
BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD 中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=．
【详解】
解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①，
BAC 180723078∠∴=--=，
AE 平分BAC ∠，
1BAE BAC 392
∠∠∴==； AD BC ⊥②，
ADB 90∠∴=，
BAD 90B 18∠∠∴=-=，
DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；
()2能．
B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，
C B 42∠∠∴=-，
2B BAC 222∠∠∴+=，
BAC 2222B ∠∠∴=-， AE 平分BAC ∠，
BAE 111B ∠∠∴=-，
在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，
()()
DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．。