2020年北京市西城区高考数学(5月份)模拟试卷 (解析版)

2020年高考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（共10小题）
1．设集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{﹣2，2}
C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．若复数z满足z•i＝﹣1+i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，值域为R且区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x3B．y＝x|x|C．y＝x﹣1D．y=√x 4．抛物线x2＝4y的准线方程为（）
A．x＝1B．x＝﹣1C．y＝1D．y＝﹣1 5．在△ABC中，若a：b：c＝4：5：6，则其最大内角的余弦值为（）
A．1
8
B．
1
4
C．
3
10
D．
3
5
6．设a＝30.2，b＝log32，c＝log0.23，则（）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．6B．4C．3D．2
8．若圆x2+y2﹣4x+2y+a＝0与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．[5，+∞）9．若向量a→与b→不共线，则“a→⋅b→＜0”是“2|a→−b→|＞|a→|+|b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．设函数f（x）＝（x﹣1）e x．若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（）
A．（0，e]B．（0，e2]C．(1，e2
2]D．(1，e
2+1
2
]
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．设平面向量a→=(1，−2)，b→=(k，2)满足a→⊥b→，则|b→|＝．
12．若双曲线x2
a
−
y2
16
=1(a＞0)经过点（2，0），则该双曲线渐近线的方程为．
13．设函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则函数f（x）的最小正周期为；若对于任意x∈R，都有f（x）≤m成立，则实数m的最小值为．
14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”
则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是，．
甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖
甲的猜测√××√
乙的猜测×〇〇√
丙的猜测×√×√
丁的猜测〇〇√×
15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P﹣ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于4√6；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥P﹣ABCD四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，且DE＝2BF＝2．
（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE；
（Ⅱ）求钝二面角D﹣AE﹣F的余弦值．
17．从①前n项和S n=n2+p(p∈R)，②a n＝a n+1﹣3，③a6＝11且2a n+1＝a n+a n+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．
在数列{a n}中，a1＝1，______，其中n∈N*．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a1，a n，a m成等比数列，其中m，n∈N*，且m＞n＞1，求m的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486，0.536），[0.536，0.586），…，
[0.836，0.886）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；
（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．
19．已知椭圆C：x2
a2
+y
2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|
＝1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小．
20．设函数f（x）＝ae x+cos x，其中a∈R．
（Ⅰ）已知函数f（x）为偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若a＝1，证明：当x＞0时，f（x）＞2；
（Ⅲ）若f（x）在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．
21．设N为正整数，区间I k＝[a k，a k+1]（其中a k∈R，k＝1，2，…，N）同时满足下列两个条件：
①对任意x∈[0，100]，存在k使得x∈I k；
②对任意k∈{1，2，…，N}，存在x∈[0，100]，使得x∉I i（其中i＝1，2，…，k﹣1，k+1，…，
N）．
（Ⅰ）判断a k（k＝1，2，…，N）能否等于k﹣1或k
2
−1；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求N的最小值；
（Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝（）
A．{0，2}B．{﹣2，2}
C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，
B＝{x|x＝2k，k∈Z}，
