激光原理第二章答案

第二章开放式光腔与高斯光束
1.证明如图所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为
1 2
1 0
η
η
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦。

证明：设入射光线坐标参数为
11
,rθ，出射光线坐标参数为
22
,rθ，根据几何关系可知211122
,sin sin
r rηθηθ
==傍轴光线sinθθ则
1122
ηθηθ
=，写成矩阵形式
21
21
1
2
1 0
r r
θθ
η
η
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
得证
2.证明光线通过图所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为
1
2
1
0 1
d
η
η
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦。

证明：设入射光线坐标参数为
11
,rθ，出射光线坐标参数为
22
,rθ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。

根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得
21
21
21
12
1 0 1 0
1
0 0
0 1
r r
d
θθ
ηη
ηη
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
化简后21
21
1
2
1
0 1
d
r r
θθ
η
η
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
得证。

、
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，则有
~
12R R L ==
将上式代入计算得往返矩阵
()
()()1
2
101
0110101n n
n
n n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。

于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中1212
11,1L L
g g R R =--
=- [
对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。

则122
1,1L
g g R ==-
，再根据稳定性条件
1201g g <<可得2
2011L
R R L <-
<>⇒。

对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则1212
1,1L L
g g R R =-
=-,根据稳定性条件1201g g << 可得11
221
212010 01 1R L R L R L R L R R L L R R L
<<⎧>⎧⎪<<⎨⎨>⎛⎫⎛⎫<--<⇒ ⎪⎩⎪+> ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 或。

121
01
01122110101A B L L T C D R
R ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1001T -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
对凹凸共轴球面镜腔有，120,0R R ><则1212
1,1,0L L g g R R =-
=>-根据稳定性条件1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ⎛⎫⎛⎫
<--<⇒ ⎪⎪⎝⎭+⎝><⎭
⎧⎨⎩。

5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η=
当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。

设此时的等效腔长为L '，则光在腔先经历自由传播横向距离1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l ，则
|
所以等效腔长等于 21()l
l
L l l L l η
η
'=+
+=-+
再利用稳定性条件
由(1)解出 2m 1m L '>> 则
!
所以得到：
011 1 (1)
21L L ''⎛
⎫⎛⎫<-+< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭1
0.5(1)0.171.52
L L L ''=+⨯-
=+212
11011101110010100101101L l l l l l l ηηη⎡⎤
'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
++⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1.17m<
2.17m L <
6. 图所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。

图示环形腔为非共轴球面镜腔。

在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2F R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，
/(2cos )F R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。

图
|
解：
222221
01
0112110101114421322
21A B l l C D F
F l l l l F F F l l F l
F ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤-+-
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥--
⎢⎥⎣⎦
()221312l l A D F F
+=-+ 稳定条件 223111l l
F F
-<-+<
左边有 22
320210l l
F F
l l F F -+>⎛⎫⎛⎫
--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
所以有21l l F F ><或
对子午线： 对弧矢线： 对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得
cos 2
R F θ=子午2cos R F θ
=弧矢
子午光线 弧矢光线。

任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得
7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L =30cm ，方形孔边长20.12cm d a ==，λ=632.8nm ，镜的反射率为121,0.96r r ==，其他的损耗以每程估计。

此激光器能否作单模运转如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM 模，小孔的边长应为多大试根据图2.5.5作一个大略的估计。

氦氖增益由公式
估算（l 为放电管长度，假设l L ≈）
解：01TEM 模为第一高阶横模，并且假定00TEM 和01TEM 模的小信号增益系数相同，用0
g
表示。

要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式
根据已知条件求出腔的菲涅耳数
)
由图2.5.5可查得00TEM 和01TEM 模的单程衍射损耗为
氦氖增益由公式
计算。

代入已知条件有0e
1.075g l
=。

将0
e g l 、00δ、01δ、1r 和2r 的值代入I 、II
式，两式的
R R <<
>
或923
R R <<>
或2R R <<>或0
4
e 1310g l l
d
-=+
⨯00
0001e
0.003) 1 I
e 0.003) 1 II
g g δδ-->--<22
7
0.06 1.930632.810
a N L λ-===⨯⨯8.37006
011010δδ--≈≈0
4
e 1310g l L d
-=+⨯
左端均近似等于，由此可见式II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。

若满足II 式的条件，则要求
010.047δ>
…
根据图2.5.5可以查出对应于01δ的腔菲涅耳数 '0.90N < 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长
220.83mm a ==
同理利满足I 式的条件可得20.7mm a >
因此，只要选择小孔阑的边长满足0.720.83mm mm a <<即可实现00TEM 模单模振荡。

