高中数学(人教B版)选修4-4(备课资源)综合测评A

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
综合测评A
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为
( )
A ．x 2＋(y ＋2)2＝4
B ．x 2＋(y －2)2＝4
C ．(x －2)2＋y 2＝4
D ．(x ＋2)2＋y 2＝4
答案：C
2．直线y ＝2x ＋1的参数方程是
( )
A.⎩⎨⎧ x ＝t 2
y ＝2t 2
＋1
(t 为参数) B.⎩⎨⎧ x ＝2t －1y ＝4t ＋1
(t 为参数) C.⎩⎨⎧
x ＝t －1y ＝2t －1
(t 为参数) D.⎩⎨⎧
x ＝sin θy ＝2sin θ＋1 (t 为参数) 答案：C
3．在同一平面的直角坐标系中，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4的伸缩
变换是
( )
A.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝x y ′＝14y B.⎩⎨
⎧
x ′＝4x y ′＝y
C.⎩⎨⎧
x ′＝x
y ′＝4y D.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝4x y ′＝14y
答案：C
解析：由伸缩变换公式⎩⎨⎧
x ′＝λx ，
y ′＝μy ，
代入2x ′－y ′＝4，
可得2λx －μy ＝4，将此式与x －2y ＝2进行比较，得λ＝1，μ＝4，故所求的伸缩变换为⎩⎨⎧
x ′＝x ，
y ′＝4y .
4．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标
系，则点P 的极坐标为
( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34π
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，54π C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，54π D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－3，34π 答案：A
5．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：
ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是 ( )
A ．k <－34
B ．k ≥－3
4 C ．k ∈R D ．k ∈R 但k ≠0
答案：A
6．柱坐标⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是
( )
A ．(3，－1,1)
B ．(3，1,1)
C ．(1，3，1)
D ．(－1，3，1)
答案：C
解析：由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，
z ＝z ，
可得
⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝3，z ＝1.
7．直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝45t
y ＝－9＋3
5t (t 为参数)与圆⎩⎨⎧
x ＝2cos θ
y ＝2sin θ
(θ为参数)的位置关系是
( )
A ．相离
B ．相切
C ．过圆心
D ．相交不过圆心
答案：A
解析：把直线与圆的参数方程化为普通方程分别为3x －4y －36＝0，x 2＋y 2＝4，得到圆的半径为2，圆心为(0,0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断出直线和圆的位置关系． 8．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是
( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t 12y ＝t －1
2
B.⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝sin t y ＝1sin t
C.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos t y ＝1cos t
D.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝tan t y ＝1tan t
答案：D
解析：xy ＝1，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 9．双曲线⎩⎨⎧
x ＝23tan α，
y ＝6sec α
(α为参数)的两焦点坐标是
( )
A ．(0，±43)
B ．(±43，0)
C ．(0，±3)
D ．(±3，0)
答案：A
10．曲线⎩
⎨⎧
x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是
( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0) D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，59、(8,0) 答案：B
解析：当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，15；
当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0.
11．曲线⎩⎨⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是
( )
A. 2 B ．1 C.22 D.12
答案：A
解析：因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边)．故最大值必大于1，排除B ，C ，D.
12．已知过曲线⎩
⎨⎧
x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线
PO ，倾斜角为π
4，则点P 的极坐标为 ( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
322，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，π4 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1225，π4 答案：D
解析：将曲线化成普通方程为x 29＋y 2
16＝1 (y ≥0)，与直线PO ：y ＝x 联立可得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
125，125.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到P 点的极坐
标．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1－t sin π
6，
y ＝2＋t cos π
6
(t 为参数)，则直线的倾斜角大
小是______． 答案：2
3π
14．已知直线l ：⎩⎨⎧ x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧
x ＝cos θ
y ＝1＋sin θ(θ为参数)
相切，则α＝________. 答案：0或2π
3
解析：直线l ：⎩⎨⎧
x ＝3＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝tan α(x －3)，
且过定点A (3，0)，倾斜角为α，
圆C ：⎩⎨⎧
x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.
圆心为C (0,1)，半径为r ＝1，且与x 轴相切于点O ，如图，
设过A 的直线与⊙C 切于另一点B ，由于|AC |＝(3)2＋12＝2，|OC |＝1， ∴∠OAC ＝π
6，由对称性知 ∠OAB ＝π
3，
故直线AB 的倾斜角为2π
3， 综上所述，α＝0或2π
3.
15．已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α
(α为参数)，以原点为极点，x 轴
半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________． 答案：(－1,1)，(1,1)
解析：∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1. 由⎩⎨⎧
x ＝cos α，y ＝1＋sin α
得x 2＋(y －1)2＝1. 由⎩⎨⎧ y ＝1，x 2＋(y －1)2
＝1得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝1. ∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．
16．直线⎩⎨⎧
x ＝2＋t
y ＝3t
(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1上截得的弦长为________．
答案：210
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120° (O ，P ，
A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．
解：取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρ1cos θ＝5，设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)． ∵点A 在直线ρcos θ＝5上，∴ρ0cos θ0＝5.① ∵△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°， 而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°. ∴ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②
把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为： 3ρcos(θ－30°)＝5.