∴A∩B＝{﹣2，0，2}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．若复数z满足z•i＝﹣1+i，则在复平面内z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由z•i＝﹣1+i，得z=−1+i
i
=(−1+i)(−i)
−i2
=1+i，
∴在复平面内z对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．下列函数中，值域为R且区间（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y＝﹣x3B．y＝x|x|C．y＝x﹣1D．y=√x
【分析】容易看出选项A，C的函数在（0，+∞）都是减函数，选项D的函数的值域不是R，从而判断选项A，C，D都错误，只能选B．
解：y＝﹣x3，y＝x﹣1在（0，+∞）上都单调递减，y=√x的值域不是R，
y＝x|x|={x2x＞0
−x2x≤0
的值域为R，且在（0，+∞）上单调递增．
故选：B．
【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，二次函数的值域及单调性，反比例函数、幂函数和y ＝﹣x 3的单调性的判断，考查了计算能力，属于基础题． 4．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1
B ．x ＝﹣1
C ．y ＝1
D ．y ＝﹣1
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ＝4，再直接代入即可求出其准线方程．
解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以：2p ＝4，即p ＝2， 所以：p
2=1，
∴准线方程 y ＝﹣1， 故选：D ．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
5．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝4：5：6，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．1
8
B ．1
4
C ．
3
10
D ．3
5
【分析】根据三边之比表示出a ，b ，c ，得到c 对的角最大，利用余弦定理即可求出cos C 的值．
解：根据题意得：a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ，k ＞0，且最大角为C ，
∴cos C =a 2+b 2
−c 2
2ab =16k 2
+25k 2
−36k 2
2×4k×5k =18
．
故选：A ．
【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题． 6．设a ＝30.2，b ＝log 32，c ＝log 0.23，则（ ） A ．a ＞c ＞b
B ．a ＞b ＞c
C ．b ＞c ＞a
D ．b ＞a ＞c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵30.2＞30＝1，∴a ＞1，
∵log 31＜log 32＜log 33＝1，∴0＜b ＜1， ∵log 0.23＜log 0.21＝0，∴c ＜0， ∴a ＞b ＞c ， 故选：B ．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，底面为直角梯形，高为2． 如图所示：
所以：V =
13×1
2
×(1+2)×2×2=2． 故选：D ．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8．若圆x 2+y 2﹣4x +2y +a ＝0与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1]
B ．（﹣∞，0]
C ．[0，+∞）
D ．[5，+∞）
【分析】若圆与x ，y 轴都有公共点，则圆心到x ，y 轴的距离小于等于半径即可． 解：圆x 2+y 2﹣4x +2y +a ＝0⇒（x ﹣2）2+（y +1）2＝5﹣a ； 圆心（2，﹣1），r =√5−a ； ∵圆与x ，y 轴都有公共点； ∴{2≤√5−a
1≤√5−a 5−a ＞0
⇒a ≤1；
故选：A．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用圆心和坐标轴的关系是解决本题的关键．
9．若向量a→与b→不共线，则“a→⋅b→＜0”是“2|a→−b→|＞|a→|+|b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】2|a→−b→|＞|a→|+|b→|，化为：(a→−b→)2＞0，根据已知条件即可判断出结论．解：2|a→−b→|＞|a→|+|b→|，化为：(a→−b→)2＞0，
∵向量a→与b→不共线，“a→⋅b→＜0”⇒(a→−b→)2＞0．
反之不成立，可能a→⋅b→≥0．
∴a→⋅b→＜0”是“2|a→−b→|＞|a→|+|b→|”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．设函数f（x）＝（x﹣1）e x．若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（）
A．（0，e]B．（0，e2]C．(1，e2
2]D．(1，e
2+1
2
]
【分析】要使不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有一个整数解，则只需有且仅有一个整数x，使得f（x）的图象在直线y＝ax﹣1的下方，利用导数研究f（x），进而作出函数f（x）的图象及直线y＝ax﹣1的图象，由图象观察可得出关于a的不等式组，解该不等式组即可得到正数a的取值范围．
解：f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，易知函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
