2020年全国版高考数学必刷题：第二十二单元 选考模块

第二十二单元选考模块
考点一极坐标与参数方程
1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为-(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
-
由
-
解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0),-,.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离d=.
当a≥-4时,d的最大值为.
由题设得=,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为-.
由题设得=,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
【解析】(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·-
=2--≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为-
(m为参
数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程为y=k(x-2);
消去参数m得l2的普通方程为y=(x+2).
设P(x,y),由题设得
-
消去k得x2-y2=4(y≠0),
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),
联立-
得
-
cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,
所以交点M的极径为.
4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.
所以a=1.
5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)(法一)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数得y=x·tan α.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.
由圆C的方程为(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.
又∣AB∣=,由垂径定理及点到直线的距离公式得-=-,即=,
整理得k2=,解得k=±,
即l的斜率为±.
(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|=-
=-.
由|AB|=得cos2α=,可得tan α=±.
所以l的斜率为±.
考点二不等式选讲
6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于
x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①
当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,解得-1≤x≤1;
当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,
解得1<x≤-.
所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤-.
(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,
所以f(-1)≥2且f(1)≥2,解得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
7.(2017年全国Ⅱ卷)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,
所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.
8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
【解析】(1)f(x)=----
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,
解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m,得
m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=--+≤,
且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=,
故m的取值范围为-.
9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
【解析】(1)由题意得f(x)=
-----
故y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},
f(x)<-1的解集为或.
所以|f(x)|>1的解集为或或.
10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=x-+x+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
【解析】(1)f(x)=---
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1<x≤-;
当-<x<时,f(x)<2;
当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得≤x<1.
综上,f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.
高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线的参数方程中t的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、ρ的几何意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.
命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐标方程与普通方程的转化.
2.直线的参数方程中t的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在两交点同侧.
3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义.
4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.
5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.
6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.
7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.
8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.
§22.1坐标系与参数方程
一极坐标系
1.极坐标的概念
(1)极坐标系:
如图,在平面内取一个定点O,叫作,由O点引一条射线Ox,叫作,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为.
(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的,θ叫作点M的,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
2.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:
在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.
二参数方程
1.曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数,即并且对于t 的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么称上式为该曲线的,其中变量t称为.
2.一些常见曲线的参数方程
(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为.
(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为.
(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为.
3.直线的参数方程的标准形式的应用
(1)已知直线的参数方程为(t为参数),M1,M2是直线上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则
M1M2=|t1-t2|.
(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0(x0,y0)的距离
MM0=|t|=.
(3)若M0(x0,y0)为线段M1M2的中点,则t1+t2=.
☞左学右考
写出下列曲线的极坐标方程
半径
直角坐标方程x2+y2-8y=0的极坐标方程为.
极坐标方程ρ=6cos-的直角坐标方程为.
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,已知射线θ=与曲线-(t 为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为.
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π)),则圆心C到直线l的距离是.
知识清单
一、1.(1)极点极轴极坐标系(2)极径极角
2.(2)ρcos θρsin θx2+y2
二、1.参数方程参数
2.(1)(t为参数)
(2)(θ为参数)
(3)(θ为参数)
3.(2)(3)0
基础训练
1.ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r sin θ(0≤θ<π)
ρsin θ=a(0<θ<π)ρsin(α-θ)=a sin α(α-π<θ<α)
2.【解析】因为x2+y2=ρ2,y=ρsin θ,所以原方程可化为ρ2-8ρsin θ=0.所以ρ=0或ρ=8sin θ.经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sin θ.
【答案】ρ=8sin θ
3.【解析】原方程可化为ρ=6cos θcos +6sin θsin ,
方程两边同乘ρ,得ρ2=3ρcos θ+3ρsin θ,
由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,
得所求的直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.
【答案】x2+y2-3x-3y=0
4.【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),将射线θ=转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为y=(x-2)2,联立上述两个方程得x2-5x+4=0,所以x1+x2=5,故线段AB的中点坐标为.
【答案】
5.【解析】直线方程可化为x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2=1.由点到直线的距离公式可得,圆心C(1,0)到直线l的距离为
=.
-
【答案】
题型一平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)求曲线C的标准方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),
依题意得
由+=1得x2+=1,
故曲线C的标准方程为x2+=1.
(2)由
解得或
-
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,则所求直线的斜率为k=,
于是所求直线的方程为y-1=-,
化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
故所求直线的极坐标方程为ρ=
.
