广西桂林十八中高二数学下学期开学考试题 理 新人教A版

数 学(理科)
注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。

考试时间： 120 分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2.选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3.主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
1.直线310x y -+=的斜率是( )
A.3
B.3-
C.13
D.13
- 2.不等式21x -<的解集为( )
A.[]1,3
B.()1,3
C.[]3,1--
D.()3,1-- 3.在等差数列{}n a 中，已知376=+a a ，则=12S ( )
A.18
B.21
C.36
D.39
4.正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )
A ．51
B ．52
C ．53
D ．5
4
5.若|2|=
a ，2||=
b 且()
a b a -⊥ ，则a 与b 的夹角是( )
A.6π
B.4π
C.3π
D.2
π
6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：m ），则该几何体的体积是( )
A.313m
B.
3
23m
C. 343m
D.383
m
7.双曲线22
=1925x y -的渐近线方程为( )
A.53y x =
B. 35y x =±
C.53
y x =± D.35y x =
8.三个数6log ,7.0,67.067
.0的大小顺序是( )
A.
7.07.0666log 7.0<<
B.6log 67.07.07
.06<<
C.
67.07.07.066log <<
D.7
.067.067.06log <<
9.执行如右图所示的程序框图，若输入2x =， 则输出y 的值为( )
A.2
B.5
C.11
D.23
10.在ABC ∆中，π
3
A =“”是1cos 2A =“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.若实数,x y 满足22
10x y +-=，则1
2
y z x -=
+的取值范围是( ) A.4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D.10,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
12.若函数()f x 满足：()14f x f x x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，则()f x 的最小值为( ) A.215 B.415215415
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线2
=12y x 的焦点坐标是_____________.
14.同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.
15.若正三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正切值为___.
16.函数232y x x x =--的值域是________________.
三、解答题（本题包括6小题，共70分） 17．（10分）解关于x 的不等式2
1x
<.
18．（12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2a =,3c =,1cos 4
B =, 求cos
C .
19．（12分）已知{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，且132,,a a a 成等差数列. ⑴求q 的值； ⑵设{}n b 是以1
2
-为首项，q 为公差的等差数列，求{}n b 的前n 项和n S .
20．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，2
DAB π
∠=
，
PA ⊥底面ABCD ，且1
12
AD CD AB ==
=，M 是PB 的中点. ⑴求证：直线//CM 平面PAD ；
⑵若直线CM 与平面ABCD 所成的角为
4
π
，求二面角A MC B --的余弦值.
21．（12分）已知()3
2
2f x ax bx x =++在1x =-处取得极值，
且在点()()
1,1f 处的切线斜率为2. ⑴求()f x 的单调增区间；
⑵若关于x 的方程()32
20f x x x x m +--+=在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不相等
的实数根，求实数m 的取值范围.
22．（12分）已知过曲线C 上任意一点P 作直线()20x p p =->的垂线，垂足为M , 且OP OM ⊥.
⑴求曲线C 的方程；
⑵设A 、B 是曲线C 上两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β， 当,αβ变化且αβ+ 为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点， 并求出该定点的坐标.
所以由（Ⅰ）（Ⅱ）知，当2
πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，
当2
π
θ≠时直线AB 恒过定点22,
tan p p θ
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
.12分
桂林十八中12级高二下学期开学考试卷(理科)
数 学
注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。

考试时间： 120 分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2.选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3.主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
1.直线310x y -+=的斜率是A
A.3
B.3-
C.13
D.13
- 2.不等式21x -<的解集为B
A.[]1,3
B.()1,3
C.[]3,1--
D.()3,1-- 3.在等差数列{}n a 中，已知376=+a a ，则=12S A
A.18
B.21
C.36
D.39
4.正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为D A ．51 B ．52 C ．53 D ．5
4
5．若|2|=
a ，2||=
b 且()
a b a -⊥ ，则a 与b 的夹角是B A.6π B.4π C.3π D.2
π
6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：m ），则该几何体的体积是C
A.313m
B.
3
23m
C. 343m
D. 383
m
7.双曲线22
=1925
x y -的渐近线方程为C
A.53y x =
B. 35y x =±
C.53
y x =± D.35y x =
8.三个数6log ,7.0,67.067
.0的大小顺序是D
A.
