江苏省姜堰中学2022届高三数学综合练习（十五） 理 苏教版

高三数学（理）综合练习（十五）
班级 学号 姓名
一、填空题
1．若2
{|0,}x x x m m ⊂∅++≤∈≠R ，则m 的取值范围是____________
2．平面向量与的夹角为，(2,0),||1==a b ，则|2|+a b 等于____________
3．复数2(2)1i z i
+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于第 象限．
4．已知3(,),sin 25
παπα∈=，则tan()4π
α+的值为____________
5．已知函数31(),3
(),(2log 2)3(1),3
x
x f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为____________
6．已知命题2:
11
x
p x <-，命题:()(3)0q x a x +->，若是的充分 不必要条件，则实数 的取值范围是____________
7．如图是一个算法的流程图，则最后输出的的值为____________ 8．设，满足约束条件3
123
x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，若目标函数x y z a b =+（a ＞0,
b ＞0）的最大值为10，则5a4b 的最小值为
____________
（第7题）
9．点
()()
f x
g x 、''()()
f x
g x >a x b <<()()
f x
g x >()()
f x
g x <()()()()f x g b g x f b +<+()()()()f x g a g x f a +>+,,αβγa α
⊥a β
⊥β
α//βαγβγα//,,则⊥⊥b
a b a //,,,//则βαβα⊂⊂b a b a //,,,//则=⋂=⋂γβγαβα)(x f y =R x ∈)21()21(x f x f -=+)
2(-x f )2(x f -)()2(x f x f -=+)2()(--=x f x f x y 42=||||||||AP QB AQ PB =1
x =-22
1259
x y +=||||||||
AP QB AQ PB =1a a =2(1)n n
b n a =+*
n N ∈5
n b b ≥ABC
∆2,2,31BC AC AB ==AB AC ⋅(1)(0)BP BA BC λλλ=-+>ABP
∆31
+111
ABC A B C -AB AC =1AD C D ⊥AD ⊥11BCC B 1//A E 1ADC 066222=--++y x y x )
11,5(-M )3,2(N B A 、ABC ∆a 1331
tan =
α13
2cos =β（a m 37>）海里的B 处的补给船，速
往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当
两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式；
⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．
Z 东北 A
B
C
O
19．已知函数x
a
x x f -
=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中R （1）讨论的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数4)(2+-=mx x x h ,当时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数的取值范围．
20已知函数在其定义域上满足()2()1(0)xf x af x x a a +=+->．
（1）函数()y f x =的图象是否是中心对称图形若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当14
()[,]25
f x ∈时，求的取值范围；
（3）若(0)0f =，数列满足，那么：
①若10()n n a f a +<≤，正整数N 满足时，对所有适合上述条件的数列，1
10
n a <恒成立，求最小的N ；
②若1()n n a f a +=，求证：122334137
n n a a a a a a a a +++++<
高三数学（理）综合练习（十五）答案
1． 2． 3．二 4． 5．
1
54
6．(]1,-∞- 7．14 8．8
9．（3）（4） 11．①④ 12．①②③④ 13．25
4x =- 14． [-22,-18]
15解：（1）∵cos A =
，∴4
A π
=，||||cos 1AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=． （2）． 16略
17解：（1）圆的标准方程为16)3()1(22=-++y x ，圆心为)3,1(-C ，半径 设过点)11,5(-M 的切方程为)5(11+=-x k y ，即0115=++-k y kx ，
则
41
|
1153|2=+++--k k k ，解得4
3
-=k 切线方程为02943=-+y x
当斜率不存在时，5-=x 也符合题意
故求过点)11,5(-M 的圆的切线方程为：02943=-+y x 或5-=x （2）当直线的斜率不存在时,73=∆ABC S ,
当直线的斜率存在时,设直线的方程为)2(3-=-x k y ，即023=-+-k y kx ， 圆心)3,1(-C 到直线的距离
1
||32+k k ，线段的长度2162||d AB -=，
所以，82
)16()16(16||21222
22=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC
， 当且仅当82
=d 时取等号，此时81
92
2
=+k k ，解得22±=k 所以，ABC ∆的最大面积为8，此时直线的斜率为22±
18 解：⑴以O 为原点，OB 所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． 设点()00,y x A ， 则a a a x 313
313sin 130=⋅
==β，a a a y 213
213cos 130=⋅
==β，
即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x m
a a
y --=32．
上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(
a
m am
a m am C --
)3
7
(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴
⑵328)3149492(314)
37(949)37()(2
22a a a a a a m a a m a m S =
+≥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= 当且仅当)
3
7(9493
7
2
a m a a m -=