-
【变式训练1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:
(1)求点A-经过φ变换所得点A'的坐标;
(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l'的方程.
【解析】(1)设点A'(x',y'),由伸缩变换φ:
得∴x'=×3=1,y'=-=-1.
∴点A'的坐标为(1,-1).
(2)设P'(x',y')是直线l'上任意一点.
由伸缩变换φ:得
代入y=6x,得2y'=6·=2x',即y'=x'.
∴直线l'的方程为y=x.
题型二直角坐标方程和极坐标方程的互化
【例2】在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.
【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2=,所以9ρ2+7ρ2sin2θ=144.
由ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,
可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144,
即曲线C的直角坐标方程为+=1.
(2)因为曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,所以A(4,0),B(0,3).
所以直线AB的方程为3x+4y-12=0.
设P(4cos θ,3sin θ),则P到直线AB的距离d=-=-.
当θ=时,d max=.
故△ABP面积的最大值为×|AB|×=6(+1).
(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入化简即可.
【变式训练2】(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.
①求圆C1的极坐标方程;
②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.
(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin-=,以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.
①求圆O和直线l的直角坐标方程;
②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
【解析】(1)①圆C1:(x-3)2+y2=9,展开可得x2+y2-6x=0,
可得极坐标方程为ρ2-6ρcos θ=0,即ρ=6cos θ.
②圆C2的圆心的极坐标为,
化为直角坐标为(1,1),可得圆C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
由圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=-
-
=,
故弦长|AB|=2-=.
(2)①圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
则圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0.
直线l:ρsin-=,即ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.
②由
--
-
得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
题型三参数方程与普通方程的互化
【例3】已知椭圆C:+=1,直线l:-(t为参数).
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;
(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.
【解析】(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x-y+9=0.
(2)设P(2cos θ,sin θ),则|AP|=-=2-cos θ,
点P到直线l的距离d=-=-.
由|AP|=d得3sin θ-4cos θ=5,
又sin2θ+cos2θ=1,解得sin θ=,cos θ=-,
故点P的坐标为-.
(1)参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角
【变式训练3】已知曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C与直线l的普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|=,求实数m的值.
【解析】(1)由得
-
①的平方加②的平方,得曲线C的普通方程为
x2+(y-m)2=1.
由x=1+t,得t=x-1,代入y=4+t得y=4+2(x-1),
所以直线l的普通方程为y=2x+2.
(2)圆心(0,m)到直线l的距离d=,
所以由勾股定理,得
-+=1,
解得m=3或m=1.
题型四极坐标与参数方程的综合问题
【例4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),,圆C的参数方程为
(θ为参数).
-
(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;
(2)判断直线l与圆C的位置关系.
【解析】(1)因为M,N的极坐标分别为(2,0),,
所以M,N的直角坐标分别为(2,0),.
又因为P为线段MN的中点,所以点P的直角坐标为,
所以直线OP的直角坐标方程为y=x.
(θ为参数),
(2)因为圆C的参数方程为
-
所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y+3)2=4,
可知圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为2.
由直线l上两点M,N的直角坐标分别为(2,0),,可知直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
所以圆心C到直线l的距离为--=>2.
所以直线l与圆C相离.
求解参数方程与极坐标方程的综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直
【变式训练4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的参数方程为(α为参数),直线l的极坐标方程为ρcos-=3.
(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;
(2)求圆C上的点P到直线l距离的最小值和最大值.
【解析】(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos-=3,
∴ρcos θ+ρsin θ=3,即直线l的直角坐标方程为x+y-3=0.
∵圆C的参数方程为(α为参数),
消去参数得(x-1)2+y2=1,
即圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1.
(2)由圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心C(1,0),半径r=1.
则圆心C到直线l的距离d===>1,故直线l与圆C相离,
故圆C上的点P到直线l距离的最小值是-1,最大值是+1.
方法一直线参数方程中参数t的几何意义
过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).①
通常称①为直线l的参数方程的“标准式”.
参数t的几何意义:
|t|是直线上任一点M(x,y)到点M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.
若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点M在M0上方时,有t=||;当点M 在M0下方时,有t=-||.
该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关.解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.
【突破训练1】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知
曲线C:ρsin2θ=2a cos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为-
-
(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.
