菱形第1课时课件冀教版数学八年级下册(1)

菱形的相关 概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四条边都相等； 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
面积=对角线分成的四个三角形的面积和 =两条对角线乘积的一半
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2.菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE=CE，AD=4cm．
（1）求BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积． O
解：（1）连接AC，交BD于点O，
∵AE⊥BC于点E，且BE=CE， ∴AB=AC，
∵在菱形ABCD中，AB=AD=4cm，AC⊥BD，AC=2AO， ∴AO=2cm，AO⊥BO，
第二十二章 四边形 22.5 菱形 第1课时
学习目标
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1.理解菱形的定义,知道菱形是特殊的平行四边形 2.掌握菱形的性质定理 3.能应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题
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观察图片中框出的图形,是你熟悉的图形吗？
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证明猜想：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AC⊥BD；∠ABD=∠CBD，∠DCA=∠BCA，
B
∠ADB=∠CDB，∠DAC=∠BAC.
A
O
C
证明：∵四边形ABCD是菱形,
D
∴AB = BC， ∴△ABC是等腰三角形.
又 ∵OB = OD，AO=OC(菱形的对角线互相平分)， ∴AO⊥B0，OB平分∠ABC， 即AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，
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如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱
形ABCD的面积.
A
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD,
B ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
O D
= 1 AC·BO+ 1 AC·DO
2
2
= 1 AC(BO+DO)
2
= 1 AC·BD.
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思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它 有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
活动1：请同学们拿出准备好的矩形纸片和小剪刀，利用折纸、剪切的方法，既 快又准确地剪出一个菱形的纸片.
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2
C 你有什么发现？
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
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探究一 菱形性质的运用
问题提出：在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形
的边长和对角线AC的长.
D
问题探究： (1)题目让我们求菱形的边长和对角线的长，你能联想到 A 菱形的什么性质呢？
∴根据勾股定理可知BO= 2 3 cm， ∴BD= 4 3 cm;
（2）菱形ABCD的面积为：1
2
AC•BD
1 2
4
4
3 8
3(cm2 ).
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3.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证:∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形， C
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活动2：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以 下问题:
问题3：根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两条 对角线有什么关系?
猜想1：菱形的四条边都相等； 猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∴CB=CD， CA平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCE， 又 CE=CE， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠CBE=∠CDE， ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠CDE， ∴∠AFD=∠CBE.
B F
EA
D
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有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
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探究一 菱形性质的运用
问题解决： 解:∵四边形ABCD是菱形,且∠BAC=30°，
∴AB=AD，∠DAC=∠BAC=30°，
D
∴△ABD是等边三角形，
A
∴AB=BD=6，即菱形的边长为6；
∴OB=OD= 1 BD=3， 又 ∵AC⊥BD，
2
O
C
B
在Rt△AOB中，AO AB2 OB2 62 32 3 3,
O
C
四条边都相等； 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. B
(2)根据菱形的边和对角线的性质，结合题中已知∠BAC=30°，可以知道△ABD
是 等边 三角形，从而可得出边AB的长.
(3)直角三角形中，已知斜边和一直角边的长，可根据 勾股 定理求出另一直 角边的长，从而可求出对角线AC的长.
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探究二 菱形的面积
问题解决：
解：∵四边形ABCD是菱形,
D
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∴OB= 1 BD=5，
2
A
O
C
在Rt△AOB中，AO AB2 OB2 132 52 12cm,
B
∴AC=2AO=24cm，
∴S菱形ABCD=
1 2
AC·BD =
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思考：我们知道将平行四边形的角特殊化，使得有一个角是直角的平行四边 形是矩形.如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边 的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
邻边相等
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 注意：菱形是特殊的平行四边形； 平行四边形不一定是菱形.
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问题4：菱形的对角线将菱形分成了四个小三角形,它们的面积相等吗?说一说
你的理由.
A
相等，
理由：因为菱形的对角线互相垂直平分， B
O
D
可利用SAS或SSS证明四个直角三角形全等. C
即 S菱形ABCD=4S△AOB
问题5：前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来 计算菱形ABCD的面积呢?
∴AC=2OA= 6 3 .
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练一练
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如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ B ）
A.18
B.16
C.15
D.14
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探究二 菱形的面积
问题提出：如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，对角线长BD为10cm，求菱
1 ×24×10
2
=120（cm2）.
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1.根据下图填一填： （1）在菱形ABCD中，∠ABC=120 °，则∠BAC=__3_0_°___. （2）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是__5_c_m___.
B
A
O
C
D
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活动2：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以 下问题:
问题1：菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2：菱形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？ 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
形ABCD的面积. 问题探究： (1)你能联想到菱形面积的哪几种方法呢？
D
A
O
C
菱形对角线分成的四个三角形的面积和；菱形对角线乘积的一半 B (2)题中给出一对角线的长，只需要求 另一对角线 的长，就能求出菱形的面积.
(3)根据菱形边相等，对角线垂直平分的性质，结合勾股定理，即可求出另一条对 角线的长，从而求出菱形的面积.
请同学们试一 试证明猜想1吧！
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠DAC=∠BAC.
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归纳总结
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菱形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质：
菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
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