【数学】高三数学下学期第一次模拟考试试题理1

【关键字】数学
甘肃省武威市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题理
第Ⅰ卷（60分）
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，，若，则（）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
3.在中，，，，那么等于（）
A．B． C.1 D．
4. 钱大姐常说“便宜没妙品”，她这句话的意思是：“不便宜”是“妙品”的（）
A.必要条件
B. 充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
5.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④B．①②④C．①④D．①③
6.抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）
A . B.
C. D.
7.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（）
A．B．C．D．
8．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①，②，③，④，则输出的函数是（）
A．B．
C．D．
9.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
（A）（B）（C）（D）
10．如图所示，两个不共线向量,的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（）
A．B．C．D．
11.已知函数若且，则的取值范围（）
A. B. C. D.
12．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=
14.已知向量，，则．
15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为______．
16.从圆内任取一点，则到直线的距离小于的概率____.
三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
18.(本小题满分12分)在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数
为60
（I）请在图中补全频率分布直方图；
（II）若大学决定在成绩高的第，，组中用分层抽样的方法抽取名学生进行面试.
①若大学本次面试中有、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试
成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；
②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试，第组中有名学生被考官
面试，求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论 20.（本小题满分12分）
已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3
2，F 是椭圆的右焦点，
直线AF 的斜率为
23
3
，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；
（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程 21（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),01x
f x ax x x
-=++
≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；
（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)．
（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为
4
π
的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． （1）若2a =，解不等式()3f x ≤；
（2）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．
2016—2017学年度高三年级
第二学期数学理科第一次模拟试题答案
一 选择题 1---5CBBAC ， 6—10DBDAB,,11A 12B 二 填空题 13 3；14 -3；15 5∏；16 24ππ
+
三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17 解(1); n n a n nS 2
)1(4+=, (1) 1-21-1-4n n a n S n =）（
(2) (1)-(2),得,12
2)1(44)1(---+=n n n a n n a n n a ,3n a n =，11)
1(13
13==-=-a n a n a n n 。

6分 (2)2
1
n b n =,47147)1(14313212112<-=⨯-++⨯+⨯++<n n n T n。

12分
18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又
6030
152
-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人
-------------------4分 19(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）证明：因为
BC AB 2=，
60ABC ︒∠=，
在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=
，
所
以
BC AC ⊥． 又因为 AC FB ⊥，
所以⊥AC 平面FBC ． 。

6分 （Ⅱ） 线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： 因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．
O
0.02 0.04 0.06 75 80 85 90 95 100
0.08 0.01 0.03 0.05 0.07
因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． 所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． 在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =． 设1BC =，所以3131
(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(
,,0),(,,1)2222
C A B
D
E --． 所以 )1,2
1
,23(
-=CE ，)0,0,3(=CA ，)0,1,0(=CB ． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
所以 31
0,22
30.x y z x ⎧-+=⎪
⎨⎪=⎩
取1z =，得=n (0,2,1)． ...........8分 假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(
t Q - )10(≤≤t ，所以),2
1
,23(t CQ -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,
0.
CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m
所以 0,
31
0.22
b a b t
c =⎧⎪
⎨-+=⎪
⎩ 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ， 。

10分 即 2
0021103
t -
⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． 。

12分
20 解析：（I ）设(,0)F c ，由条件知
2233c =，得3c =3
2
c a =，所以2a =，2
2
2
1b a c =-=，故E 的方程为2
214
x y +=。

5分
（II ）当l x ⊥轴时不合题意，故可设:2l y kx =-，1122(,),(,)P x y P x y ，
将:2l y kx =-代入2214x y +=中得22(14)16120k x kx +-+=，当2
16(43)0k ∆=->时,即23
4
k >
, 。

7分 由韦达定理得1212
22
1612
,1414k x x x x k k +==++ 从而2
2
1212||()()PQ x x y y =-+-2
2
1212(1)[()4]k x x x x =++-222
4143
14k k k
+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离为2
21
d k =
+
所以POQ ∆的面积221443||241
OPQ
k S d PQ k ∆-=⋅=+。

8分 法一：设2
43k t -=，则0t >，2
44
44OPQ t S t t t
∆=
=++，因为44t t +≥,当且仅当2t =，即7
2
k =±
时等号成立，且满足0∆>.所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为 722y x =
-或722
y x =--。

12分 法二：令241k m +=，则2
22
16(4)14
16()OPQ m S m m m ∆-=
=-
当
11
8
m =时， 即 8m = ，2418k += ，72k =±时等号成立，且满足0∆>. 所以OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为72y x =
-或72y x =- 考点：椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法 21（本小题满分12分）
解（Ⅰ）222
22
'(),1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2
'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a =.。

5分
（Ⅱ）22
2
'(),(1)(1)
ax a f x ax x +-=++
∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>
①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时， 由22'()0,'()0,a a
f x x f x x a a
-->>
<<解得由解得 ∴()),a a
f x a a +∞2-2-的单调减区间为（0，
单调增区间为（，）.。

8分
故当2a ≥时，，()(0)1;f x f =的最小值为
当02a <<时，由②知，()f x 在2a x a -=
处取得最小值2(
)(0)1,a
f f a
-<= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞。

12分22 解：
⑴22
2
2
12:(2)(1)1,:
1.169
x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．
曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分
⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l 的参数方程为)(22424为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-= 将其代入曲线1C 整理可得：04232
=+-t t ，设,A B 对应参数分别为21,t t ，则
4,232121==+t t t t
所以
2t 4t -)t -(t |t -t |||2122121===AB 2121212||||()42AB s s s s s s =-=+-=。

10分
方法二，直线方程为4y +=x ，圆心到直线4y +=x 的距离为
2
1=
d 22
1
12||=-
=AB 23 【解析】不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤，则
22323x x x ≤-⎧⎨
-++≤⎩，或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩，或233223
x x x ⎧
>⎪⎨⎪---≤⎩，……………………3分 解得37
42
x -
≤≤， 所以不等式()3f x ≤的解集为37
{|}42
x x -≤≤．……………………5分 （2）不等式
()12|2|f x a x ≥-++等价于3321a x x a --+≥-，即
3361x a x a --+≥-，
由绝对值三角不等式知336|(3)(36)||6|x a x x a x a --+≤--+=+．……………………8分
若存在实数a ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，则|6|1a a +≥-，解得52
a ≥-， 所以实数a 的取值范围是5[,)2
-+∞．……………………10分
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