2020届高考数学仿真押题卷05(陕西卷) 理 北师大版 精

2020届高考数学仿真押题卷——陕西卷（理5）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．复数1(1)z z i +=-,则z =（ ）
A ．i
B ．-i
C ．1+i
D ．1-i 2．将)0)(4
tan(>+
=ωπ
ωx y 的图像向右平移
6
π
个单位长度后，与)6tan(πω+=x y 的图像
重合，则ω的最小值为（ ） A.
61 B.4
1
C.31
D.21
3．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值范围是（ ） A ．（
13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，23
） 4．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名
学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A.18
B.24
C.30
D.36
5．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等 于（ ）
A ．30
B ．45
C ．180
D ．90
6．
（ ）
B ．
8
5
C ．
3
D ．
5
7．分别在区间]6,1[,]
4,1[内各任取一个实数依次为n m ,,则n m >的概率是（ ）
A ．0.3
B ．0.667
C ．0.7
D ．0.714
8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A.
4 B.3
4 C.4 D.
4
9．设双曲线22221y x a b
-=的一条渐近线与抛物线2
1y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心
率为( )
A.
25 B.5 C. 5
4
D.5 10．已知函数()(1)(21)(31)(1)f x x x x nx =++++L ，则'(0)f =( )
A.2
n C B.2
1n C + C.2
n A D.2
1n A +
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．平面向量(,)a x y =r ，22
(,)b x y =r ，(1,1)c =r ，(2,2)d =u r ，且1a c b d ⋅=⋅=r r r u r ，则起点在
原点的向量a r
的个数为 .
12．一个总体分为,A B 两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为
10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为
1
28
，则总体中的个体数是 . 13．已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r
= .
14．由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2
x x π
==
围成区域的面积为 .
15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A ．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点A 是曲线2sin ρθ=上任意一点，则点A 到直
线sin()43
π
ρθ+
=的距离的最小值是 .
B ．（选修4—5不等式选讲）不等式22|log ||log |x x x x -<+的解集是 .
C ．（选修4—1几何证明选讲）如右图所示,
AC 和AB 分别是圆O 的切线，且3OC =， 4AB =,延长AO 到D 点，则ABD ∆的面 积是 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16．（本题12分）已知ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(,)m a b =u r
， (sin ,sin )n B A =r ，(2,2)p b a =--u r
.
（1） 若m u r //n r
，求证：ABC ∆为等腰三角形；
（2） 若m u r ⊥p u r ，边长2c =，3
C π
∠=，求ABC ∆的面积 .
17．（本题12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民
生工程和产业建设工程三类。

这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2。

现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及
数学期望。

18．（本题12分）在几何体ABCDE 中,ABC ∆ 是等腰直角三角形,90ABC ∠=o
,BE 和CD 都垂直于平面ABC ,且22BE AB CD ===， 点F 是AE 的中点。

（1）求证：//DF 平面ABC ；
（2）求面BDF 与面ABC 所成的角余弦值. 19．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
()21n n n ba b S -=-.
（1）证明：当2b =时，{}
12n n a n --⋅是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式
20．（本题13分）已知函数3
2
()(3)x
f x x x ax b e -=+++.
（1）当3a b ==-时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，
E
F
D
C
B
A
证明：βα-＜6.
21．（本题14分）已知向量()()2,0,0,1,OA OC AB ===u u u r u u u r u u u r
动点M 到定直线1y =的距离等于
,d 并且满足()
2,OM AM k CM BM d ⋅=⋅-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
其中O 是坐标原点，k 是参数.
（1）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）当1
2
k =时，求2OM AM +u u u u r u u u u r 的最大值和最小值；
（3）如果动点M 的轨迹是圆锥曲线，其离心率e 满足
32
e ≤≤求实数k 的取值范围。

参考答案
一、选择题：
二、填空题：
14.2 15. A.
52 B. (1,)+∞ C. 48
5
三、解答题：
16．证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v
Q
即22a b
a b R R
⋅
=⋅
，其中R 是ABC ∆外接圆半径，a b = --------（5分） ABC ∴∆为等腰三角形 --------（6分）
解（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v
即，a b ab ∴+= --------（8分）
由余弦定理可知， 2
2
2
4()3a b ab a b ab =+-=+-
2()340ab ab --=即 4(1)ab ab ∴==-舍去---------（10分）
11
sin 4sin 223
S ab C π
∴=
=⋅⋅=（12分） 17．解: 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
,,,i i i A B C 1,2,3i =.由题意知123,,A A A 相互独立，123,,B B B 相互独立，123,,C C C 相互
独立，,,i j k A B C （,,1,2,3i j k =,且,,i j k 互不相同）相互独立， 且111
(),(),().236
i i i P A P B P C =
== ----------（2分） （1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P =1233!()P A B C 1236()()()P A P B P C =1111
6.2366=⨯⨯⨯=
----------（6分）（2）记第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件i D ,1,2,3i =.
123,,D D D 相互独立，且()i P D =P (i i A C +)= P (i A )+P (i C )=
12+16=23
，所以2~(3,)3
B ξ,即3321()()()3
3
k
k
k
P k C ξ-==，0,1,2,3.k = --------(10分)
故ξ的分布列是
2E ξ= -------------(12分)
18．解：（1）取AB 中点G ，连,GF CF ，可证四边形CDFG 为平行四边形. ---(5分)
（2）法一：过B 作BM 平行于CG ,则BM 为这两个平面的交线,过G 作GN BM ⊥, 垂足为N ,连结FN ,则FNG ∠为所求 二面角的一个平面角。

