浙江省嘉兴市桐乡市2019届九年级上学期数学期中考试试卷
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浙江省嘉兴市桐乡市2019届九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题(共10题;共10分)
1.下列事件中,属于必然事件的是()
A. 打开电视机正在播放广告
B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面向上的次数为50次
C. 任意画一个三角形,其内角和为
D. 任意一个二次函数图象与x轴必有交点
【答案】C
【解析】【解答】解:A.打开电视机正在播放广告,是随机事件,A不符合题意;
B.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面向上的次数为50次,是随机事件,B不符合题意;
C.意画一个三角形,其内角和为180°,是必然事件,C符合题意;
D.任意一个二次函数图象与x轴必有交点,是随机事件,D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】随机事件:可能发生,可能不发生的事件;必然事件:一定会发生的事件;逐一分析即可得出答案.
2.把抛物线y=-x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为()
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】【解答】解:当y=-x2向左平移1个单位时,顶点由原来的(0,0)变为(-1,0),
当向上平移3个单位时,顶点变为(-1,3),
∴平移后抛物线的解析式为y=-(x+1)2+3.
故答案为:D.
【分析】根据平移规律:“上加下减,左加右减”,由此即可得出答案.
3.⊙O的半径为4,点P是⊙O所在平面内的一点,且OP=5,则点P与⊙O的位置关系为()
A. 点P在上
B. 点P在外
C. 点P在内
D. 以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解:∵OP=5,⊙O的半径为4,
∴5>4,
∴该点在⊙O外.
故答案为:B.
【分析】设某点和圆心的距离为d,圆的半径为r,点和圆的位置关系:d>r时,点在圆外;d<r时,点在圆内;d=r时,点在圆上;由此即可得出答案.
4.如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在优弧AB上.若∠AOD=52°,则∠DEB的度数为()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:∵OD⊥AB,
∴= ,
∵∠AOD=52°,
∴∠DEB= ∠AOD=26°.
故答案为:C.
【分析】根据垂径定理可得弧AD=弧BD,再由圆周角定理即可求得答案.
5.红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏,下列命题中错误的是()
A. 红红胜或娜娜胜的概率相等
B. 红红不是胜就是输,所以红红胜的概率为
C. 两人出相同手势的概率为
D. 娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样【答案】B
【解析】【解答】解:A.红红胜或娜娜胜的概率相等,都是,故正确,A不符合题意;
B.红红不是胜就是输,所以红红胜的概率为,故错误,B符合题意;
C.两人出相同手势的概率为,故正确,C不符合题意;
D.娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样,故正确,D不符合题意;
故答案为:B.
【分析】根据概率公式结合题意可分别求得各选项概率,逐一分析即可得出答案.
6.濮院女儿桥是典型的石拱桥,如图.某天小松测得水面AB宽为8m,桥顶C到水面AB的距离也为8m,则这座女儿桥桥拱半径为()
A. 4m
B. 5m
C. 6m
D. 8m
【答案】B
【解析】【解答】解:连结OA,
∵AB宽为8m,桥顶C到水面AB的距离也为8m,
∴AD=4m,OD=8-OA,
∴在Rt△OAD中,
OA2=OD2+AD2,
即OA2=(8-OA)2+42,
解得:OA=5.
故答案为:B.
【分析】连结OA,根据垂径定理可得AD=4m,OD=8-OA,在Rt△OAD中,根据勾股定理列出方程,解之即可得出答案.
7.数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a,小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是()
A. 勾股定理
B. 勾股定理是逆定理
C. 直径所对的圆周角是直角
D. 的圆周角所对的弦是直径
【答案】C
【解析】【解答】解::∵AB是直径,
∴∠ACB是直角.
∴∠ACB是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.
故答案为:C.
【分析】根据圆周角定理即可得出答案.
8.二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表:
下列说法正确的是()
A. 抛物线的开口向下
B. 当时,y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是
D. 抛物线的对称轴是直线
【答案】 D
【解析】【解答】解:将点(-4,0)、(-1,0)、(0,4)代入二次函数y=ax2+bx+c中,
得:,
解得:,
∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4.
A.∵a=1>0,∴抛物线开口向上,故错误,A不符合题意;
B.∵=- ,∴当x≥- 时,y随x的增大而增大,故错误,B不符合题意;
C.∵y=x2+5x+4= - ,∴二次函数的最小值是- ,故错误,C不符合题意;
D. ∵=- ,∴抛物线的对称轴是直线x=- ,故正确,D符合题意.
故答案为:D.
