课时作业1：第1讲 相似三角形的判定及有关性质

12.1.1相似三角形的判定及有关性质
1.如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和
BC于E，F两点，【证明】AF·AD＝AG·BF.
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D在BC上且CD＝1，若∠CAD＝∠B，求BD的长．
3.已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于
点P，求证：
(1)△BPE∽△CPF；
(2)△EFP∽△BCP.
4.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A
作AH∥BE.连结ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH
＝8，求DF的长．
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE
的延长线交BC于F，求S△BEF
S四边形DEFC的值．
6.如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F.若
AE AD ＝14，求AF AC 的值．
7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝1
2CD ，BE 与AD 交于点F .
(1)求证：△ABF ∽△CEB ；
(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．
8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：
(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；
(2)AD 3＝BC ·CF ·BE .
答 案
1．【证明】因为四边形ABCD 为平行四边形，
所以AB ∥DC ，AD ∥BC .
所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA .
所以△ABF ∽△GDA .
从而有AF
AG ＝BF
AD ，
即AF ·AD ＝AG ·BF .
2.【解】作出图形(如图)，依题意，
有tan ∠CAD ＝tan ∠B ，
即12＝2
1＋BD .
故BD ＝3.
3．【证明】(1)∵BF ⊥AC 于点F ，
CE ⊥AB 于点E ，
∴∠BFC ＝∠CEB .
又∵∠CPF ＝∠BPE ，
∴△CPF ∽△BPE .
(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP . 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP . 4．【解】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AF AB
. ∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14
， ∵HE ＝8，∴HF ＝2.
∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝AD DC
. ∵D 是AC 的中点，∴HD DE
＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，
∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.
5．【解】过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，
所以BF BM ＝BE BD ＝13
， 因为EF ∥DM ，
所以S △BEF S △BDM ＝19
， 即S △BDM ＝9S △BEF ，
又S △DMC S △BDM ＝23
， 即S △DMC ＝23
S △BDM ＝6S △BEF ， 所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，
因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114
. 6．【解】如图，过点A 作AG ∥BC ，
交BF 的延长线于点G .
∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13
. 又∵△AGE ∽△DBE ，
∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点， BC ＝2BD ，
∴AG BC ＝16
. ∵△AGF ∽△CBF ，
∴
AF FC ＝AG BC ＝16， ∴AF AC ＝17
. 7．【解】(1)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，
∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ，
∴△ABF ∽△CEB .
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .
∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB
)2. 又DE ＝12CD ＝12
AB ， ∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .
∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19
， S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14
. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.
∴平行四边形ABCD 的面积
S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.
8．【证明】(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，
∴S △ABC ＝12
AB ·AC ＝12
BC ·AD . ∴AB ·AC ＝BC ·AD .
(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，
由射影定理可得
BD2＝BE·AB，
同理CD2＝CF·AC，
∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，
∴AD4＝BE·AB·CF·AC，
又AB·AC＝BC·AD.
即AD3＝BC·CF·BE.。