新教材高中数学第7章三角函数7 2 2同角三角函数关系课后素养落实含解析苏教版必修第一册

课后素养落实(三十二) 同角三角函数关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若sin θ＝－3
5，tan θ＜0，则cos θ＝( )
A ．34
B ．4
5
C ．－45
D ．45或－45
B 〖∵sin θ＝－3
5＜0，tan θ＜0.
∴θ为第四象限角， ∴cos θ＝
1－sin 2θ＝4
5
.〗
2．已知tan α＝－1
3，则sin α＋2cos α3cos α－sin α＝( )
A ．7
8
B ．－35
C ．－23
D ．12
D 〖sin α＋2cos α3cos α－sin α＝tan α＋23－tan α＝－13＋23＋13＝1
2.〗
3．已知sin α＝5
5
，则sin 4α－cos 4α＝( ) A ．45
B ．－45
C ．35
D ．－35
D 〖∵sin α＝
55
， ∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1
＝2×⎝⎛⎭
⎫552－1
＝－35
.〗
4．已知α是第二象限角，tan α＝－1
2，则cos α＝( )
A ．－45
B ．－35
C ．－255
D ．－355
C 〖∵tan α＝sin αcos α＝－1
2，∴cos α＝－2sin α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5
4cos 2α＝1，
又α为第二象限角，∴cos α＜0， ∴cos α＝－25
5
.〗
5．已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝( )
A ．25
B ．－35
C ．45
D ．－25
A 〖由题意知cos α≠0，则由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋3
3－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α
－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1
＝2
5.〗
二、填空题
6．已知0<α<π，sin αcos α＝－60
169，则sin α－cos α的值等于________．
17
13
〖∵sin αcos α<0,0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289
169，
∴sin α－cos α＝17
13
.〗
7．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1
tan α的值为________．
2 〖tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α
.
又sin α＋cos α＝2， ∴sin αcos α＝1
2，
∴tan α＋
1
tan α
＝2.〗 8．已知α是第三象限角，化简：
1＋sin α
1－sin α
－
1－sin α
1＋sin α
＝________.
－2tan α 〖原式＝
(1＋sin α)(1＋sin α)
(1＋sin α)(1－sin α)
－
(1－sin α)(1－sin α)
(1＋sin α)(1－sin α)＝
(1＋sin α)2
1－sin 2 α
－
(1－sin α)21－sin 2 α
＝1＋sin α|cos α|－1－sin α
|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α
－cos α＝－2tan α.〗
三、解答题
9．已知tan α＝2
3，求下列各式的值：
(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1sin αcos α
； (3)sin 2 α－2sin αcos α＋4cos 2 α.
〖解〗 (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝26
5
.
(2)1
sin αcos α＝sin 2 α＋cos 2 αsin αcos α＝tan 2 α＋1tan α＝136
. (3)sin 2 α－2sin αcos α＋4cos 2 α＝sin 2 α－2sin αcos α＋4cos 2 αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－2tan α＋4tan 2 α＋1＝
49－4
3＋449
＋1＝28
13. 10．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α
；
(2)⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)．
〖解〗 (1)原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin 2 α1－sin 2 α＝－2sin 2 α
cos 2 α＝－2tan 2
α. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫
1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2 α
sin α
＝sin α.
1．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，θ是第四象限的角，则m 的值为( )
A ．0
B ．8
C ．0或8
D ．3<m <9
A 〖由
sin 2θ＋cos 2θ＝1，得
(m －3)2(m ＋5)2＋(4－2m )2
(m ＋5)2
＝1，解得m ＝0或m ＝8.当m ＝0时，
sin θ＝－35，cos θ＝45，此时θ是第四象限的角；当m ＝8时，sin θ＝513，cos θ＝－12
13，此时
θ是第二象限的角，不符合题意，故选A.〗
2．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为( ) A ．56
B ．518
C ．－56
D ．－518
C 〖由Δ≥0知，a ≤1
3
.
又⎩⎨⎧
sin α＋cos α＝2
3， ①sin α·cos α＝a
3
， ②
由①式两边平方得：sin αcos α＝－518，
所以a 3＝－518，所以a ＝－56
.〗
3．若角α的终边在直线x ＋my ＝0(m >0)上，则sin α1－cos 2α
＋1－sin 2αcos α＝________.
0 〖∵
sin α
1－cos 2
α
＋
1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|
cos α
.
又角α的终边落在x ＋my ＝0(m >0)上，故角α的终边在第二、四象限． 当α在第二象限时，sin α>0, cos α<0，原式＝sin αsin α＋－cos α
cos α＝0；
当α在第四象限时，sin α<0, cos α>0，原式＝－sin αsin α＋cos α
cos α＝0.〗
4．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2 α＋1
tan 2 α＝________.
13 7 〖∵tan α＋1tan α＝1
cos αsin α＝3， ∴sin αcos α＝13
，
又tan 2 α＋1tan 2 α
＝⎝⎛⎭⎫tan α＋1tan α2－2＝9－2＝7，
∴tan 2 α＋1
tan 2 α
＝7.〗
已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m 的值；
(2)sin θ1－cot θ＋cos θ
1－tan θ的值⎝⎛⎭⎫其中cot θ＝1tan θ； (3)方程的两根及此时θ的值． 〖解〗 (1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝3＋1
2，
① sin θ·cos θ＝m .
②
将①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，
所以sin θcos θ＝
34，代入②得m ＝34
. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θ
cos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ
＝sin θ＋cos θ＝
3＋1
2
. (3)因为已求得m ＝
34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12
. 所以⎩⎨⎧
sin θ＝32，
cos θ＝1
2
或⎩⎨⎧
sin θ＝1
2，
cos θ＝3
2
.
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或θ＝π
6.。