【分析】由表中数据利用待定系数法可求得二次函数解析式为:y=x2+5x+4;由二次函数图像性质逐一分析即可得出答案.
9.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=35°,将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置,A1B1恰好经过点B,则旋转角α的度数等()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解:在Rt△ACB中,
∵∠ACB=90°,∠A=35°,
∴∠ABC=55°,
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置,
∴∠B′=∠ABC=55°,∠B′CA′=∠ACB=90°,CB=CB′,
∴∠CBB′=∠B′=55°,
∴∠BCB′=180°-55°-55°=70°,
∵∠BCA′+∠α=∠BCA′+∠BCB′=90°,
∴∠α=∠BCB′=70°.
故答案为:A.
【分析】在Rt△ACB中,根据三角形内角和可得∠ABC=55°,由旋转的性质可得∠B′=∠ABC=55°,
∠B′CA′=∠ACB=90°,CB=CB′,根据等腰三角形等边对等角可得∠CBB′=∠B′=55°,在△B′CB中,根据三角形内角和可得∠BCB′=55°,由同角的余角相等得∠α=∠BCB′=70°.
10.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线
x=1.直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:①a-b+c<0;②2a+b+c>0;③x(ax+b)≤a+b;④a<-1.其中正确的有()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】A
【解析】【解答】解:∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,
而抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)右侧,
∴当x=-1时,y<0,
∴a-b+c<0,故①正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=- =1,
∴b=-2a,
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0,故②正确;
∵x=1时,二次函数有最大值,
∴ax2+bx+c≤a+b+c,
∴ax2+bx≤a+b,故③正确;
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,
∴x=3时,一次函数值比二次函数值大,
即9a+3b+c<-3+c,
而b=-2a,
∴9a-6a<-3,
解得a<-1,故④正确.
故答案为:A.
【分析】①根据题意结合二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)右侧,从而可得当x=-1时,a-b+c<0,故①正确;
②根据抛物线与y轴的交点可得c>0,由抛物线的对称轴可得b=-2a,从而可得2a+b+c>0,故②正确;
③根据图像可知当x=1时,二次函数有最大值,即ax2+bx+c≤a+b+c,从而可得③正确;
④根据图像可知x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c<-3+c,将b=-2a代入解得a<-1,故④正确.
二、填空题(共10题;共10分)
11.二次函数y=2(x-3)2-1的顶点坐标为________.
【答案】(3,-1)
【解析】【解答】解:∵二次函数y=2(x-3)2-1是顶点式,
∴顶点坐标为(3,-1)
故答案为:(3,-1).
【分析】根据二次函数顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k),由此即可得出答案.
12.在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球,其中有a个白球和3个红球,若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在20%左右,则a的值约为________.
【答案】12
【解析】【解答】解:由题意可得:
×100%=20%,
解得a=12.
经检验:a=12是原分式方程的解,
∴a的值约为12.
故答案为:12.
【分析】由概率公式结合题意列出方程,解之即可.
13.从标有1,2,3,4的四张卡片中任取两张,卡片上的数字之和为奇数的概率是________.
【答案】
【解析】【解答】解:列树状图得:
共有12种情况,取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种,
所以概率为,
故答案为:.
【分析】列举出所有情况,看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可.14.已知(-1,),(3,)是抛物线图象上的点,请将用“<”号连接________. 【答案】
【解析】【解答】∵抛物线解析式为:y = x2 + 4 x + m=(x+2)2+m-4,
∴对称轴x=-2,
∴当x-2时,y随x的增大而增大,
又∵(-1,y1),(3,y2)在抛物线上,
∴-2<-1<3,
∴y1<y2.
故答案为:y1<y2.
【分析】根据二次函数解析式可以得出对称轴x=-2,再根据函数性质得出当x > -2时,y随x的增大而增大,从而求出y1<y2.
15.如图,点B,C,D在⊙O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是________.
【答案】100°
【解析】【解答】解:在优弧BD上取一点A,连接AB,AD,
∵点A、B,C,D在⊙O上,∠BCD=130°,
∴∠BAD=50°,
∴∠BOD=100°.
故答案为:100°.