7.07.0666log 7.0<<
B.6log 67.07.07
.06<<
C.67.07.07.066log <<
D.7
.067.067.06log <<
9.执行如右图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为D A.2 B.5 C.11 D.23
10.在ABC ∆中，π
3
A =“”是1cos 2A =“”的C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.若实数,x y 满足22
10x y +-=，则1
2
y z x -=
+的取值范围是A A.4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D.10,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
12.若函数()f x 满足：()14f x f x x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，则()f x 的最小值为B A.215 B.415215415
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线2
=12y x 的焦点坐标是_____________. ()3,0
14.同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.
1
4
15．若正三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正切值为____
15
5
______.
16.函数2
32y x x x =--的值域是__________________.321,2⎡+⎢⎣⎦
三、解答题（本题包括6小题，共70分） 17．（10分）解关于x 的不等式2
1x
<.
18．（12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2a =,3c =,1
cos 4
B =,求cos
C .
19．（12分）已知{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，且132,,a a a 成等差数列. ⑴求q 的值；
⑵设{}n b 是以1
2
-为首项，q 为公差的等差数列，求{}n b 的前n 项和n S .
20．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，2
DAB π
∠=
，
PA ⊥底面ABCD ，且1
12
AD CD AB ==
=，M 是PB 的中点. ⑴求证：直线//CM 平面PAD ；
⑵若直线CM 与平面ABCD 所成的角为
4
π
，求二面角A MC B --的余弦值.
21．（12分）已知()3
2
2f x ax bx x =++在1x =-处取得极值，
且在点()()
1,1f 处的切线斜率为2. ⑴求()f x 的单调增区间；
⑵若关于x 的方程()32
20f x x x x m +--+=在区间1
,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上恰有两个不相等
的实数根，求实数m 的取值范围.
22．（12分）已知过曲线C 上任意一点P 作直线()20x p p =->的垂线，垂足为M , 且OP OM ⊥.
⑴求曲线C 的方程；
⑵设A 、B 是曲线C 上两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β， 当,αβ变化且αβ+ 为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点， 并求出该定点的坐标.
桂林十八中12级高二下学期开学考试试卷数学答案 一、选择题
二、填空题
13. 14. 15. 16. 三、解答题
E
D C B A P 17．（10分）解关于x 的不等式21
x <. 解：原不等式可化为
2
10
x -<2分 即20x
x -<，也即
()20x x ->6分 所以原不等式的解集为
{}
20x x x ><或10分
17．（本小题满分10分）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2
2
2
b c a +=.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求sin +cos B C 的最大值.
17．解：（Ⅰ）222
b c a +=+2cos .................2bc A =分，
cos A ∴=而()0,,A ∈π则...................56A π
=分
（Ⅱ）5,,..................666A B C ππ=∴+=分
53sin +cos sin cos(
)sin ),.............8626B C B B B B B ππ
=+
-=+=+分
50,,,,)6666B B B
ππππ⎛⎫
⎛⎫∈∴+∈π+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
sin +cos B C .............10分 19．（12分）已知{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，且132,,a a a 成等差数列.
（1）求q 的值；
（2）设{}n b 是以1
2-
为首项，q 为公差的等差数列，求{}n b 的前n 项和n S .
解：（1）由题知：21112a q a a q =+ 2
1212q q q ⇒=+⇒=- 或1q =（舍去）
6分
（2）
1111,(1)222n n b d b b n d =-=-⇒=+-=-
8分 ()112224
n n n n n S ⎛⎫
⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==-
12分
20．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，
2DAB π
∠=
，PA ⊥底面ABCD ，
且1
12AD CD AB ==
=，M 是PB 的中点.
（1）求证：直线//CM 平面PAD ； （2）若直线CM 与平面ABCD 所成的角为4π
，求二面角A MC B --的余弦值.
