广东署山市南海区2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题(含参考答案)

广东省佛山市南海区2019-2020学年
高一数学下学期期末考试试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2. 选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液；不按以上要求作答的答案无效.
4. 请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 设集合2
{|560}A x x x =-+≥，{|0}B x x =>，则A
B =（ ）
A.[]2,3
B.(][),23,-∞+∞
C.[)3,+∞
D.(]
[)0,23,+∞
2. 某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（ ） A.8
B.9
C.10
D.11
3. 若函数()()40,0a
f x x x a x
=+
>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A.12
B.24
C.16
D.36
4. 两个相关变量满足如下关系：
根据表格已得回归方程ˆ9.49.2y
x =+，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（ ） A.37.4
B.39
C.38.5
D.40.5
5. 班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
如果校长随机地问这个班的一名学生，认为作业多的概率为（ ） A.
925
B.
425
C.13 25
D.
2350
6. 若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是（ ）
A.
1a
b
< B.
2b a
a b
+< C.
2211
ab a b
<
D.22a a b b +<+
7. 已知点E 为平行四边形ABCD 所在平面上一点且满足2DE CE =，点F 为AE 与BD 的交点，若AB a =，
AD b =，则AF =（ ）
A.
21
33
a b + B.13
22
a b -
+ C.
31
44
a b + D.
5
523
a b + 8. 在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
9. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（ ）
A.25%
B.30%
C.45%
D.55%
附随机数表
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
10. 已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ）
A.4
C. D.5
二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
12，甲获胜的概率是1
5
，下面结论正确的是（ ） A.甲不输的概率
7
10 B.乙不输的概率4
5
C.乙获胜的概率
3
10
D.乙输的概率1
5
12. 已知数列{} n a 满足11a =，121n n a a n ++=+，*
n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ）
A.()21121n n S n a -=-⋅
B.212
n n S S =
C.2311222n n n S S =
-+
D.212
n n S S =+
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.其中第14题第一空3分，第二空2分. 13. 已知向量()1,2AB =，()2,2BC =-，则cos ,AB BC =_______________.
14. 一个棱长为a 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是_______________，球的体积是
_______________.
15. 甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲
医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同．．．
的概率是_______________. 16. 已知数列{} n a 中，若11a =，12n n n a a +=，则n a =_______________.
四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
在直三棱柱111 ABC A B C -中，1AB =，2BC =，3AC =，11AA =.
（Ⅰ）求三棱锥1A ABC -的表面积；
（Ⅱ）求1 B 到面1 A BC 的距离.
18.（本小题满分12分）
已知{} n a 是公比 2q =，3
12a =的等比数列，其前n 项和为 n S . （Ⅰ）是否存在正整数k ，使得
2020k S >；若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求
()1
35211
n
i i a
a a a +=+++
+∑.
19.（本小题满分12分）
在ABC 中，已知45A =︒，D 是AC 上一点，6DC =，14BC =，120BDC ∠=︒.
（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求ABD 的面积. 20.（本小题满分12分）
某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]25,35,35,45,45,55,55,65,65,75,75,85,85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求直方图中a 的值；
（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，
并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希
望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？
21.（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为
ABC 的三个内角,,A B C 的对边，()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-且
A C ∠>∠.
（Ⅰ）求B ∠；
（Ⅱ）给出三个条件：①2b =；②AC 边上的中线为333m m ⎛≤≤
⎝；③2c a =试从中选出两个可以确定ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求c 的值（只需写出二个选定方案即可）.
22.（本小题满分12分）
已知数列{} n a 的前n 项和为
n S ，满足()12
n n n a a S +=. （Ⅰ）求证：{} n a 是等差数列；
（Ⅱ）已知{}n b 是公比为q 的等比数列，11a b =，221a b a =≠，记 n T 为数列{}n b 的前n 项和.
（1）若 k m b a =（,m k 是大于2的正整数），求证：()111k T m a -=-；
（2）若3i b a =（i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的
项.
佛山市南海区2019-2020学年第二学期期末考试
高一数学试题参考答案
2020年7月
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.
二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 14. 2
33a π 15. 59
16. ()
12
2n n -
四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）：因为222AB AC BC +=，所以ABC 为直角三角形，
则12ABC
S
AB AC =
⋅=. 因为直三棱柱111
ABC A B C -， 所以1A AB ，1A AC 为直角三角形，
则AB =
1
2AC =，1111
22
A AB
S A A AB =
⋅=，
1112A C
A S
A A AC =
⋅=1A BC 中，
1A B 边上的高 2
h =
，则1121A BC
S A B h =
⋅=，
所以三棱锥1
A ABC -的表面积11117
32
ABC
A A
B A AC
A BC
S
S S
S
S
+=+++=+
. （Ⅱ）：因为三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A BB -的底面积相等(
)111A AB
A B B
S
S
=，
高也相等（点C 到平面11 ABB A 的距离）；
所以三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A B B -的体积相等. 又111
1
133133C A AB A ABC ABC V V S AA --==
=⨯⨯=， 所以111136
C A B B B A BC V V --==
. 设1 B 到面1 A BC 的距离为H ，
则111133
6B A BC A BC V S H -=
=
，解得217
H =.