且x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，且f（1）＝0，f（0）＝﹣1，f（2）＝e2，
作出函数y＝f（x）以及直线y＝ax﹣1的图象如下图所示，
由图可知，要使不等式f （x ）＜ax ﹣1有且仅有一个整数解，则只需有且仅有一个整数解，使得f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1的下方，
注意到函数f （x ）与直线y ＝ax ﹣1均过（0，﹣1），则只需{a −1＞0
2a −1≤e 2
，解得1＜a ≤e 2+12．
故选：D ．
【点评】本题考查不等式的整数解个数问题，考查利用导数研究函数的性质，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．设平面向量a →
=(1，−2)，b →
=(k ，2)满足a →
⊥b →
，则|b →
|＝ 2√5 ．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，根据求向量的模的方法，属于基础题．
解：平面向量a →
=(1，−2)，b →
=(k ，2) 满足a →
⊥b →
，
则a →
•b →
=k ﹣4＝0，故有k ＝4， 则|b →
|=√k 2+4=2√5， 故答案为：2√5．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题． 12．若双曲线
x 2a −
y 216
=1(a ＞0)经过点
（2，0），则该双曲线渐近线的方程为 y ＝±2x ． 【分析】利用双曲线经过的点，求出a ，然后求解双曲线的渐近线方程． 解：双曲线x 2a −
y 216
=1(a ＞0)经过点（2，0），可得a ＝2，所以双曲线方程为：双曲
线
x 24
−
y 216
=1，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ．
故答案为：y ＝±2x ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
13．设函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则函数f（x）的最小正周期为π；若对于任意x∈R，都有f（x）≤m成立，则实数m的最小值为1+√2．
【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期公式，以及最值性质求出f（x）的最大值即可．
解：f（x）＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝1+√2sin（2x+π4），
则f（x）的最小正周期T=2π
2
=π，
当sin（2x+π
4）＝1时，f（x）取得最大值1+√2，
若对于任意x∈R，都有f（x）≤m成立，
则m≥1+√2，
即实数m的最小值为1+√2，
故答案为：1+√2．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性和最值性是解决本题的关键．难度不大．
14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”
则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是乙，丁．
甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖
甲的猜测√××√
乙的猜测×〇〇√
丙的猜测×√×√
丁的猜测〇〇√×
【分析】根据题意可得，分别假设甲的猜测正确，丙的猜测正确，即可求出答案．解：假设甲的猜测正确，那么甲丁获奖，乙丙不获奖，则乙丙丁的猜想就是错误，与四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确矛盾，故甲的猜测不完全正确；
假设丙的猜测正确，那么乙丁获奖，甲丙不获奖，则乙的猜想就是正确，丁的猜想不完全正确，符合题意，
故答案为：乙，丁
【点评】本题考查合情推理的运用，此类题目常用的手段是假设法，抓住题干中的条件进行推理，推理所得的结果如果不互相矛盾，则假设成立，反之，不成立．
15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P﹣ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于4√6；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥P﹣ABCD四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是②③．
【分析】直接利用平面的性质及的应用求出截面为五边形，进一步利用梯形的面积公式求出截面的面积．
解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，
如图所示：
所以PC=√AC2+AP2=4√3，
由于AC与BD相交于O，取点N为AP的中点，
所以ON∥PC，
点F，G，M为BC和OC和NP的中点，所以GM由于AG
AC
=
MG
PC
=
3
4
，解得MG=3√3，
由于EF为△PBC的中位线，所以EF=1
2
PC=2√3，
由于FG=1
2
OB=√2，
所以S
四边形EFGM
=12×(3√3+2√3)×√2=5√62，
所以截面面积为2S
四边形EFGM
=2×12×(3√3+2√3)×√2=5√6，故①错误．
如图所示②截面是一个五边形；正确．
③截面只与四棱锥P﹣ABCD四条侧棱中的PA，PB，PD三条相交，故正确．
故答案为：②③．
【点评】本题考查的知识要点：平面的性质的应用，截面面积的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，且DE＝2BF＝2．
（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE；
（Ⅱ）求钝二面角D﹣AE﹣F的余弦值．
【分析】（Ⅰ）只需证明BF∥平面ADE．BC∥平面ADE．即可证明平面BCF∥平面ADE．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定平面ADE、平面AEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为DE∥BF，DE⊂平面ADE，BF⊄平面ADE，
