高中物理 万有引力定律的应用学案教科版必修

第3节 万有引力定律的应用
[导学目标] 1.了解重力等于万有引力的条件.2.会用万有引力定律求中心天体的质量.3.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量．
行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期和向心加速度 行星绕太阳的运动可以简化为________运动，做圆周运动的向心力由________________提供，则：
1．由G Mm r 2＝m v
2
r 可得：v ＝________，r 越大，v______；
2．由G Mm r 2＝mω2
r 可得：ω＝________，r 越大，ω______；
3．由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2
r 可得：T ＝______，r 越大，T____；
4．由G Mm
r 2＝ma 向可得：a 向＝______，r 越大，a 向______；
说明 ①式中G 是比例系数，与太阳和行星______； ②太阳与行星间引力的方向沿着________________； ③万有引力定律F ＝G Mm
r
2也适用于地球和某卫星之间.
一、重力与万有引力的关系 [问题情境]
在地球表面上的物体所受的万有引力F 可以分解成物体所受到的重力G 和随地球自转而做圆周运动的向心力F′，如图1所示．其中F ＝G Mm R
2，而F′＝mrω2
.
图1
根据图请分析以下三个问题．
(1)当物体在赤道上时，向心力和重力的大小如何？ (2)当物体在两极的极点时，向心力和重力的大小如何？
(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力和重力的大小如何变化？
[要点提炼]
1．无论如何，都不能说重力就是地球对物体的万有引力．但是，重力和万有引力的差值并不大．所以，在不考查地球自转的情况下，一般将在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，mg ＝G Mm R
2，即GM ＝gR 2
.
2．在地球表面，重力加速度随纬度的增大而增大．在地球上空，重力加速度随高度的增大而减小．
3．重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极时，重力的方向才指向地心．
[即学即用]
1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A ．物体在赤道处受的地球引力等于在两极处受到的地球引力，而重力小于两极处的重力
B ．赤道处的角速度比南纬30°的大
C ．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处的大
D ．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T 1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T 2，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T 1和T 2之比为( )
A. pq 3
B. 1pq 3
C.
p
q
3
D.
q 3
p
3．某人在一星球上以速率v 竖直上抛一物体，经时间t 落回手中．已知该星球半径为R ，则至少以多大速度围绕星球表面运动，物体才能不落回该星球( )
A.vt
R B. 2vR
t C.vR
t
D.
vR 2t
二、计算天体质量 [问题情境]
请同学们阅读教材，思考并回答下面4个问题：
1．天体实际做什么运动？而我们通常可以认为做什么运动？描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
2．根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？
3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，求解天体的质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？
4．应用上面的方法能否求出环绕天体的质量？
[要点提炼]
应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：一种是知道这个天体表面的重力加速度，根据公式M ＝gR
2
G 求解；另一种方法是知道这个天体的一颗行星(或卫星)运动的周期T
和半径r ，利用公式M ＝4π2r
3
GT
2求解．
[问题延伸] 请同学们思考，在根据上述两种途径求出质量后，能否求出天体的平均密度？请写出计算表达式．
例1 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h 高处以速度v 0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为x.已知月球半径为R 月，万有引力常量为G.试求月球的质量M 月．
例2 设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R ，土星绕太阳运动的周期为T ，万有引力常量G 已知，根据这些数据能够求出的物理量是( )
①土星线速度的大小 ②土星加速度的大小 ③土星的质量 ④太阳的质量 A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③
例3 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日
M 地
为( )
A.R 3t
2
r 3T 2 B.R 3T 2
r 3t 2 C.R 2t
3r 2T
3
D.R 2T 3
r 2t
3 [即学即用]
4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
第3节 万有引力定律的应用
课前准备区
匀速圆周 太阳对行星的引力 1.GM
r 越小 2.
GM
r
3 越小 3．2πr
3
GM
越大 4.
GM
r
2 越小 ①无关 ②二者中心的连线 课堂活动区 核心知识探究 一、
[问题情境]
(1)当物体在赤道上时，F 、G 、F′三力同向，此时F′达到最大值F max ′＝mRω2
，重力达到最小值：G min ＝F －F′＝G Mm R
2－mRω2
.
(2)当物体在两极的极点时，此时F′＝0，F ＝G ，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为G max ＝G Mm
R
2.
(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，只有物体在两极的极点时物体所受的万有引力才等于重力．
[即学即用]
1．A [由F ＝G Mm
R 2可知，物体在地球表面任何位置受到的地球的引力都相等，此引力的
两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错．]
2．D [设地球的质量为m ，地球的半径为r ，则火星的质量为pm ，火星的半径为qr ，根据万有引力提供向心力得G Mm r 2＝mr 4π
2
T
2，故有T ＝
4π2r
3
GM
∝ r 3
M ，则T 1
T 2
＝ qr
3
r
3·m
pm ＝ q
3
p
，故D 选项正确．] 3．B 二、
[问题情境]
1．天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动．
在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v 、角速度ω、周期T 三个物理量．
2．根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即
(1)a ＝v 2
r ；(2)a ＝ω2
r ；(3)a ＝4π2
r T
2.
3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的
三种表达方式可得三种形式的方程，即(以月球绕地球运行为例)
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，
即GM 地m 月r 2＝m 月r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3
GT 2.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G M 地m 月r 2＝m 月v 2
r
. 解得地球的质量为M 地＝rv 2
G
.
(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G M 地m 月r 2＝m 月v 2πT . G M 地m 月r 2＝m 月v 2
r . 以上两式消去r ，解得 M 地＝v 3
T 2πG
.
4．从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．
[问题延伸]
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的平均密度． 由mg ＝G Mm R 2和M ＝43πR 3
ρ
得：ρ＝3g
4πGR
其中g 为天体表面的重力加速度，R 为天体的半径． (2)利用天体的卫星来求天体的平均密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程： G Mm r 2＝m 4π2
T 2r M ＝ρ·43πR 3
解得ρ＝3πr
3
GT 2R
3
例1 (1) 3gR 2T 2
4π2 (2)2hR 2月v 20
Gx
2
解析 (1)设月球绕地球做圆周运动的轨道半径为r ， 则有：GMm 月r 2＝m 月4π
2
T 2·r，
对地球表面的物体，有：GMm
R 2＝mg
由以上两式可得：r ＝ 3gR 2T 2
4π2.
(2)设小球从平抛到落地的时间为t ， 竖直方向：h ＝12g 月t 2
水平方向：x ＝v 0t 可得：g 月＝2hv 2
x
2
对月球表面的物体，有mg 月＝GM 月m
R 2月
可得：M 月＝2hR 2
月v 20
Gx
2.
例2 B [由于v ＝2πR T 可知①正确；而a ＝ω2
R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝4π2
R T 2，则②正确；已知土
星的公转周期和轨道半径，由GMm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，则M ＝4π2R
3
GT 2，M 应为中心天体——太阳的质
量，无法求出m ——土星的质量，③错误，④正确，由此可知B 正确．]
例3 A [由G M 日M 地R 2＝M 地4π
2
T 2R 得：
M 日＝4π2R
3
GT
2，
由G M 地M 月r 2＝M 月4π
2
t 2r 得：
M 地＝4π2r 3
Gt
2，
可求出：M 日M 地＝R 3t
2
r 3T
2.故A 正确．]
[即学即用]
4．D [本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．对于物体，根据牛顿第二定律：G Mm R 2＝m 4π2
T 2R 和ρ＝M
43πR 3
得：T ＝
3πGρ
，选项D 正确．]。