【分析】在优弧BD上取一点A,连接AB,AD,根据圆的内接四边形性质:对角互补可得∠BAD=50°,再由圆周角定理即可得出答案.
16.如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,则直尺的宽度________.
【答案】3cm
【解析】【解答】解:过点O作OF⊥DE,垂足为F,
∵OF过圆心,DE=8cm,
∴EF= DE=4cm,
∵OC=5cm,
∴OE=5cm,
在Rt△OEF中,
∴OF= = =3.
故答案为:3cm.
【分析】过点O作OF⊥DE,根据垂径定理可得EF=4cm,在Rt△OEF中,根据勾股定理可求得OF长,即直尺的宽度.
17.如图,AB是圆O的直径,∠A=30°,BD平分∠ABC,CE⊥AB于E,若CD=6,则CE的长为________.
【答案】
【解析】【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=30°,
∴∠D=∠A=30°,∠ABC=60°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD= ∠ABC=30°,
∴∠D=∠CBD,
∵CD=6,
∴CD=CB=6,
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=90°,
∴EC=BC•sin60°=3 .
故答案为:3 .
【分析】根据直径所对的圆周角为90°可得∠ACB=90°,再由圆周角定理和三角形内角和定理得
∠D=∠A=30°,∠ABC=60°,由角平分线定义得∠CBD=30°,结合等腰三角形性质可得CD=CB=6,在
Rt△CEB中,根据正弦定义即可求得答案.
18.已知二次函数y=-2(x+3)2-1,当x=m和x=n时函数y的值相等,则当x=m+n时,函数y的值是________.【答案】-19
【解析】【解答】解:∵当x=m和x=n时函数y的值相等,而抛物线的对称轴为直线x=-3,
∴m-(-3)=-3-n,
即m+n=-6,
当x=m+n时,
即x=-6,
∴y=-2×(-6+3)2-1=-19.
故答案为:-19.
【分析】根据二次函数的性质可得m+n=-6,再将x=-6代入函数解析式即可求得答案.
19.如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=1.5,矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转4次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.
【答案】3π
【解析】【解答】解:转动一次A的路线长是:=π,
转动第二次的路线长是:π,
转动第三次的路线长是:π,
转动第四次的路线长是:0,
转动五次A的路线长是:=π,
以此类推,每四次循环,
故顶点A转动四次经过的路线长为:π+ π+ π=3π,
故答案为:3π.
【分析】根据旋转的性质和扇形的弧长公式求出每次转动的路线长,再相加即可得出答案.,
20.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠CDA=90°,AB=1,CD=2,过A,B,D三点的⊙O分别交BC,CD于点E,M,下列结论:①DM=CM;② ;③⊙O的直径为2;④AE=AD.其中正确的结论有________(填序号).
【答案】①②④
【解析】【解答】解:如下图,连接AM,连接MB,过点O作OG⊥AM,OH⊥AM,
∵∠BAD=∠CDA=90°,
∴AM过圆心O,而A、D、M、B四点共圆,
∴四边形ADMB为矩形,
∵AB=1,CD=2,
∴CM=2-1=1=AB=DM,
故①正确;
又∵AB∥CD,
∴四边形ABMC为平行四边形,
∴∠AEB=∠MAE,= ,
故②正确;
∵四边形ADMB为矩形,
∴AB=DM,
∴= ,
∴=,
∴∠DAM=∠EAM,
过点O作OG⊥AM,OH⊥AM,
∴OG=OH,
∴AD=AE,
故④正确;
由题设条件求不出直径的大小,
故③⊙O的直径为2,错误;
故答案为:①②④.
【分析】①根据圆周角定理和圆的内接四边形可知四边形ADMB为矩形,从而可求得DM=CM,故①正确;
②根据平行四边形的判定可知四边形ABMC为平行四边形,由平行线的性质可知∠AEB=∠MAE,从而可得②正确;
③由题设条件求不出直径的大小,故③错误;
④根据矩形的性质和弦、弧之间的关系可得=,从而可得∠DAM=∠EAM,再由角平分线的性质可得OG=OH,从而可得④正确.
三、解答题(共6题;共14分)
21.已知二次函数的图象的顶点坐标是(1,3),且与x轴的一个交点是(-2,0).
(1)求这个二次函数的解析式及图象与x轴的另一个交点坐标;
长.
(2)根据函数图象,写出函数值y大于0时,自变量x的取值范围.