所以BF∥平面ADE．
同理，得BC∥平面ADE．
又因为BC∩BF＝B，BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，
所以平面BCF∥平面ADE．
（Ⅱ）由DE⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，
得DA，DC，DE两两垂直，故分别以DA，DC，DE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），E（0，0，2），F（2，2，1），A（2，0，0），
所以AE→=(−2，0，2)，AF→=(0，2，1)．设平面AEF的法向量n＝（x，y，z），
由AE→⋅n=0，AF→⋅n=0，得{−2x+2z=0，2y+z=0，
令y＝1，得n＝（﹣2，1，﹣2）．
平面DAE的法向量m＝（0，1，0）．设钝二面角D﹣AE﹣F的平面角为θ，
则|cosθ|=|cos＜m，n＞|=|
m⋅n
|m|⋅|n|
|=13，
所以cosθ=−1 3，
即钝二面角D﹣AE﹣F的余弦值为−1 3．
【点评】本题考查面面平行的判定，考查面面垂直的性质，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力．
17．从①前n项和S n=n2+p(p∈R)，②a n＝a n+1﹣3，③a6＝11且2a n+1＝a n+a n+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．
在数列{a n}中，a1＝1，______，其中n∈N*．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a1，a n，a m成等比数列，其中m，n∈N*，且m＞n＞1，求m的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】本题第（Ⅰ）题选择条件①的方案时当n＝1时有a1＝S1，代入可解出p的值，得到S n的表达式，再利用公式a n＝S n﹣S n﹣1进行计算可发现数列{a n}是等差数列，即可
计算出数列{a n}的通项公式；选择条件②的方案根据条件及等差数列的定义即可判断出数列{a n}是以3为公差的等差数列，进一步计算即可得到数列{a n}的通项公式；选择条件③的方案时利用等差中项判别法判断出数列{a n}是等差数列，再根据a1＝1及a6＝11计算出公差，即可得到数列{a n}的通项公式．
第（Ⅱ）题先根据三个方案都判别出数列{a n}是等差数列，以及第（Ⅰ）题计算出的数列{a n}的通项公式计算出a n，a m的表达式，再根据等比中项的性质列出关于m、n的算式，并转化成用n表示m的性质，然后用二次函数的方法计算出在n∈N*，且n＞1情况下m的最小值．
解：方案一：选择条件①
（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝1＝S1＝12+p，解得p＝0，
则S n＝n2，n∈N*．
当n≥2时，由S n＝n2，得S n−1=(n−1)2，
∴a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1（n≥2），
经检验，a1＝1符合上式，
∴a n=2n−1(n∈N∗)．
（Ⅱ）依题意，由a1，a n，a m成等比数列，可得a n2=a1a m，
即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），
化简，得m=2n2−2n+1=2(n−12)2+12，
∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，
∴当n＝2时，m有最小值5．
方案二：选择条件②
（Ⅰ）依题意，由a n＝a n+1﹣3，可得a n+1﹣a n＝3，
故数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴a n=a1+(n−1)d=3n−2(n∈N∗)．
（Ⅱ）依题意，由a1，a n，a m成等比数列，可得a n2=a1a m，
即（3n﹣2）2＝1×（3m﹣2），
化简，得m=3n2−4n+2=3(n−23)2+23，
∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，
∴当n＝2时，m取到最小值6．
方案三：选择条件③
（Ⅰ）依题意，由2a n+1＝a n+a n+2，可得a n+1﹣a n＝a n+2﹣a n+1，
故数列{a n}是等差数列，
又∵a1＝1，a6＝a1+5d＝1+5d＝11，即d＝2，
∴a n=a1+(n−1)d=2n−1(n∈N∗)．
（Ⅱ）依题意，由a1，a n，a m成等比数列，可得a n2=a1a m，
即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），
化简，得m=2n2−2n+1=2(n−12)2+12，
∵m，n是大于1的正整数，且m＞n，
∴当n＝2时，m有最小值5．
【点评】本题主要考查等差数列的判别及计算，等比中项的问题．考查了转化与化归思想，函数思想，方程思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486，0.536），[0.536，0.586），…，
[0.836，0.886）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；
（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．
【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图中的数据，频率和为1算出a的值，再求出是“C 级”种子的概率，然后根据对立事件的概率，即可求得不是“C级”种子的概率；（Ⅱ）先根据频率分布直方图依次求出种子是“A级”、“B级”、“C级”康乃馨的概率，X的可能取值为20，25，30，35，40，然后由独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；