8．试求出方形镜共焦腔面上30TEM 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗 解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的30TEM 模的场分布可以写成
~
令X =，则I 式可以写成
()22
(/)
30303(,)H e
x y L v x y C X λπ+-
=
式中()3H X 为厄米多项式，其值为
()33H 8-12X X X =
由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令()3H 0X =，得
1230;X X X ===
考虑到0s ω=
所以，30TEM 模在腔面上有三条节线，其x 坐标位置分别在0
和0s /2处，节线之间
0s /2；而沿y 方向没有节线分布。

22
(/)
30303(,)H e I x y
L v x y C λπ+-⎫=⎪⎪
⎭
120s 30s 0;;22
x x x ==
=-
】
9. 求圆形镜共焦腔20TEM 和02TEM 模在镜面上光斑的节线位置。

解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式
()⎩
⎨
⎧⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-
ϕϕ
ωωϕυωm m e
r L r C r s
r s n m m
s mn mn sin cos 22,2
02
202
0 对于mn TEM ，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m 为零时，只能选余弦，否则无意义
对于20TEM ：()⎩
⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-
ϕϕ
ωωϕυω2sin 2cos 22,202
202
202
02020s
r s s e
r L r C r 并且122022
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛s r L ω，代入上式，得到
()⎩
⎨⎧⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-
ϕϕ
ωϕυω2sin 2cos 2,202
2
02020s
r s e r C r ， 取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取()02cos 2,202
2
02020=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-ϕωϕυωs
r s e r C r ，就能
求出镜面上节线的位置。

即
4
3,4
02cos 21πϕπ
ϕϕ=
=
⇒=
~
同理，对于02TEM ，
()2
02
202202020220202000202222,s s
r s r s s e r L C e r L r C r ωωωωωϕυ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 404
2022020
2
2412s s s r r r L ωωω+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，代入上式并使光波场为零，得到
()02412,2
02
404
2020
00202=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-
s
r s s s e
r r r C r ωωωωϕυ
显然，只要02412404
2022020
2
=+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛s s s r r r L ωωω即满足上式
镜面上节线圆的半径分别为：
s s r r 02012
21,221ωω-=+
= 10. 今有一球面腔，1 1.5m R =，21m R =-，80cm L =。

试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：该球面腔的g 参数为
*
由此，120.85g g =，满足谐振腔的稳定性条件1201g g <<，因此，该腔为稳定腔。

由稳定腔与共焦腔等价条件
2111222221()
()f R z z f R z z L z z ⎧=-+⎪⎪
⎪⎪
=++⎨⎪
⎪=-⎪⎪⎩
和120111L L R R ⎛⎫⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 可得两反射镜距离等效共焦腔中心O 点的距离和等价共焦腔的焦距分别为
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

#
16．某高斯光束腰斑大小为0ω=1.14mm ，=10.6μm λ。

求与束腰相距30cm 、10m 、1000m 远处的光斑半径ω及波前曲率半径R 。

117
115
L g R =-
=22
1 1.8L
g R =-
=121.31m 0.51m 0.50m
z z f =-=-=
等价共焦腔
解：入射高斯光束的共焦参数
根据
…
求得：
17．若已知某高斯光束
之
ω=0.3mm ，
=632.8nm λ。

求束腰处的q 参数值，与束腰相距30cm 处的q 参数值，以及在与束腰相距无限远
处的q 值。

解：入射高斯光束的共焦参数
]
根据0()q z z q z if =+=+，可得
束腰处的q 参数为：(0)44.7cm q i =
与束腰相距30cm 处的q 参数为：(30)(3044.7)cm q i =+ 与束腰相距无穷远处的q 参数为：e m R (),I ()44.7cm q q →∞=
21．某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。

今用F =2cm 的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m 、1m 、10cm 、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。

解：入射高斯光束的共焦参数
设入射高斯光束的q 参数为1q ，像高斯光束的q 参数为2q ，根据ABCD 法则可知
200.385m
f πωλ
==2
(z)=()f R z z z
ωω=+
2044.7cm
f πωλ
==200.427m
f πωλ
==
12111q q F
-= ~
其中 1q l if =+ l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；2q l if ''=-+
l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。

2200
f f πωπωλλ
''==
1
21
Fq q F q =
- 利用以上关系可得
从上面的结果可以看出，由于f 远大于F ，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。

22．2CO 激光器输出光=10.6μm λ，0ω=3mm ，用一F =2cm 的凸透镜距角，求欲得到'
0μm ω=20及μm 2.5时透镜应放在什么位置。

解：入射高斯光束的共焦参数
?
设入射高斯光束的q 参数为1q ，像高斯光束的q 参数为2q ，根据ABCD 法则可知
12111q q F
-= 其中 1q l if =+ l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；2q l if ''=-+
l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。