【解析】(1)由题意,可得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0),将直线l的参数方程-
-
(t为参数)代入曲线C的
直角坐标方程,得t2-(4+a)t+16+4a=0,因为直线l与曲线C交于M,N两点,
所以Δ>0,解得a>0或a<-4.
又a>0,所以实数a的取值范围为(0,+∞).
(2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2.
则由(1)知,t1+t2=2(4+a),t1t2=2(16+4a),
若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t1-t2|2=|t1t2|.
解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a的值为1.
方法二ρ的几何意义的应用
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.同时,注意数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,达到化繁为简的目的.
【突破训练2】在直角坐标系xOy中,半圆C的参数方程为(φ为参数,0≤φ≤π).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
【解析】(1)半圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1),又x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈.
(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,
则有解得
设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,
则有解得
因为θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,
所以线段PQ的长为4.
方法三圆锥曲线参数方程的应用
椭圆的参数方程的实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.
【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中,动圆x2+y2-4x cos θ-4y sin θ+7cos2θ-8=0(θ为参数)的圆心轨迹为曲线C,点P在曲线C上运动.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l的极坐标方程为2ρcos=3,求点P到直线l的最大距离.
【解析】将动圆的方程配方,得
(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin2θ,
设圆心(x,y),则(θ为参数),
即曲线C的参数方程为(θ为参数),
直线l的直角坐标方程为x-y-3=0.
设点P(x1,y1),则点P到直线l的距离d=--
=-,
其中tan φ=-.
∴当sin(θ1+φ)=-1时,点P到直线l的距离d取得最大值.
【答案】
1.(2017长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin-=.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
【解析】(1)由(α为参数),消去参数α,得+y2=1,
即C的普通方程为+y2=1.
由ρsin-=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)
将代入(*),化简得y=x+2,
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),
代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,
Δ=(18)2-4×5×27=108>0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.
2.(2017合肥调研)在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin θ+ρcos θ=m.
(1)若m=0,判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.
【解析】(1)曲线C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,其表示圆心为(1,1),半径为的圆;直线l的直角坐标方程为x+y=0,
圆心C到直线l的距离d===r,
所以直线l与圆C相切.
(2)直线l的直角坐标方程为x+y-m=0,
由已知可得,圆心C到直线l的距离d=≤,解得-1≤m≤5.
所以实数m的取值范围为[-1,5].
3.(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为.
(1)求圆C和直线l的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.
【解析】(1)由曲线C:(x-1)2+y2=1,
得参数方程为(θ为参数),
直线l的参数方程为(t为参数).
(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,
得t2+(m-)t+m2-2m=0,所以t1t2=m2-2m,
由题意得Δ>0,|m2-2m|=1,得m=1,m=1+或m=1-.
4.(2017唐山质检)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;
(2)设C1与x轴,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C2交于点Q,求P,Q两点间的距离.
【解析】(1)曲线C1化为ρcos θ+ρsin θ=.
即ρsin=.
曲线C2化为+=1,(*)
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,
得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.
∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=.
(2)∵M(,0),N(0,1),∴P,
∴OP的极坐标方程为θ=,
把θ=代入ρsin=,得ρ1=1,P.
把θ=代入ρ2=,得ρ2=2,Q.
∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.
5.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=
-
.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过极点O作直线l交曲线于P,Q两点,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.
【解析】(1)∵ρ=,ρsin θ=y,
ρ=
-
化为ρ-ρsin θ=2,
∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),
根据题意
-=3×
-
,
解得θ0=或θ0=,
∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).
6.(2017赤峰模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρsin-=2.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.
【解析】(1)由ρsin-=2得ρ(sin θ-cos θ)=4,
所以直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,
由得曲线C的普通方程为x2+=1.
(2)在C上任取一点P(cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离d=-=,
其中cos φ=,φ=,
所以当cos(θ+φ)=1时,d max=2+.
7.(2017铁岭模拟)在极坐标系Ox中,曲线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足
|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程;
(2)求曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值.
【解析】(1)设P(ρ1,θ),M(ρ2,θ),
由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4,(*)
因为M是C1上任意一点,所以ρ2sin θ=2,代入(*)得ρ1=2sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0,
化为标准方程为x2+(y-1)2=1,
则圆C2的圆心坐标为(0,1),半径为1,
由直线ρcos=,
得ρcos θcos-ρsin θsin =,即x-y=2,
圆心(0,1)到直线x-y=2的距离
d==,
所以曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值为1+.
