差分方程灰色DEGM(2,1)模型的优化及应用

DOI: 10.13546/ki.tjyjc.2020.13.012
(理论探讨1
差分方程灰色DEGM(2，1)模型的优化及应用
曹邦兴
(广州大学松田学院，广州511370)
摘要：传统灰色G M(2，1)模型从差分方程到微分方程的跨越，缺乏充分的科学基础，也会因两种结构间的 转换带来额外误差。

文章引入差分方程D E G M(2，1)模型，该模型的定义、参数估计、拟合值生成，全部使用差分 方程完成，避免了 G M(2，1)模型的转换问题。

为解决初始值数据对拟合精度的不利影响，采用一种反向修正方 法，给D E G M(2，1)模型的两个迭代初始值各增加一个修正参数，通过修正参数来反向抵消初始值带来的偏差。

结果表明，改进后的D E G M(2，1)模型，单个数据的最大相对误差和整体数据的平均绝对误差，都明显小于传统
G M(2，1)模型。

关键词：差分方程;灰色D E G M(2,1)模型；初始值;拟合精度;反向修正
中图分类号:〇29文献标识码：A文章编号：1002-6487(2020)13-0057-04
〇引言
灰色G M(2，1)模型作为灰色预测理论的基本模型之 一，已经获得十分广泛的应用'研究人员也对其进行了大 量的改进、扩展124。

但关于灰色G M(2，1)模型的争论一直 存在，争议的焦点在于模型由差分方程定义、参数估计也 依赖差分方程实现，但时间响应序列、拟合值等却是依靠 连续的二阶微分方程来求解,从差分方程到微分方程的跨 越，缺乏充分的科学基础，也会因两种结构间的转换带来额 外误差。

本文引人差分方程D E G M(2，1)模型，该模型的定 义、参数估计、拟合值生成，全部使用差分方程完成，避免了G M(2，1)模型的转换问题。

此外，G M(2,1)模型的初始值 条件是原始数据序列中最早也就是“最旧”的数据信息，以此为基础建立的模型,拟合精度会过多地依赖于初始值条 件,初始值的微小变动就可能引起预测值的很大变化，对拟 合精度造成不利影响|61,故本文考虑采用一种反向修正方 法，给D E G M(2,1)模型的两个迭代初始值各增加一个修正 参数，通过修正参数反向抵消初始值带来的预测偏差。

1差分方程D E G M(2,1)模型
1.1D E G M(2,1)模型的定义
定义1:设有长度为《的原始非负数据序列：
作者简介：曹邦兴（1966—），男，重庆人，硕士，讲师，研究方向：应用数学、数理统计。

Forecast M odel o f Ecological E conom ic Warning Degree Based on
Gray Theory and Its Applications
Liu C h a o1,Li J u n1,F u Dezhi2
(l.College of C o m p u t e r Information and Engineering, Jiangxi N o r m a l University, N a n c h a n g330027,China;
2.W u h a n W i n d o o r Information &T e c h nology Co., L t d..W u h a n430040,China)
Abstract:B e c a u s e the development expectation of the e c o n o m i c a n d social field is multi-objective, the quantitative calcula­tion of alarm degree b e c o m e s the core task of early warning, a n d determines its reliability. For the yellow warning index strategy, if the alarm m e a s u r e m e n t extrapolation paradigm is used, the alarm quantification calculation includes the two aspects of m e a­surement (evaluation) a n d prediction. Starting from the purpose of early warning a n d its technical flow, this p a per accords to the alarm efficiency a n d prediction theory method, and puts forward the alarm prediction system structure a n d alarm m e a s u r e m e n t b e n c h m a r k selection strategy. T h e n the paper constructs the m e t h o d of measuring alertness gray correlation a n d predicting adjust­able grey G M(1,1) timing sequence, expounding the m e c h a n i s m a n d process algorithm of alarm prediction a n d regulation. Finally, the paper takes the prediction of regional ecological e c o n o m i c d e v e l opment alarm as an application e x a m p l e to establish the alarm prediction model, a n d applies the regulation m e c h a n i s m a n d process algorithm to practice, so as to test the validity a n d a p­plicability of the prediction model.
Key words:time series prediction; grey theory; alarm degree calculation; ecological e c o n o m y
统计与决策2020年第13期•总第553期 57
{m W m n)
)= (，⑴，A2)，._.，，(")）
其一次累加生成序列尤(〇为尤(1)=(x(1)(l)，x(1)(2)，…，A：⑴(/!))
其中，尤⑴⑷=2^(°)(〇, A:= 1，2，…，《。