（Ⅲ）根据方差的意义与性质即可作出判断．
解：（Ⅰ）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是C级种子”，由图表，得（0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4）×0.05＝1，解得a＝2.4．
由图表，知“C级”种子的频率为（0.4+1.2+2.4）×0.05＝0.2，
故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2．
∵事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是C级种子”为对立事件，
∴事件M的概率P（M）＝1﹣0.2＝0.8．
（Ⅱ）由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为（4.4+1.2+0.4）×0.05＝0.3，
恰好是“B级”康乃馨的概率为（4.0+6.0）×0.05＝0.5，
恰好是“C级”的概率为（0.4+1.2+2.4）×0.05＝0.2．
而随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40，
∴P（X＝20）＝0.2×0.2＝0.04，
P（X＝25）＝0.2×0.5+0.5×0.2＝0.2，
P（X＝30）＝0.5×0.5+0.3×0.2+0.2×0.3＝0.37，
P（X＝35）＝0.3×0.5+0.5×0.3＝0.3，
P （X ＝40）＝0.3×0.3＝0.09． 所以X 的分布列为： X 20 25 30 35 40 P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
故数学期望E （X ）＝20×0.04+25×0.2+30×0.37+35×0.3+40×0.09＝31． （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点评】本题考查频率分布直方图、对立事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与期望、方差的含义等知识点，有一定的综合性，但难度不算大，考查学生灵活运用知识的能力和对数据的分析能力，属于基础题．
19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2
b
2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点为F ，点A （a ，0），且|AF |
＝1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别与直线x ＝4交于点P ，Q ，求∠PFQ 的大小．
【分析】（Ⅰ）由题意得{c a =1
2
，
a −c =1，
求出a ，c ，然后求解b ，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证FP →
⋅FQ →
=0，即∠PFQ ＝90°．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x ﹣1），其中k ≠0．联立{y =k(x −1)，
3x 2+4y 2
=12，得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0．由题意，知△＞0恒成立，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），利用韦达定理，结
合直线MA 的方程为y =y
1
x 1
−2(x −2)． 求出P(4，2y 1x 1−2)．Q(4，2y
2
x 2
−2)．利用向量的数量积，转化求解即可．
解：（Ⅰ）由题意得{c a =1
2
，
a −c =1，
解得a ＝2，c ＝1， 从而b =√a 2−c 2=√3， 所以椭圆C 的方程为
x 24
+
y 23
=1．
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有M(1，32)，N(1，−3
2)，P （4，﹣3），Q （4，3），
F （1，0），
则FP →
=(3，−3)，FQ →
=(3，3)，故FP →
⋅FQ →
=0，即∠PFQ ＝90°． 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x ﹣1），其中k ≠0． 联立{
y =k(x −1)，
3x 2+4y 2=12，
得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0．
由题意，知△＞0恒成立，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=
8k
2
4k 2
+3
，x 1x 2=
4k 2
−124k 2
+3
．
直线MA 的方程为y =y
1
x 1−2(x −2)． 令x ＝4，得y P =2y 1x 1−2，即P(4，2y
1
x 1−2)．
同理可得Q(4，2y
2
x 2
−2)．
所以FP →
=(3，2y 1x 1−2)，FQ →=(3，2y 2
x 2
−2)．
因为FP →
⋅FQ →
=9+4y 1y 2(x 1−2)(x 2−2)=9+4k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1−2)(x 2−2)=9+4k 2
[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]x 1x 2−2(x 1+x 2
)+4 =9+4k 2(4k 2−12
4k 2+3−8k 24k 2+3
+1)4k 2−124k 2+3
−16k 24k 2+3
+4
=9+4k 2[(4k 2−12)−8k 2+(4k 2+3)](4k 2−12)−16k 2+4(4k 2
+3)=0，所以∠PFQ ＝90°． 综上，∠PFQ ＝90°．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
20．设函数f （x ）＝ae x +cos x ，其中a ∈一、选择题． （Ⅰ）已知函数f （x ）为偶函数，求a 的值；