2200
f f πωπωλλ
''== 1
21
Fq q F q =
- 利用以上关系可得 020μm ω'=时， 1.39m l =，即将透镜放在距束腰1.39m 处；
20 2.67m
f πωλ
==
0 2.5μm ω'=时，23.87m l =，即将透镜放在距束腰23.87m 处。

23．如图光学系统，如射光=10.6μm λ，求"
0ω及3l 。

—
图
解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置 由于11l F =，所以
"
11l F '==2cm
所以对第二个透镜，有
213cm l l l '=-=
已知20.05m F =，根据
12111
q q F
-= 其中 1q l if =+ l f 和分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；2q l if ''=-+
l f ''和分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。

2200
f f πωπωλλ
''== 得
cm
2=ωcm
F 2=cm
F 52=00
22.49μm F λ
ωπω'=
=240 1.49910m
f πωλ
-'==⨯
014.06μm ω''=，38.12cm l =
24．某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。

今用一望远镜将其准直。

主镜用镀金反射镜R =1m ，口径为20cm ；副镜为一锗透镜，1F =2.5cm ，口径为1.5cm ；高斯束腰与透镜相距l =1m ，如图所示。

求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

`
图
解：入射高斯光束的共焦参数为
|
由于1F 远远的小于l ，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为
这样可以得到在主镜上面的光斑半径为
即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。

这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为
200.427m
f πωλ
=
=00
0.028mm
ωω'==0()6cm 10cm R R λ
ωπω'≈
=<
'
50.9
M ==
2
01
2ln(
)P a A P P πλ
=
-·
25．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f 的实验原理及步骤。

解： 一、实验原理
通过放在离光腰的距离为z 的小孔(半径为a )的基模光功率为
(I)
式中，0P 为总的光功率，()P z 为通过小孔的光功率。

记1()P P z =，则有
(II)
：
注意到对基模高斯光束有
在(II)式的两端同时乘以/πλ，则有
令
(III)
则
解此关于f 的二次方程，得
@
因为a 、0P 、1P 、z 都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f 。

2
22()
0()(1e
)a z P z P ω-
=-2
2
001
2()ln()a z P P P ω=
-222
0(),z z f f f πωπωλλ=+=22001
2ln()
z P a f P P f πλ+=-2
z f A
f
+
=2A f =
二、实验步骤
1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B 处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a )，用卷尺测量出B 到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z ；
2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率1P ； 3．移走光阑，量出高斯光束的总功率0P ；
4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f (根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。

28. 试用自变换公式的定义式()0q l l q c c ==（2.12.2），利用q 参数来推导出自变换条件式
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=220121
l l F λπω 证明：
设高斯光束腰斑的q 参数为λ
πω2
00i if q ==，腰斑到透镜的距离为l ，透镜前表面和
后表面的q 参数分别为1q 、2q ，经过透镜后的焦斑处q 参数用c q 表示，焦斑到透镜的距离是c l =l ，透镜的焦距为F 。

根据q 参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q 参数，分别是： 透镜前表面：l q q +=01 透镜后表面：
F
q q 11112-= 焦斑的位置：c c l q q +=2 把经过变换的1
1
2q F Fq q -=
代入到焦斑位置的q 参数公式，并根据自再现的条件，得到：
⎪
⎪⎪⎭⎪⎪
⎪⎬⎫
+=====+-=
+=l q q i if q q l l l q F Fq l q q c c c c c 012
001
12λ
πω可得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=220
121l l F λπω 31.试计算11R m =，0.25L m =，1 2.5a cm =，21a cm =的虚共焦腔的单程ξ和
往返
ξ.
若想保持1a 不变并从凹面镜1M 端单端输出，应如何选择2a 反之，若想保持2a 不变并从凸面镜
2M 输出，1a 如何选择在这两种单端输出条件下，单程ξ和往返ξ各为多大题中1a 为镜1M 的横截面
半径，1R 为其曲率半径。

解：（1）镜1M 的单程放大率为1
11
1a m a '=
= 镜2M 的单程放大率为21122220.520.50.25
a R F m a R F '=====- 所以12M m m = 1112单程M ξ=-= 21314
往返M ξ=-=
（2）要从镜1M 单端输出，则要求镜1M 反射的光全部被镜2M 反射，由于镜1M 反射的光
为平行光，所以要求21
1 2.5a a a cm '>== （3）要从镜2M 单端输出，则要求镜2M 反射的光全部被镜1M 反射，所以要求
12
222a a m a cm '>== （4）单程ξ和往返ξ不变'。