1=1
则称：
x(”(i+ 1)= 〇1.义(丨)⑷+夕-x⑴(众-l)+y(1)
为差分方程形式的二阶单变量灰色模型(Two Order Single Variable Grey Model Based on Difference Equation, D E G M(2,1)模型)，其中参数组a、#、>•由一次累加生成序 列确定。

与传统G M(2，1)模型的区别在于，D E G M(2，1)模型是直接由差分方程来定义的，是一个典型的二阶常系 数线性非齐次差分方程，参数组《、A、7可以通过定理1来计算。

定理1:设义(<>)、义(1)如定义1所述，々=[«,#，)^为参数组构成的列矩阵(简称为参数列），且：
、(|)⑴/)(0) 1》)(2)
B=xW(2)x0)(l)1，y=x W⑶
y%-i)x('\n-2)1x(%)—
则灰色D E G M(2,1)模型；c W(;l+ l)= a.x0)()t)+^/)
1)+ y的最小二乘估计参数列满足：
fj= p =^B tb)~'b t Y(2) y\
定理1的证明参考文献[6,7]。

1.2 DEGM(2,1)模型的求解
当原始数据序列尤(<>)=(^⑴，/\2)，…为已 知，D E G M P,1)模型的《、A、y值可以由式⑵计算出来，再代人l)+ y 中，D E G M(2, 1)模型变成一个典型的二阶差分方程,拟合值序列义(1)可 以由二阶差分方程的解直接得出，而不需要像传统灰色 G M(2，1)模型那样，建立差分方程A(1)/V)+ «■/>)+v•
w后，要再转换到微分方程,依靠连续二阶微分方
程+ M.<+ v•= w的解来构造时间响应序列'
d r at
之后再得到原始数据序列的拟合值及预测值。

下面用解二阶差分方程的思路求解原始数据序列的 预测值序列龙(1)。

定理2:设有离散灰色D E G M(2，1)模型;c(1)(/f c+丨)=a■#⑷+ 其中《、象y为已知实常数，则：
(1)当特征方程= 0有两个不相等的实根 /V A时，D E G M(2,1)模型的通解为；E(1>⑷=Cl.p f+C2./^ ,其中任意常数c,、c r2由初始值条件iW(l)=/°⑴和 i(1)(2) = #(<>)⑴ + A2))确定,下同；
(2)当特征方程p2-a p-y?=0有两个相等的实根 巧=巧时，D E G M(2,1)模型的通解为 i(l>(；t)= c,.p f+ c 2 i
P\+ -
y
\-a-p '
(3)当特征方程p2-a_p-#=0有一对共轭复根巧=m+ »■.n，/>2=m—厂n时，DEGM(2,型的通解为：
(m2+n2)k■arcsin-
k(
\
F•COS k•a r c c o s----—------
4m2+ n2^
n+ . y…
+ c2-
l-a-fi(3)
•Jm2+ n\
如果1-a-y?=0而p O ,则D E G M(2，1)模型的解无法
定理2的证明参考文献[8]。

虽然理论上分析1-«-^= 0而)^0的情况是有可能存在的，但从应用实例来看，绝大多数情况都是定理2中的情形（1),下文的实例分析也是具有两个不相等实根这 种情形。

2 D E G M(2,1)横型的优化
2.1初始值条件的反向修正
从上文的分析知道，D E G M(2，1)模型的初始值条件为#(1)=，(1)和iW(2) =去(/^+”⑵)，模型是以此为基础来进行拟合与预测的。

其中的x(〇\2)是原始数据序列•••,/%))中最早也就是“最旧”的两个数据信息，以此为基础建立的模型,拟合精 度会过多地依赖于初始值条件，初始值的微小变动就可能 引起预测值的很大变化，对拟合精度造成不利影响161,故考 虑采用一种反向修正方法，给D E G M(2，1)模型的两个迭代 初始值各增加一个修正参数，将初始值条件改变为i0)(l):=i(°(l)+ ai(°(2):=；e(°(2) + A，即 #(1) =;c(<>)(1)+ a/)
整理后得到：
i0)(l)=/)(l)+ a
/>(2) = 1[,>^(〇，(2)]4«+ />⑶
式（3)即为修正后的初始值条件，f l、6为反向修正 参数，通过修正参数来反向抵消初始值带来的预测偏差。