8.(2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρsin-=,椭圆C的参数方程为(t为参数).
(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长.
【解析】(1)由ρsin-=得ρ-=,所以直线l的直角坐标方程为x-y=,
化简得y=x-,即直线l的直角坐标方程为y=x-.
由+=cos2t+sin2t=1得椭圆C的普通方程为+=1.
-
(2)联立直线方程与椭圆方程得
消去y并整理得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,所以A(0,-),B或A,B(0,-).
所以AB==.
9.(2017邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为,求:
(1)直线的极坐标方程;
(2)极点到该直线的距离.
【解析】(1)如图,由正弦定理得
.
=
-
即ρsin-=sin =,
∴所求直线的极坐标方程为ρsin-=.
(2)作OH⊥l,垂足为H,
在△OHA中,OA=1,∠OHA=,∠OAH=,
则OH=OA sin =,
即极点到该直线的距离等于.
10.(2017黑龙江大庆二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-
(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极
轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=a sin θ.
(1)若a=2,求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;
(2)设直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,求a的值.
【解析】(1)当a=2时,ρ=a sin θ即为ρ=2sin θ,
化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,
直线-
(t为参数)化为普通方程为4x+3y-8=0.
(2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2+-=,
因为直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,
所以圆心C到直线l的距离d=-=·,
即2|3a-16|=5|a|,解得a=32或a=.
11.(2017宁夏银川九中二模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为
-
(θ为参数).
(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.
【解析】(1)圆C的参数方程为
-
(θ为参数).
所以圆C的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.
由x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,
化简可得圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.
(θ为参数),点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,
(2)因为x,y满足
-
△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=-,
所以△ABM面积的最大值为9+2.
12.(2017辽宁抚顺二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C2交于M,N两点,且|MN|≥2,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,
曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,
可得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12.
设点P(x',y'),Q(x,y),
由中点坐标公式,得-将其代入x2+y2-4y=12,
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.
(2)直线l的普通方程为y=ax,
设圆心C2到直线l的距离为d,由弦长公式可得,|MN|=2-≥2,即d≤1.
可得圆心(3,1)到直线l的距离d=-≤1,
即4a2-3a≤0,解得0≤a≤,
故实数a的取值范围为.
§22.2不等式选讲
一绝对值三角不等式
1.定理1
如果a,b是实数,那么,对于|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.
2.定理2
如果a,b,c是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
二绝对值不等式的解法
1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
(1)数形结合法;
(2)零点分段法;
(3)构造函数法.
三不等式证明的方法
1.比较法.
(1)作差比较法;
(2)作商比较法.
2.综合法和分析法.
3.反证法和放缩法.
四几个常用的不等式
1.柯西不等式
柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).
2.平均值不等式
定理:如果a,b,c为正数,那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.
我们称为正数a,b,c的算术平均值,为正数a,b,c的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式.
一般形式的算术—几何平均值不等式:如果a1,a2,…,a n为正数,那么,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.
☞左学右考
设ab<0,a,b∈R,那么正确的是().
A.|a+b|>|a-b|
B.|a-b|<|a|+|b|
C.|a+b|<|a-b|
D.|a-b|<||a|-|b||
不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是.
|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
(1);
(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或.
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
知识清单
一、1.||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|ab≥0
2.|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)≥0
二、1.(-a,a)(-∞,-a)∪(a,+∞)
四、1.(+)(+)≥(a1b1+a2b2)2
2.≥≥
基础训练
1.【解析】由ab<0得a,b异号,易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|,|a-b|>||a|-|b||,∴A、B、D均不成立.故选C.【答案】C
2.【解析】f(x)=|x-1|-|x-5|=--
当x≤1时,f(x)=-4<2,满足题意,
当1<x<5时,由f(x)=2x-6<2,解得1<x<4,
当x≥5时,f(x)=4>2,无解.
所以所求不等式的解集为{x|x<4}.
【答案】{x|x<4}
3.【答案】(1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c(2)ax+b≥c
4.【解析】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.
所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤. (2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
题型一绝对值不等式的解法
【例1】已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)证明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
【解析】(1)f(x)=|x-2|-|x-5|
=--
当2<x<5时,-3<2x-7<3,
所以-3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知,
当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+18≤0,解集为空集;
当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-10x+22≤0,解集为{x|5-≤x<5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+12≤0,解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.。