18．(12分)如图已知圆的方程为x 2＋y 2＝1
2，椭圆的
方程为x 225＋y 2
16＝1，过原点的射线交圆于A ，交
椭圆于B ，过A 、B 分别作x 轴和y 轴的平行线，求所作二直线交点P 的轨迹方程．
解：设A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22cos α，2
2sin α，，B (5cos θ，4sin θ)(θ为离心角)，则所求轨迹
的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝5cos θ， ①
y ＝2
2sin α ②
由O ，A ，B 三点共线，知k OA ＝k OB ，从而得双参数θ和α的一个约束条件
为tan α＝4
5tan θ.③
由①，得tan 2
θ＝25－x 2
x 2.④
由②，得tan 2
α＝2y 2
1－2y 2.
⑤
将③式两边平方，得tan 2
α＝1625tan 2
θ.⑥
将④⑤代入⑥，化简，整理，得轨迹方程为 8x 2＋9x 2y 2－400y 2＝200.
19．(12分)说明由函数y ＝2x 的图象经过怎样的图象变换可以得到函数y ＝4x －3
＋1的图象．
解：因为y ＝4x －3＋1＝22x －6＋1，所以只需把y ＝2x 的图象经过下列变换就可以得到y ＝4x －3＋1的图象．
先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y ＝2x －6的图象； 再把横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变，得到函数＝22x －6的图象； 再把所得函数图象的横坐标不变，纵坐标向上平移1个单位即得函数y ＝4x
－3
＋1的图象．
20．(12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系．设椭圆的长轴长为10，中心为(3,0)，一个焦点在直角坐标原点； (1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；
(2)当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为640
91时，求弦所在直线的直角坐标方程．
解：(1)由已知，得到a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4. 所以，椭圆的直角坐标方程为(x －3)225＋y 2
16＝1.
由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入上式得到(ρcos θ－3)225＋(ρsin θ)2
16＝1，
即25ρ2＝(16＋3ρcos θ)2，即5ρ＝16＋3ρcos θ， 所以，椭圆的极坐标方程为ρ＝16
5－3cos θ
.
(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ，弦的两端分别为P 1(ρ1，θ)，P 2(ρ2，θ＋π)，
则有ρ1＝165－3cos θ，ρ2＝16
5＋3cos θ.
由于ρ1＋ρ2＝640
91，所以，165－3cos θ＋165＋3cos θ
＝640
91，
即
125－9cos 2 θ＝491
⇔cos 2
θ＝14⇔cos θ＝±12⇔θ＝π3或θ＝2π3. 所以，所求直线的直角坐标方程为y ＝12x 或y ＝－1
2x .
21．(12分)已知曲线⎩⎨⎧
x ＝22cos θ
y ＝2sin θ
(θ为参数)和定点P (4,1)，过P 的直线与曲
线交于A ，B 两点，若线段AB 上的点Q 使得P A PB ＝AQ
QB 成立，求动点Q 的轨迹方程．
解：设直线AB 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝4＋t cos α
y ＝1＋t sin α (t 为参数)，
点Q ，A ，B 在其上分别对应参数t ′，t 1，t 2， 将直线参数方程与已知曲线即椭圆x 2＋2y 2＝8联立， 消去x ，y ，得(1＋sin 2 α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t ＋10＝0， 则t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋sin 2
α，t 1t 2＝10
1＋sin 2 α， 又P A PB ＝AQ QB ，即t 1t 2＝t ′－t 1t 2－t ′，所以t ′＝2t 1t 2
t 1＋t 2，
即t ′＝
－5
2cos α＋sin α
，
即2t ′cos α＋t ′sin α＝－5，而t ′cos α＝x －4，t ′sin α＝y －1， 所以所求Q 点的轨迹的普通方程为2x ＋y －4＝0， 其中x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
16－2109，
16＋2109. 22．(14分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，π6，半径r ＝1，Q 点在圆C 上
运动．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若P 在线段OQ 延长线上运动，且OQ ∶QP ＝2∶3，求动点P 的轨迹方程．
解：(1)设M (ρ，θ)为圆C 上的任意一点，如
图所示，
在△OCM 中，|OC |＝3， |OM |＝ρ，|CM |＝1， ∠COM ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
θ－π6，
根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2ρ·3cos ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
θ－π6，
化简并整理，得ρ2
－6ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程．
(2)设Q (ρ1，θ1)，则有 ρ21－6ρ1
cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫θ1－π6＋8＝0.① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝2
5ρ. 又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧
ρ1＝25ρ，θ1＝θ，
代入①，得425ρ2－6·25·ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6＋8＝0，
整理，得ρ2
－15ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6＋50＝0为点P 的轨迹方程．。