可求得2
cos 3
FNG ∠=
----（12分） 法二：设所求两个平面的二面角的平面角 为θ，则2
cos 3
BCG BDF S S θ=
=## 19．解：由题意知12a =，且()21n
n n ba b S -=-，()1
112
1n n n ba b S +++-=-
两式相减得()()1121n
n n n b a a b a ++--=
-，即12n
n n a ba +=+ ① （1）当2b =时，由①知122n
n n a a +=+
A
于是()()1122212n
n
n
n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()
122n n a n -=-⋅
又1
112
10n a --⋅=≠，所以{}
12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。

----（6分）
（2）当2b =时，由（1）知11
22n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+
当2b ≠时，由①得1111122222n n n n n a ba b b
+++-
⋅=+-⋅-- 22n n b ba b =-
⋅-122n n b a b ⎛⎫
=-
⋅ ⎪-⎝⎭
因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫-
⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭
()212n
b b b -=⋅- 得()121122222n n n n a b b n b -=⎧⎪=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣
⎦-⎩ --------------（12分）
20．解：（1）当3a b ==-时，3
2
()(333)x
f x x x x e -=+--，故
322'()(333)(363)x x f x x x x e x x e --=-+--++-
3
(9)x
e x x -=--(3)(3)x
x x x e
-=--+
当3x <-或03'()0;x f x <<>时， 当303'()0.x x f x -<<><或时，
从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少.----（6分）
(2)3
2
23'()(3)(36)[(6)].x
x x f x x x ax b e
x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-
由条件得：3
'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3
'()[(6)42].x
f x e x a x a -=-+-+- 因为'()'()0,f f αβ==
所以3
(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2
(2)(()).x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-
故βα-== 又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即
由此可得 6.a <-于是 6.βα-> --------------------（13分） 21．解：（1）设(),,M x y 由题设可得()()()2,0,2,1,0,1A B C
()()(),,2,,,1OM x y AM x y CM x y ∴==-=-u u u u r u u u u r u u u u r ()2,1,1BM x y d y =--=-u u u u r
，
因()
2OM AM k CM BM d ⋅=⋅-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
()()()()2
,2,,12,11x y x y k x y x y y ⎡⎤∴⋅-=-⋅----⎣⎦
即()()
22120k x x y --+=为所求轨迹方程。

---------------（2分） 当1k =时，0,y =动点M 的轨迹是一条直线； 当0k =时，2
2
20,x x y -+=动点M 的轨迹是圆；
当1k ≠时，方程可化为()2
2
11,1y x k
-+=-当1k >时，动点M 的轨迹是双曲线； 当01或0k k <<<时，动点M 的轨迹是椭圆。

-------------------（6分）
（2）当12k =时， M 的轨迹方程为()2211,12y x -+=得()2
21102,122x y x ≤≤=-- ()()2222,22,(34,3)OM AM x y x y x y +=+-=-u u u u r u u u u r Q
()2
22211349(34)9(1)22x y x x ⎡⎤=-+=-+--⎢⎥⎣⎦2
957232x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
∴当53x =时，22OM AM +u u u u r u u u u r 取最小值7
2
当0y =时，2
2OM AM +u u u u r u u u u r 取最大值16.
因此，22OM AM +u u u u r u u u u r
的最小值是2
，最大值是4. ----------------（10分）
（3
e ≤≤即1,e <此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为()22
11,1y x k
-+=- ①当01k <<时，2
2
2
1,1,1(1),a b k c k k ==-=--=2
2
2,c e k a
==
11;3232
e k ≤≤∴≤≤Q
------------------- （12分） ②当0k <时，2
2
2
1,1,(1)1,a k b c k k =-==--=-22
2,11
c k k
e a k k -==
=--
11,32312k e k ≤≤∴≤≤-Q
而0k <得，1
1.2
k -≤≤- 综上，k 的取值范围是 1111,,.232⎡
⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
U ---------------（14分）。