2022-2023学年人教版九年级上册数学期末动点问题压轴题

人教版九年级上册数学期末动点问题压轴题
1．如图所示，在Rt ABC ∆中，90,6cm,8cm,B AB BC ∠=︒==点P 由点A 出发，沿AB 方向向点B 匀速运动，速度为1cm/s ，点Q 由点B 出发，沿BC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ．如果动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，
(1)几秒后，PBQ 的面积为28cm ？
(2)是否存在这样的时刻，使PBQ 的面积等于210cm ，如果存在请求出来，如果不存在请说明理由．
(3)经过几秒，PBQ 的面积最大？并求出最大值．
2．在等边ABC 中，D 是边AC 上一动点，连接BD ，将BD 绕点D 顺时针旋转120︒，得到DE ，连接CE ．
(1)如图1，连接AE ，当B 、A 、E 三点共线时，若4AB =，求AE 的长；
(2)如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BE AF 、交于G 点，若GF DF =，请直接写出
CD BE
的值．
3．已知如图，在Rt ABC △中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，点D 为直线AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 逆时针旋转90°至BE ，连接AE 交直线BC 于点F ．
(1)如图1，若BD 平分∠ABC ，AC ＝3，求AD 的长；
(2)如图2，求证：AF ＝EF ；
(3)如图3，当123
CD CF AC ===时，M 为直线AB 上一动点，连接FM ，将EFB △沿直线FM 翻折到EFB △同一平面得E FB ''△，当线段CE '最小时，直接写出DB E ''△的面积．
4．如图，抛物线212y ax x c =-+的图象与x 轴交点为A 和B ，与y 轴交点为()0,3D ，与直线23y x =--交
点为A 和C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C 的坐标，并结合函数图象直接写出当12y y >时x 的取值范围；
(3)若点E 是x 轴上一个动点，把点E 向下平移4个单位长度得到点F ，点F 向右平移4个单位长度得到点G ，点G 向上平移4个单位长度得到点H ，若四边形EFGH 与抛物线有公共点，请直接写出点E 的横坐标E x 的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,
，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形ABCP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将二次函数23y ax bx =++的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，点M 在新抛物线上，点N 在原抛物线的对称轴上，直接写出所有使得以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．
6．如图，抛物线2y x bx c =-++经过点()3,0A ，()0,3B ，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ．设点P 的横坐标为t ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P 在第一象限，连接AM BM ，，当线段PM 最长时，求ABM 的面积；
(3)是否存在这样的点P ，使以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的
横坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数2(2)y x m =-+的图象交y 轴于点C ，点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上的点()1,0A 及点B ．
(1)求二次函数与一次函数的解析式．
(2)点P 是该抛物线上一动点，点P 从A 点沿抛物线向B 点运动（点P 不与A 、B 重合），过点P 作PD y ∥轴，PD 交直线AB 于点D ．请求出点P 在运动的过程中，线段PD 的长度的最大值以及此时点P 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q ，使15ABQ S =△，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线2y ax bx c =++经过()30A -,
、()10B ,、()0,3C -三点，直线l 是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PBC 的周长最小时，求点P 的坐标；
(3)在直线l 上是否存在点M ，使以M 、B 、C 为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交A B 、两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交于B C 、两点，其中C 点的横坐标为2-．
(1)求B C 、两点的坐标;
(2)求直线BC 的函数表达式;
(3)若P 是线段BC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值．
10．如图，抛物线²
6y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接,,,AD BD BC CD ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92
时，求D 点的坐标； (3)在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图所示，在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点D 为直线BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），连接AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，使点A 旋转到点E ，连接EC ．
操作感知：如果点D 在线段BC 上运动，过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于F ，如图所示，从而求得DCE ∠=___________︒．
猜想论证：如果点D 在线段CB 的延长线上运动，如图所示，以上结论是否依然成立，并说明理由． 拓展应用：连接BE ，当点D 在直线BC 上运动时，若2AB =，则BE 的最小值为 ___________．
