石城县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

石城县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）
A．B．|a|＞|b|C．a2＞b2D．a3＞b3
2．已知，则f{f[f（﹣2）]}的值为（）
A．0B．2C．4D．8
3．函数f（x）=tan（2x+），则（）
A．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数
B．函数最小正周期为，且在（﹣，）是减函数
C．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数
D．函数最小正周期为，且在（，）是增函数
4．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．18C．D．
5．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）
A．92%B．24%C．56%D．5.6%
6．有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（
）
A．3，6，9，12，15，18B．4，8，12，16，20，24
C．2，7，12，17，22，27D．6，10，14，18，22，26
7．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
8．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）
A．（x≠0）B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
9．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，
m n
其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．
10．集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A∩B，则集合S的子集有（）
A．2个B．3 个C．4 个D．8个
11．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ）
A ．720
B ．270
C ．390
D ．300
12．若复数满足
（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）7
1i i z
+=A ．1 B ． C ．
D ．1-i
-二、填空题
13．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为　2　．
14．
如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形PACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．
15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
16．已知函数，，则 ，的值域
21,0()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()21x g x =-((2))f g =[()]f g x 为
．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.17．已知f （x ）=
，则f （﹣）+f （）等于 ．
18．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+
|= ．
三、解答题
19．如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，AC=BC=BD=2AE=，M 是AB 的中点．
（1）求证：CM ⊥EM ；
（2）求MC 与平面EAC 所成的角．
20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知tanA=，c=．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为
，求角C ．
21．（本题满分15分）
若数列满足：
（为常数， ），则称为调和数列，已知数列为调和数{}n x 111
n n
d x x +-=d *n N ∈{}n x {}n a 列，且，.
11a =12345
11111
15a a a a a ++++=（1）求数列的通项；
{}n a n a
（2）数列的前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的取值集合；若不存
2{}n
n
a n n S n 2015n S ≥n 在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
22．已知数列a 1，a 2，…a 30，其中a 1，a 2，…a 10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a 10，a 11，…a 20，是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…a 30，是公差为d 2的等差数列（d ≠0）．（1）若a 20=40，求d ；
（2）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a 30，a 31，…a 40，是公差为d 3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？　
23．已知,若，求实数的值.
{}{}
2
2
,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+{}3A B =-
24．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．
石城县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：若a＞0＞b，则，故A错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；
函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确；
故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】解：∵﹣2＜0
∴f（﹣2）=0
∴f（f（﹣2））=f（0）
∵0=0
∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2
∵2＞0
∴f（2）=22=4
即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4
故选C．
3．【答案】D
【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+），它的最小正周期为，
在（，）上，2x+∈（，），函数f（x）=tan（2x+）单调递增，故选：D．
4．【答案】D
【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
故该几何体的表面积为：3×22+3×（）+=，
故选：D．
5．【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56
故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
6．【答案】C
【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验，
采用系统抽样的间隔为30÷6=5，
只有选项C中编号间隔为5，
故选：C．
7．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．　
8．【答案】B
【解析】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A 的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b 2=20，∴椭圆的方程是故选B ．
【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．　
9． 【答案】C
【解析】由题意，得甲组中，解得．乙组中，
78888486929095
887
m +++++++=3m =888992<<所以，所以，故选C ．
9n =12m n +=10．【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，∴集合S=A ∩B={1，3}，则集合S 的子集有22=4个，故选：C ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．　
11．【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有： ++=390．
故选：C ．12．【答案】A 【解析】
试题分析：,因为复数满足,所以
，所以复数的4
2
7
3
1,1i i i i i ==-∴==- 7
1i i z
+=()1,1i i i i z i z +=-∴=-A 虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算.
二、填空题
13．【答案】2
【解析】解：设f （x ）=﹣
，则f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）的最大值与最小值互为相反数，
即f （x ）的最大值与最小值之和为0．
将函数f （x ）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的图象，所以此时函数y=1﹣（x ∈R ）
的最大值与最小值的和为2．故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．　
14．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9.圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形PACB 的周长为2（PA ＋AC ）＝2＋2AC ＝2＋6.
PC 2－AC 2PC 2－9当PC 最小时，四边形PACB 的周长最小．此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由，解得点P 的坐标为（4，1），{x ＋y －5＝0x －y －3＝0
)
由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝AC ·BC ＝×3×3＝.
1
21292
即△ABC 的面积为.
92
答案：9
2
15．【答案】　12　．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有（15﹣x ）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x ）人，由此可得（15﹣x ）+（10﹣x ）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
16．【答案】，.
2[1,)-+∞【解析】
17．【答案】　4　．
【解析】解：由分段函数可知f （）=2×=．
f （﹣）=f （﹣+1）=f （﹣）=f （﹣
）=f （）=2×=，
∴f （）+f （﹣）=+
．故答案为：4．
18．【答案】　4　．
【解析】解：由题意可得点B 和点C 关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，可得A （0，﹣2），
∴2||=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．　三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵AC=BC=
AB ，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∵M 为AB 的中点，
∴AM=BM=CM ，CM ⊥AB ，
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AC，
设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，
∴EM2+MC2=EC2，
∴CM⊥EM；
（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，则MC与平面EAC所成的角为45°．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，
所以S=absinC=a2sinC=，则，①
由余弦定理得，=，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，
又0＜C ＜π，则C+＜，即C+=，解得C=
…．【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属
于中档题．
　21．【答案】（1），（2）详见解析. 1n a n =当
时，…………13分
8n =911872222015S =⨯+>>∴存在正整数，使得的取值集合为，…………15分
n 2015n S ≥{}*|8,n n n N
≥∈22．【答案】
【解析】解：（1）a 10=1+9=10．a 20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a 30=a 20+10d 2=10（1+d+d 2）（d ≠0），
a 30=10，当d ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a 30∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a n ]，
其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n+1，…，a 10（n+1）是公差为d n 的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a 10（n+1）关于d 的关系式，并求a 10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a 40=a 30+10d 3=10（1+d+d 2+d 3），
依此类推可得a 10（n+1）=10（1+d+…+d n ）=
．
当d ＞0时，a 10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道中档题．
　23．【答案】．23
a =-【解析】
考点：集合的运算.
24．【答案】
【解析】解：（1）由椭圆+=1，得a 2=8，b 2=4，
∴c 2=a 2﹣b 2=4，则焦点坐标为F （2，0），
∵直线y=x 为双曲线的一条渐近线，
∴设双曲线方程为
（λ＞0），
即，则λ+3λ=4，λ=1．
∴双曲线方程为：；
（2）由3x﹣4y﹣12=0，得，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3），
∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：
y2=16x或x2=﹣12y．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线为一条渐近线的双曲线方程是关键，是中档题．。