2.2反向修正参数的计算
D E G M(2，1)模型的应用实例绝大多数情况都是具有两 个不相等实根这种情形，将修正后的初始值条件式(3)代人D G M(2,1)模型通解 ⑷=c,乂+c2乂+ \_l_p 中，并记”=!一二芦，得到一个W c,、c2为未量:但•§•有S
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i m W W W )
向修正参数a 、6的二元一次方程组：
Ci'Pi +c 2-p 2 +W
)(l )+
a cx p ]+c 1-p \ + rj = ^x <!'\\)+x ''>\2)(〇)/
+ ^a + b
⑷
解此方程组，得到满足初始值条件的任意常数C |、c 2值为：
/)(1)+/)(2)]+/?2[»;-/丨(1)
1-2/>2
C2 =
P ]~P \P 1
/)(l )+/)(2)]+p ,["-/)(l )
•f l + _
P l ~P\Pl
简记为：
1-2/7, 1 ,C j = A h —— a + — 'b
p
\-P \P t .
1-2A
1
2{p I -P \P i )
p
\-P \P i
,b
c 2 =e +
2K l -2p :
K (5)
(6)
2T a + Y b
D E G M (2,1)模型的通解为：
x (0(A :) = cx -p \+c 2-p k 2 + r ]={\+1 2^2 -a + ^-b \p \
{ 1 - 2/7 J 1
^'P k
7{{\-2p 2)p \ , (1-2^^
2K IT
a-¥p \p \T + T
简记为:
■b +(^p \+e p \+ri )
(7)
(k ) = T-a + Sb-\-co
(8)
最小二乘法拟合误差为
(1)/
，再
将式（3)的初始值条件整理为*(1)⑴-;c W (l ) = ai (1)(2)-xW (2) = j a + i >,与式（8) — 起代人
/从)
Z
k =V ~
中，得:
(0/
S =a 2 + [^a + b^j x 0)(A ：)-x (1)(A :)
r a + 3 • b + co -x ^\k )
4
a +a
b + b
(9)
要使最小二乘拟合误差S 最小，应满足
〇，S = 〇，即：
營
=發+ 2r •
t • a + d ■ b -x X \k ^=0
箸= a + 2b + 2d .Y z -a + S b + c o -x
= 0
整理后得到一个以反向修正参数f l 、为变量的二元
一次方程组：
2r 2(«-2) + -| -a + [2r ^(/z -2) +1]-6 +2J [2zS(n-2) + \]a^[2S2(n-2) + 2]b^2r c o («
- 2) - 2r . Z j c ⑴⑷• *=3 .
2d 〇)(n -2)-2S- ^x'\k)
i=3
.
解此二元一次方程组，即得到反向修正参数f l 、A 的 值。

2.3 DEGM (2,1)模型的还原值
将反向修正参数f l 、6的值代人式(6)中，得到由修正 项优化后的c ,、c 2值，由D E G M (2，1)模型的通解支(V ：) = C l .pf + c 2 ^
,
即得到一次累加生成序
列
的模拟
值
序
列
；P =
p (1)⑴，i (1)(2), • •.，,
再得到原始数据序列的还原值
序列；e (°) = (V °)(l )，i (°)(2)，…，，⑷)，其中：
;E (〇>(;t )=，⑷-/)(*- 1)，A ： = 3，4,
(10)
式（10)中，当3S H /*时，产⑷为模型的拟合值U
为已知原始数据序列的数据个数），当々>〃时，无(<))〇〇为 模型的最终预测值。

3
横型应用
表1中的原始数据序列为历年上海市金融机构各项 存款余额，摘自历年《上海市国民经济和社会发展统计公
报》。

用传统G M (2，1)模型对2009—2018年的数据进行拟 合，再用上面介绍的本文改进差分方程D E G M (2，1)模型求 出反向修正参数a 、f c ,并求出修正项优化后的q 、c 2 值,重新对2009—2018年的数据进行拟合,将传统G M (2,1)
模型和改进差分方程D E G M (2，1)模型的拟合结果对比，结 果如表1所示。