12．抛物线2y ax c =+与x 轴交于()()6,0,2,0A C -两点，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点为点D ，对称轴交线段AB 于点E ，交x 轴于点F ．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如图 1，点P 是直线AB 下方抛物线上一动点，连接,PE PB ，求PBE △的最大面积及此时点P 的坐标；
(3)如图 2，点M 是直线CD 上一点，点N 是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N ，使得以点B 、E 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且()4,2B ，E 为直线AC 上一动点，连OE ，过E 作GF OE ⊥，交直线BC 、直线OA 于点F 、G ，连OF ．
(1)求直线AC 的解析式．
(2)当E 为AC 中点时，
①求CF 的长．
②在x 轴上是否存在点H ，使BH EH +的值最小，若存在，直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由．
(3)在点E 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、O 、G 、F 为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P 的横坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，F 为线段DE 上一动点（不与点D ，E 重合）
，将线段AF 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC FB FG EG FG ，，，，交AE 于点H ．
(1)证明：BF CG =；
(2)①当点F 运动到什么位置时，四边形AFEG 是正方形？请你说明理由；
②当BAF BFD ∠=∠时，求证：点B F G 、、三点共线．
15．已知O 的直径AB 为10，D 为O 上一动点（不与A 、B 重合），连接AD BD 、．
(1)如图1，若8AD =，求BD 的值；
(2)如图2，弦DC 平分ADB ∠，过点A 作AE CD ⊥于点E ，连接BE ．
①当90DBE ∠=︒时，求BE 的值；
②在点D 的运动过程中，BE 的值是否存在最小值？若存在，求BE 的最小值；若不存在，请说明理由．
16．如图，A B C D 、、、为矩形的四个顶点，16cm AB =，6cm AD =，动点P Q 、分别从点,A C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2cm/s 的速度向D 移动．
(1)P Q 、两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为236cm ？
(2)P Q 、两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是？
(3)P Q 、两点从出发开始到几秒时，点P Q D 、、组成的三角形是等腰三角形？
17．如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B （点B 在点A 右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线ED 平行y 轴交x 轴于点D ，交抛物线于点E ，求ME 长的最大值及此时点M 的坐标；
(3)在（2）的条件下：当ME 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点M 、点B 、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30AC =cm ，21BC =cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，如果点P ，Q 的运动速度均为1cm/s ．
(1)设点Q 、点P 运动时间为ts ，则CP =_______cm ，BQ =_______cm ．
(2)点P 、点Q 运动几秒时，它们相距15cm ？
(3)OCQ △的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
参考答案：
1．(1)2s 或4s
(2)不存在不可能，
(3)经过3秒，PBQ 的面积最大，最大面积为9cm 2
2．(1)2AE =； (2)1
2DF AD =，
(3)CD BE =
3．(1)6-
(3)12
4．(1)223y x x =--+
(2)32x -<<
(3)51E x -<<
5．(1)2y 23x x =--+
(2)存在 P （315
24-，）
(3)11-（，），131--（，），11--（，）
6．(1)223y x x =-++ (2)27
8ABM S =△
(3)存在，点P
7．(1)243y x x =-+，1y x =-
(2)PD 最大值为94，53,24P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(3)()6,15Q 或()1,8-
8．(1)223y x x =+-
(2)()12--，
(3)213，或813
，或()12--，或()1，1--
9．(1)(3,0)B ，(2,5)C --
(2)3y x =- (3)PE 的长度最大值为
254 10．(1)33²642y x x =-- (2)153,4D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
(3)1514⎛⎫ ⎪⎝
⎭或1514⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭
11．操作感知：135；猜想论证：结论不成立，理由见解析过程；拓展应用：BE
12．(1)24
y x =-
(2)P 的坐标为3,4⎛- ⎝⎭
；
(3)(4-或(4-或(4,-或(-
13．(1)122
y x =-
+
(2)存在，点8(,0)3H
(3)存在，4或32
-1
14(2)①F 运动到线段EF 的中点，
15．(1)6
(2)①
16．(1)P Q 、两点从出发开始到4秒时，四边形PBCQ 的面积为236cm
(2)P Q 、两点从出发开始到2秒或
225秒时，点P 和点Q 的距离是
(3)经过2秒时，点P Q D 、、组成的三角形是等腰三角形
17．(1)2=23y x x -- (2)94，3(2，3)2
(3)存在，点P 的坐标为(0,0)或0⎫⎪⎪⎝⎭或3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭或0⎫⎪⎪⎝
⎭
18．(1)t ；t
(2)9秒或12秒
(3)不能，。