【答案】(1)解:设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+3,且过点(-2,0)
∴0=9a+3
∴a=-
∴解析式为y=- (x-1)2+3,
令y=0,则0=- (x-1)2+3
∴x1=-2,x2=4
∴与x轴的另一个交点坐标是(4,0)
(2)解:如图,
由二次函数图象可得:-2<x<4
【解析】【分析】(1)根据题意设二次函数解析式为顶点式,再将(-2,0)代入即可求得二次函数解析式,
令y=0即可求得图像与x轴的另一个交点坐标.
(2)根据二次函数解析式画出函数图像,由图像可知y大于0的x的取值范围.
22.在湖州创建国家卫生文明城市的过程中,张辉和夏明积极参加志愿者活动,当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择:①清理类岗位:清理花坛卫生死角;清理楼道杂物(分别用A1,A2表示).②宣传类岗位:垃圾分类知识宣传;交通安全知识宣传(分别用B1,B2表示).
(1)张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名,恰好选择清理类岗位概率为是________;
长.
(2)若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名,请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率.
【答案】(1)
(2)解:根据题意画树状图如下:
共有16种等可能的结果数,张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4,
所以他们恰好选择同一岗位的概率:=
【解析】【解答】解:(1)张辉同学选择清理类岗位的概率为:= ;
故答案为:;
【分析】(1)根据题意用概率公式即可求得答案.
(2)根据题意画出树状图,从树状图可得总的结果数和张辉、夏明恰好现选择同一岗位的结果数,再由概率公式即可得出答案.
23.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连结AC交⊙O于点F.
(1)AB与AC的大小有什么关系?请说明理由;
长.
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求:图中阴影部分的面积.
【答案】(1)解:AB=AC.
理由是:连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
又∵DC=BD,
∴AB=AC;
(2)解:连接OD、过D作DH⊥AB.
∵AB=8,∠BAC=45°,
∴∠BOD=45°,OB=OD=4,
∴DH=2
∴△OBD 的面积=
扇形OBD的面积= ,阴影部分面积=
【解析】【分析】(1)由圆周角定理可知AD⊥BC,由已知条件可知D为BC中点,根据等腰三角形三线合一的性质即可得证.
(2)在Rt△ODH中,根据正弦的定义可求得DH长,由三角形面积公式可得△OBD的面积,再由扇形的面积公式可求得扇形OBD的面积,从而可求得阴影部分的面积.
24.某商店经营一种小商品,进价为每件20元,据市场分析,在一个月内,销售单价定为25元时,月销售量为1050件;当销售单价每上涨1元,月销售量就减少50件.设销售单价为x(元),月销售量为y(件),月获利(月获利=月销售额-月进价)为w(元).
(1)试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围);
长.
(2)试写出w与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围);并求当销售单价为多少时,月获利最大,最大月获利为多少?
【答案】(1)解:根据题意得:y=1050-50(x-25)=-50x+2300
(2)解:根据题意得:w=(x-20)(-50x+2300)=-50x2+3300x-46000.
∵w=-50x2+3300x-46000=-50(x-33)2+8450,a=-50,
∴当x=33时,w取最大值,最大值为8450.
∴当销售单价为33元时,月获利最大,最大月获利为8450元.
【解析】【分析】(1)根据现在月销售量=原月销售量-50×销售单价上涨钱数,由此即可列出y与x之间的函数关系式.
(2)根据月利润=单件利润×销售数量,由此即可得出w与x之间的函数关系式,将一般式配成顶点式,再由二次函数的性质即可得出最大月利润.
25.已知,抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(0,5).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)如图1,P是抛物线对称轴上一点,连接PA,PB,试求出当PA+PB的值最小时点P的坐标;
(3)如图2,Q是线段OC上的一点,过点Q作QH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△QCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出Q点的坐标.
【答案】(1)解:将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=-x2+bx+c.
得
解这个方程组,得,
所以,抛物线的解析式为y=-x2-4x+5
(2)解:如图1,
如图1,由于点A、C关于y轴对称,所以连接BC,直线BC与对称轴的交点即为所求的点P,
由y=-x2-4x+5,令y=0,得-x2-4x+5=0,
解得x1=-5,x2=1,
∴C点的坐标为(-5,0),
又B(0,5),
∴易得直线BC的解析式为:y=x+5.