表1
两种横型对原始数据序列的拟合值和相对误差
传统GM (2，1觸型
改进差分方程DEGM (2，1觸型
年份原始数据
x (〇)(千亿元）
拟合值
(千亿元）
误差 (千亿元)相对误差(%)
拟合值支((>) (千亿元)）误差
(千亿元)
相对
误差
(%)
200730.32200835.59200944.6243.43-1.19-2.6746.07+ 1.45+ 3.25201052.1949.52-2.67-5.1253.30+ 1.11+ 2.13201158.1956.39-1.80-3.0957.68-0.51-0.87201263.5662.77-0.79-1.2465.55+ 1.99+ 3.13201369.2671.70+ 2.44+ 3.5267.49-1.77-2.56201473.8879.96+ 6.08+ 8.2375.62+ 1.74+ 2.362015103.7692.92-10.84-10.4597.65-6.11-5.892016110.51107.01-3.50-3.17110.99+ 0.48+ 0.432017112.46117.61+ 5.15+ 4.58109.95-2.51-2.232018
121.11
125.42
+ 4.31
+ 3.56
118.11
-3.00
-2.48
观察表1中的结果发现，本文改进差分方程D E G M (2,
1)模型对十年数据的拟合值，最大相对误差为5.89%，明显 小于传统G M (2，1)模型的最大相对误差10.45%;再观察平 均绝对误差(M A P E ,它能够反映某个模型的整体误差情 况),M A P E (%)定义为：
M A P E (%)=丄玄
x {〇)(k )-x (〇\k )
X
100%
通过表1计算得出，改进差分方程D E G M (2，1)模型的
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M A P E (%)=2.533%，传统G M (2，1)模型的 M A P E (%)=4.563%，
说明改进差分方程D E G M (2，1)模型的整体拟合精度也高 于传统G M (2，1)模型。

将原始数据及两种模型的拟合值绘制在图1中，可以 更加直观地看出两种模型的“拟合”程度。

年份
图1两种模型预测结果对比
4结束语
本文引人差分方程D E G M (2，1)模型，该模型的定义、
参数估计、拟合值生成，全部使用二阶常系数非齐次线性 差分方程完成，避免传统了 G M (2，1)模型从差分方程到微 分方程的转换，既解决了理论一致性问题，也消除了转换 带来的预测误差;此外，传统G M (2，1)模型使用原始数据序 列中“最旧”的数据信息为作为初始值条件，初始值的微小
变动就可能引起预测值的很大变化，对拟合精度造成不利影响，为避免这种情况，本文采用了一种反向修正方法，给
D E G M (2，1)模型的两个迭代初始值各增加一个修正参数，通过修正参数来反向抵消初始值带来的拟合偏差。

最后的实证分析表明，改进差分方程D E G M (2，1)模型的拟合精度优于传统G M (2，1)模型，是对丰富灰色预测理论进行的一种有益尝试。

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[8] 周义仓，曹慧，肖燕娓.差分方程及其应用[M].北京：科学出版社， 2014.
(责任编辑/浩天）
O ptim ization and Application o f Grey DEGM (2,1) M odel o f Difference Equation
Cao Bangxing
(Guangzhou University Sontan College , Guangzhou 511370, China )
Abstract ：The traditional grey G M (2,1) jumping from difference t o differential equation lacks sufficient scientific basis , and will also give rise to additional errors due to the transformation between the two structures . This paper introduces the D E G M (2,1) model of difference equation , whose definition , parameter estimation and f i t t i n g value generation of G M (2,1) model are a l l com ­pleted by using difference equation , avoiding the conversion problem of G M (2,1) model . In order to solve the adverse effect of the i n i t i a l value data on the f i t t i n g accuracy , this paper adopts a reverse correction method to add a correction parameter to each of the i n i t i a l values of two iterations of the D E G M (2,1) model , so as t o reversely offset the deviation from the i n i t i a l value by modify ­ing the parameters . The results show that the maximum relative error of the single data and the average absolute error of the whole data in the improved D E G M (2,1) model are significantly smaller than in the traditional G M (2,1) model .
Ke y words ： difference equation ; grey D E G M (2,1) model ; i n i t i a l value ; f i t t i n g precision ; reverse correction
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