（Ⅱ）若a ＝1，证明：当x ＞0时，f （x ）＞2；
（Ⅲ）若f （x ）在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）函数f （x ）为偶函数，通过f （﹣π）＝f （π），求解a ＝0． （Ⅱ）f '（x ）＝e x ﹣sin x ，判断函数的单调性，推出结果．
（Ⅲ）由f （x ）＝ae x +cos x ＝0，得a =−cosx
e x ．构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的极值，然后求解a 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数
f （x ）为偶函数，
所以f （﹣π）＝f （π），即ae ﹣π﹣1＝ae π﹣1， 解得a ＝0．
验证知a ＝0符合题意．
（Ⅱ）证明；f '（x ）＝e x ﹣sin x ， 由x ＞0，得e x ＞1，sin x ∈[﹣1，1]，
则f '（x ）＝e x ﹣sin x ＞0，即f （x ）在（0，+∞）上为增函数． 故f （x ）＞f （0）＝2，即f （x ）＞2． （Ⅲ）由f （x ）＝ae x +cos x ＝0，得a =−cosx e x ． 设函数h(x)=−cosx
e x ，x ∈[0，π]， 则h′(x)=
sinx+cosx
e x
． 令h '（x ）＝0，得x =
3π4． 随着x 变化，h '（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示： x (0，
3π4
) 3π4
(
3π
4
，π) h '（x ） + 0 ﹣ h （x ）
↗
极大值
↘
所以h （x ）在(0，
3π4)上单调递增，在(3π
4
，π)上单调递减． 又因为h （0）＝﹣1，h （π）＝e ﹣π，h(3π4)=√
22
e −3π4，
所以当a ∈[e −π，√22
e
−3π
4
)时，方程a =−cosx
e x 在区间[0，π]内有两个不同解，且在区
间[0，
3π4)与(3π
4
，π]上各有一个解．
即所求实数a 的取值范围为[e −π，
√22
e
−3π
4
)．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的奇偶性的应用，是中档题．
21．设N 为正整数，区间I k ＝[a k ，a k +1]（其中a k ∈R ，k ＝1，2，…，N ）同时满足下列两个条件：
①对任意x ∈[0，100]，存在k 使得x ∈I k ；
②对任意k ∈{1，2，…，N }，存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （其中i ＝1，2，…，k ﹣1，k +1，…，N ）．
（Ⅰ）判断a k （k ＝1，2，…，N ）能否等于k ﹣1或k
2−1；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求N 的最小值；
（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）a k 可以等于k ﹣1，但a k 不能等于k
2−1，
（Ⅱ） 记b ﹣a 为区间[a ，b ]的长度，可求区间[0，100]的长度为100，I k 的长度为1．由①，得N ≥100，结合I 1＝[0，1]，I 2＝[1，2]，…，I 100＝[99，100]显然满足条件①，②．可求N 的最小值．
（Ⅲ）首先，由题意利用反证法证明N ≤200．进而给出N ＝200存在的例子，可知N 的最大值存在，且为200．
解：（Ⅰ）a k 可以等于k ﹣1，但a k 不能等于k
2−1，
（Ⅱ） 记b ﹣a 为区间[a ，b ]的长度， 则区间[0，100]的长度为100，I k 的长度为1． 由①，得N ≥100，
又因为I 1＝[0，1]，I 2＝[1，2]，…，I 100＝[99，100]显然满足条件①，②． 所以N 的最小值为100．
（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：
（1）首先，证明N ≤200．
由②，得I 1，I 2，…，I N 互不相同，且对于任意k ，I k ∩[0，100]≠∅． 不妨设a 1＜a 2＜…＜a n ＜…．
如果a 2≤0，那么对于条件②，当k ＝1时，不存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （i ＝2，
3，…，N ）．
这与题意不符，故a 2＞0，
如果a k +1≤a k ﹣1+1，那么I k ⊆I k ﹣1∪I k +1，
这与条件②中“存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （i ＝1，2，…，k ﹣1，k +1，…N ）”矛盾， 故a k +1＞a k ﹣1+1．
所以a 4＞a 2+1＞1，a 6＞a 4+1＞2，…，a 200＞a 198+1＞99，
则a 200+1＞100．
故I 1∪I 2∪…∪I 200⊇[0，100]．
若存在I 201，这与条件②中“存在x ∈[0，100]，使得x ∉I i （i ＝1，2，…，200）”矛盾，
所以N ≤200，
（2）给出N ＝200存在的例子．
令a k =−12+100199
(k −1)，其中k ＝1，2，…，200，即a 1，a 2，…，a 200为等差数列，公差d =100199
． 由d ＜1，知I k ∩I k +1≠∅，则易得I 1∪I 2∪⋯∪I 200=[−12，2012
]， 所以I 1，I 2，…，I 200满足条件①．
又公差d =
100199＞12， 所以100199(k −1)∈I k ，100199(k −1)∉I i （i ＝1，2，…，k ﹣1，k +1，…N ）．（注：100199(k −1)
为区间I k 的中点对应的数），
所以I 1，I 2，…，I 200满足条件②．
综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200．
【点评】本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了反证法的应用以及等差数列的性质的应用，难度较大，属于难题．。