∴当x=-2时,y=3,
∴点P坐标(-2,3)
(3)解:设Q点的坐标为(a,0),
所以BC所在的直线方程为y=x+5.那么,QH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5),
QH与抛物线y=-x2-4x+5的交点坐标为H(a,-a2-4a+5).
由题意,得
①EH= EQ,即(-a2-4a+5)-(a+5)= (a+5),
解这个方程,得a=- 或a=-5(舍去).
②EH= EQ,即(-a2-4a+5)-(a+5)= (a+5),
解这个方程,得a=- 或a=-5(舍去),
综上所述,P点的坐标为(- ,0)或(- ,0).
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求将点A、B的坐标代入可得出b、c的值,从而可得得此抛物线的解析式;
(2)根据题意可知点A、C关于y轴对称,所以连接BC,可知直线BC与对称轴的交点即为所求的点P,利用待定系数法求得直线BC的解析式,再将对称轴x=-2代入直线BC解析式即可求得点P坐标.
(3)如图2,设QH交BC于点E,Q(a,0),根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征,从而可得点E(a,a+5),点H(a,-a2-4a+5);结合题意分类讨论:①2EH=3EQ;②3EH=2EQ;分别列出关于a 的方程,解之即可求得a值,从而可得Q点坐标.
26.如图,⊙O的直径AB=26,P是AB上(不与点A,B重合)的任一点,点C,D为⊙O上的两点.若∠APD=∠BPC,则称∠DPC为直径AB的“回旋角”.
(1)若∠BPC=∠DPC=60°,则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗?并说明理由;
长.
(2)猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系,给出证明(提示:延长CP交⊙O于点E);长.
(3)若直径AB的“回旋角”为120°,且△PCD的周长为24+13 ,直接写出AP的长.
【答案】(1)解:∵∠BPC=∠DPC=60°,
∴∠APD=180°-∠BPC-∠DPC=180°-60°-60°=60°,
∴∠APD=∠BPC,
∴∠DPC是直径AB的回旋角
(2)解:“回旋角”∠CPD的度数= 的度数,理由如下:
如图2,延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE.
∵∠CPB=∠APE,∠APD=∠CPB,
∴∠APE=∠APD.
∵圆是轴对称图形,
∴∠E=∠D.
∵OE=OC,
∴∠E=∠C,
∴∠D=∠C.
由三角形内角和定理,可知:∠COD=∠CPD,
∴“回旋角”∠CPD的度数= 的度数
(3)解:①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC.同(2)的方法可得:点P,D,F在同一条直线上.
∵直径AB的“回旋角”为120°,
∴∠APD=∠BPC=30°,
∴∠CPF=60°,
∴△PFC是等边三角形,
∴∠CFD=60°.
连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD=120°,
∴CD=2DG,∠DOG= ∠COD=60°,
∴CD=2× =13 .
∵△PCD的周长为24+13 ,
∴PD+PC+CD=24+13 ,
∴PD+PC=DF=24.
过点O作OH⊥DF于点H,则DH=FH= DF=12.
在Rt△OHD中,OH= = =5,
在Rt△OHP中,∠OPH=30°,
∴OP=2OH=10,
∴AP=OA-OP=13-10=3;
②当点P在半径OB上时,
同①的方法,可得:BP=3,
∴AP=AB-BP=26-3=23.
综上所述,AP的长为:3或23.
【解析】【分析】(1)根据题意结合平角定义可求得∠APD=60°=∠BPC,根据“回旋角”定义即可得∠DPC 是直径AB的回旋角;
(2)延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE,由“回旋角”的定义结合对顶角相等可得∠APE=∠APD,由圆的对称性和等腰三角形的性质可得∠D=∠C,利用三角形内角和定理可得∠COD=∠CPD,从而可得答案.
(3)根据题意分情况讨论:①当点P在半径OA上时;在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,根据圆的对称性和已知条件可得∠APD=∠BPC=30°,从而可得△PFC是等边三角形;过点O作
OG⊥CD于点G,连接OC,OD,根据等腰三角形的性质和锐角三角形函数的定义、△PCD的周长可得DF=24;过点O作OH⊥DF于点H,在Rt△OHD和在Rt△OHD中,通过解直角三角形可得出OH,OP的值,再根据AP=OA-OP可求出AP的值;
②当点P在半径OB上时,用①的方法,可得BP=3,再根据AP=AB-BP可求出AP的值.。