解：方法一：（1）证明：取AB 的中点N ，
则1//2MN PA
，故//MN 平面PAD
又四边形ADCM 正方形，∴//CM AD
，故//CM 平面PAD ∴平面//CMN 平面PAD ,
∴//CM 平面PAD
4分 （2）解：由PA ⊥底面ABCD ，得MN ⊥底面ABCD 则CM 与平面ABCD 所成的角为
4MCN π
∠=
∴2222PA MN CN AD ====,
∴AMC ∆和BMC ∆正三角形,取CM 的中点G ，则AG CM ⊥，且 BG CM
⊥1分
∴AGB ∠为二面角A MC B --的平面角
9分 在AGB ∆中
AG BG ==
，2AB =， ∴222
cos 2AG BG AB AGB AG BG +-∠=
⋅
13=-
∴二面角A MC B --的余弦值13
-
12分 方法二：（1）设()2,0PA a a =>，因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，AB AD ⊥，
∴以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系， 取PA 的中点E ，
则各点坐标为：()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()1,0,0D ，()0,1,M a ，()0,0,E a
∴()1,0,CM a =-，()1,0,DE a =-，∴CM DE =，
∴//CM DE ， ∴//CM 平面PAD
4分 （2）由PA ⊥底面ABCD 及//CM DE ，得CM 与平面ABCD 所成角的大小为
4EDA π
∠=
∴222PA AE AD ===,
∴1a =,()0,1,1M ，()0,0,1E ，()1,0,1CM =-
取CM 的中点G ， 则因11,1,22G ⎛⎫
⎪⎝⎭，1111,1,,,1,,
2222AG BG ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴0,0CM AG CM BG ⋅=⋅=
则AG CM ⊥，且 BG CM ⊥,∴AGB ∠为二面角A MC B --的平面角
9分
∵
cos ,||||GA GB
GA GB GA GB ⋅<>=
⋅
13=-
∴二面角A MC B --的余弦值1
3
-
12分 附:1.求出2PA =得3分;2.求法向量时公式1分,全对共2分;3.参照以上解法给分.
21．（12分）已知()322f x ax bx x
=++在1x =-处取得极值，
且在点
()()1,1f 处的切线斜率为2.
（1）求
()
f x 的单调增区间；
（2）若关于x 的方程()3220f x x x x m +--+=在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等
的实数根，求实数m 的取值范围.
解：（1）
()2322
f x ax bx '=++
1分
由题意，得()()10
,12f f '-=⎧⎨
'=⎩
132203,32221
2
a a
b a b b ⎧
=-
⎪-+=⎧⎪∴∴⎨⎨
++=⎩⎪=⎪⎩3分 ()()()
2221f x x x x x '∴=-++=--+,由
()0
f x '>得12x -<<
()
f x ∴的单调增区间是
()
1,2-5分
（2）由（1）知()3211
232f x x x x
=-++
()323223
200
32f x x x x m x x x m ∴+--+=⇒-++=
令()3223
32g x x x x m
=-++
则()()()2231121g x x x x x '=-+=--,由()0g x '=得
1211,2x x ==7分
x ()()
,g x g x '当1x =时，
()()1=16
g x g m =+
极小值8分
关于x 的方程()3220f x x x x m +--+=在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上恰有两个不相等的实数根的充要条件是()()1021020
g g g ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩
10分, 50241510,6246403m m m m ⎧+≥⎪⎪⎪∴+<∴-≤<-⎨⎪⎪+≥⎪⎩12分 22．（12分）已知过曲线C 上任意一点P 作直线()
20x p p =->的垂线，垂足为M ,
且OP OM ⊥.
（1）求曲线C 的方程；
（2）设A 、B 是曲线C 上两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，
当,αβ变化且αβ+ 为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. 解：（1）设
()
,P x y ，则
()
2,M p y -，
由OP OM ⊥得0OP OM ⋅=，1分
即20p x y y -⋅+⋅=
所以轨迹方程为
22(0,0)y px x P =≠>4分
（2）如图，设
()()
1122,,,A x y B x y ，由题意得
12
x x ≠（否则αβπ+=）且12,0
x x ≠所以直线AB 的
斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然22
12
12,22y y x x p p ==，将y kx b =+与
2
2(0)y px P =>联立消去x ，得
2220ky py pb -+=5分 由韦达定理知
121222,p pb
y y y y k k +=
⋅=①
6分
（Ⅰ）当
2π
θ=
时，即
2π
αβ+=
时，tan tan 1αβ⋅=所以
12
121212
1,0y y x x y y x x ⋅=-=，
22
12122
04y y y y p -=所以2124y y p =由①知：224pb p k =所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为
2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB
恒过定点()2,0p -7分
（Ⅱ）当
2π
θ≠
时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβ
αβ+-= 122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+，
此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p
pk
θ+9分
即
2(2)0tan p k x p y θ⎛
⎫
+--
= ⎪⎝⎭
所以直线AB 恒过定点
22,tan p p θ⎛⎫- ⎪
⎝⎭11分
所以由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2π
θ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭.
12分。