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为312a =，2q =，所以13a =，
所以()321 202021
k k S -=
>-，得2023
23
k >
， 所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10.
（Ⅱ）数列{}21 i a +是首项为3，公比为4的等比数列.
()113521341 41
i i a a a a ++-++++=
-
141i +=-.
()1
1
1
1
1
4
14
1n
i i n
i n
i i ++===-=-∑∑∑
()16413
n n -=
-.
19.（本小题满分12分）
解：（1）在BDC 中，由余弦定理得：
2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠，
化简得：261600BD BD +-=， 解得 10BD =或-16（舍去）.
（2）在ABD 中，由120BDC ∠=︒，得60BDA ∠=︒，
由正弦定理得
sin sin BD AB
A BDA
=
∠∠，
解得AB =
()
sin sin ABD BAD BDA ∠=∠+∠
sin 43ππ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
， 所以ABD
的面积175sin 22
ABD
S
BA BD ABD +=
⋅⋅∠=. 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，各组的频率之和为：
100.005100.00510100.0310100.015100.05a a +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯
故0.6201a +=，解得 0.02a =.
（Ⅱ）快递公司人均每日完成快递数量的平均数是：
300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯，
∴方案（1）日工资为50623236+⨯=，
方案（2）日工资约为()15062445240236+-⨯=>， 故骑手应选择方案（2）.
（Ⅲ）该骑手要使自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，
则平均业务量应超过的75%的骑手.
前五个小组的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.3，0.2； 前四个小组的频率之和为0.050.050.20.30.6+++=； 前五个小组的频率之和为0.050.050.20.30.20.8++++=；
故该骑手的平均业务量应在区间[)65,75内. 设他的平均业务量为x ，
则()0.6650.020.75x +-⨯≥，解得：72.5x ≥， 又x N *
∈.故x 的最小值为73.
所以，该骑手每天的平均业务量至少应达到73单.
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-，
得()()()b c b c a c a +-=-， 即222b a c ac =+-，由余弦定理
2222cos b a c c B α=+-，得1
cos 2
B =
， 由于0B π<<，所以3
B π
=
.
（Ⅱ）方案1，选①2b =和③2c a =，
因为 2b =，2c a =，可得22442a a a a =+-⨯，
所以a =
c =.
方案2，②AC 边上的中线为3m m ⎛≤≤
⎝，和③2c a =， 2222422b m a c +=+，
()2
2
22 4222b m a a +=+，222104b a m =-，
2222222423b a c ac a a a a =+-=+-=，
2223104a a m =-，22
47
a m =.
a =
，c =.
方案3，选①2b =和②AC 边上的中线为m m ≤≤⎝， 由条件得2224422m a c +=+，
22222a c m +=+，2422m ac =+-，
222ac m =-，()2
262a c m +=-，
a c += ①
()
2
262a c m -=-，A C ∠>∠，
a c -= ②
①-
②得c =22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：
由()
12
n n n a a S +=，得12n n S na na =+
①
()()111211n n S n a n a --=-+-
②
①-②得：()()11210n n n a n a a ----+= ③ 故()()112320n n n a n a a -----+=
④
③-④得：()()()1222420n n n n a n a n a -----+-=， 即122n n n a a a --=+对任意的*n N ∈且3n ≥成立. 所以，{} n a 是等差数列. （Ⅱ）（1）
设等差数列的公差为d ，则由题设得
11a d a q +=，()11d a q =-，且1q ≠.
由k m b a =，得()1
111k b q a m d -=+-，
所以()
()1111k b q m d --=-，
()()()()()11111111111
1
1
k k b q m d m a q T m a q q q ------=
=
==
----，
故等式成立.
（2）（i ）证明q 为整数：
由3
i b a =，得()2111b q a i d =+-， 即()()2
11111a q a i a q =+--，
移项得()()()()111111a q q a i q +-=--. 因110a b =≠，1q ≠，得 2q i =-， 故q 为整数.
（ii ）证明数列{} n b 中的每一项都是数列{} n a 中的项： 设n b 是数列{} n b 中的任一项，只要讨论3n >的情形. 令()1
111n b q
a k d -=+-， 即()()1
11111n a q
a k a q --=--，
得1221
121
n n q k q q q q ---=+
=++++-.
因 2q i =-，当1i =时，
1q =-，22n q q q -+++为-1或0，
则k 为1或2；而2i ≠，否则0q =，矛盾. 当 3i ≥时，q 为正整数， 所以k 为正整数，从而n k b a =.
故数列{} n b 中的每一项都是数列{} n a 中的项.。