-时，即a m 314=时取等号， 答：⑴S 关于m 的函数关系式)3
7
(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=
⋅=∴ ⑵ 应征调a m 314
=为何值处的船只，补给最适宜．
19解：（Ⅰ）的定义域为),0(+∞，且2
)('x a
x x f +=
， ①当时，0)('>x f ，在),0(+∞上单调递增；
②当时，由0)('>x f ，得a x ->；由0)('<x f ，得a x -<； 故在),0(a -上单调递减，在),(+∞-a 上单调递增 （Ⅱ）x x
a
ax x g ln 5)(--
=，的定义域为),0(+∞ 2
2255)('x a
x ax x x a a x g +-=-+=
因为在其定义域内为增函数，所以),0(+∞∈∀x ，0)('≥x g
max
222215155)1(05⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+≥⇔+≥
⇔≥+⇔≥+-⇔x x a x x a x x a a x ax 而2
515152≤+=+x
x x x ，当且仅当时取等号， 所以25
≥
a （Ⅲ）当时，x x x x g ln 522)(--
=，2
225
2)('x x x x g +-= 由0)('=x g 得21=x 或当)21,0(∈x 时，0)('≥x g ；当)1,2
1
(∈x 时，0)('<x g
所以在上，2ln 53)2
1
()(max +-==g x g
而“)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立”等价于 “在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为)}2(),1(max{
h h
所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥)2()2
1
()1()21(h g h g ⎩⎨⎧-≥+--≥+-⇔m m 282ln 5352ln 53⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇔)2ln 511(2
12ln 58m m 2ln 58-≥⇔m 所以实数的取值范围是) ,2ln 58[∞+-
20解：（1）依题意有(2)()1x a f x x a +=+-．若2x a =-，则110x a a +-=--=，得1a =-，这与矛盾，∴2x a ≠-，∴11
()1(2)22x a a f x x a x a x a
+-+=
=-≠-++，故()y f x =的图象是中心对称图形，其对称中心为点(2,1)a -．
（2）∵14()[,]25f x ∈，∴1
1,2214,25x a x a
x a x a +-⎧≥⎪⎪+⎨
+-⎪≤
⎪+⎩即2
0,
2350,
2x x a x a x a -⎧≥⎪⎪+⎨
--⎪≤⎪+⎩
又∵，∴2,2,235,x a x a x a <-≥⎧⎨-<≤+⎩或 得[2,35]x a ∈+．
（3）① 由(0)0f =得，∴()2
x
f x x =+．由102n n n a a a +<≤+得
11121n n a a +≥⨯+， 即
1
1112(
1)n n a a ++≥+．令1
1n n b a =+，则12n n b b +≥，又∵，∴，∴12n n
b b +≥． ∵，∴，∴当时，3
2112
122222n n
n n n b b b b b b b b -=⨯
⨯⨯⨯
≥⨯⨯⨯⨯=个
．
【或∵12n n b b -≥，∴231123122222n n n n n n b b b b b ----≥≥≥≥≥=】
又∵也符合2n n b ≥，∴*2()n n b n ≥∈N ，即112n n a +≥，得*1
()21
n n a n ≤∈-N ． 要使110n a <
恒成立，只需11
10
21n <-，即211n >，∴．故满足题设要求的最小正整数． ② 由①知121n n
a =
-，∴11
1(21)(21)n n n n a a ++=-⋅-，1213,37a a =<12231116
32142
a a a a +=+=， ∴当1,2n =时，不等式成立．
证法1：∵1111111
()(21)(21)22121
n n n n n n n a a ++
+=
=--⋅---，∴当时，122334a a a a a a +++
1n n a a ++334445*********
11111
()()()321321
221212212122121n n n +=++-+-+
+
-≤++------ 33445131
111111111111
[()()(
)]()3217221212121
2121221
n n n ++-+-++-=++-------- 11111117183
321563214242427
<++<++=<=． 证法2
：∵1111111
()(21)(21)22121
n n n n n n n a a +++=
=--⋅---，∴当时，122334a a a a a a +++
12233341221111111
111111
()()()[(33221212212122121221
n n n n n a a +++=+-+-+
+
-≤+--------3341211111111111153
)()(
)]()33312127212121
2121
221n n n +++-++-=+-<+=<------．
证法3：∵11
1112
(21)(21)2121
n n n
n n n a a +++==--⋅---，∴当时，122334a a a a a a ++
+
11223112311
1111
111
(
)2()()(2121
212121
21212121
n n n n a a +++=+++
-+++
=--+---------4
1341111
122111252253)()()312127
21
212122
221221n
n n n n n ++++++
-<-+++
-=+-<<-----，∵11111211211222221n n n n n n n n a a a a --++---==⋅<--，∴2112111
()22
n n n n n n a a a a a a +---<⋅<⋅ 2223111
()()2212n n a a --<
<⋅=⋅，∴1223341022
11111
1()321222
2n n n a a a a a a a a +-++++≤++++
+
112112183(1)3213214272
n -=+-<+==． 证法5：∵11111211111
(21)(21)[2(21)][2(21)]222
n n n
n n n n n
n n n a a ++----==<=-⋅-+-⋅+-⋅，∴当时，122315721
11111
161161183()3214224422142722
2
n n n a a a a a a +-++
+<++++
+
=+<+==． 综上，对任意的*n ∈N ，都有12233413
7
n n a a a a a a a a +++++<
．。