三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题4数列解答题理

专题14 数列解答题
1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .
【答案】(I)1
2.n n x -=（II ）(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【解析】试题分析：(I)依题意布列1x 和公比的方程组.
（II ）过123,,,P P P ……1n P +向轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +,
由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-=
记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以
123n T b b b =+++……+n b
=101325272-⨯+⨯+⨯+……+3
2(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①
又012
2325272n T =⨯+⨯+⨯+……+2
1(21)2
(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②
①-②得
1211
32(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯
=1132(12)
(21)2.212n n n ---+
-+⨯- 所以(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.
2.【2017北京，理
20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，
其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这个数中最大的数．
（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，
n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别代入求123
,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，
11()()20
k k k k b na b na n ++---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以
112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-L ，即证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项
公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明. 试题解析：解：（Ⅰ）
111110,
c b a =-=-=
21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，
3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.
当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减
.
（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则
12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.
所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨
-≤⎩当时，当时，
①当10d >时，取正整数2
1
d m d >
，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++L 是等差数列. ②当10d =时，对任意1n ≥，
1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--
此时，123,,,,,n c c c c L L 是等差数列. ③当10d <时， 当2
1
d n d >
时，有12nd d <. 所以
1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n
-+---==-+-++
111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--
对任意正数M ，取正整数12
1122
11
||max{
,}M b d a d d d m d d +-+-->-，
故当时，
n
c M n
>. 【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.
3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *
∈N ，{}n b 是首项为2的等
比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *
∈N .
【答案】 （1）32n a n =-.2n
n b =.（2）1328
433
n n n T +-=
⨯+. 【解析】
试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差
d 及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，
要求计算要准确.
试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为.
由已知2312b b +=，得2
1()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2n
n b =.
由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，
联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.
所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n
n b =.
（II ）解：设数列221{}n n a b -的前项和为n T ，
由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n
n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n
n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，
23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，
上述两式相减，得231
324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L
1
112(14)4
(31)414
(32)48.
n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328
433
n n n T +-=
⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前项和为
1328
433
n n +-⨯+. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和
4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*
∈N n ）．
证明：当*
∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤1
2n n x x +； （Ⅲ）
1
12
n +≤x n ≤2
12
n +．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由数学归纳法证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得
2
111111422(2)ln(1)
n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++， 构造函数
2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，由函数单调性可证； （Ⅲ）由1111
ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，
得
1
122
n n n n x x x x ++≥-，递推可得
1211(N )22
n n n x n *
--≤≤∈ 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0>n x
当n =1时，x 1=1>0
假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若01≤+k x ，则0)1ln(011≤++=<++k k k x x x ，矛盾，故
01>+k x ．
因此)(0*
∈>N n x n ，所以111)1ln(+++>++=n n n n x x x x ，因此)(01*+∈<<N n x x n n
（Ⅱ）由
1
11)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得
2
111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++
记函数2
()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥
函数f (x )在0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，
因此2
111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，1
12(N )2
n n n n x x x x
n *++-≤
∈ （Ⅲ）因为1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，所以11
2n n x -≥
得
1122
n n n n x x x x ++≥-， 111112()022n n x x +-≥-〉，1211111111
2()2()2222
n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅-=， 故2
12n n x -≤
，
12
11
(N )2
2n n n x n *--≤≤∈ 【考点】不等式证明
5.【2017
江苏，19】 对于给定的正整数,若数列{}n a 满足
1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L
2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，
从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-
122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =
所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.
n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④
将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.
在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列
{}
n a 是等差数列.
【考点】等差数列定义及通项公式
【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为的一次函数；
(4)前项和法：2
n S An Bn =+
6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前项和，且17=1
28.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．
（Ⅰ）求111101b b b ，，；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．
【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =
111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======
（Ⅱ）因为0,
110,
1,10100,
2,1001000,
3,
1000.
n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪
=⎨
≤<⎪⎪=⎩
所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.
【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.
于是，B m ＝A m －d m ＞2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }≥2. 故d m －1＝A m －1－B m －1≤2－2＝0，与d m －1＝1矛盾．
所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.
故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.
因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。

则111d A B =-1=，同理求出234,,d d d ，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研
究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难. 7. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2
+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1(
1).(2)n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .
【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T . 【解析】
由⎩⎨
⎧+=+=3
22211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d
b 321721111，可解得3,41==d b ，
所以13+=n b n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
1(66)3(1)2(33)
n n n n
n c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，
得2341
3[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
两式作差，得
234123[22222(1)2]
n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯
22
4(21)
3[4(1)2]
21
32n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅
所以223+⋅=n n n T
考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”
.
8.【2015高考广东，理21】数列{}n a 满足()*
121
2242
n n n a a na n N -+++=-∈L ， (1) 求3a 的值；
(2) 求数列{}n a 前项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫
=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭
，证明：数列{}n b 的前项和n S 满足n S n ln 22+<．
【答案】（1）14；（2）1
122n -⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
；（3）见解析．
【解析】（1）依题()()312312312132223
323244224
a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭， ∴ 31
4
a =； （
2
）
依
题
当
1n >时，
()()12121121
2122144222n n n n n n n n n
na a a na a a n a ----++⎛⎫=++-++-=-
--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭L L ， ∴ 1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，又10
12
412a +=-
=也适合此式， ∴ 1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∴ 数列{}n a 是首项为，公比为12的等比数列，故1
111221212
n
n n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=
=- ⎪⎝⎭-； （3）依题由1211112
n n n a a a b a n n -+++⎛⎫
=
++++ ⎪⎝⎭L L 知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
1233111323a a b a +⎛⎫
=
+++ ⎪⎝⎭
， ∴ ()121
2111
11122
n n n n S b b b a a a T n n ⎛
⎫⎛⎫=+++=+
+++++=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭L L L L 11111
11221222
n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-<⨯+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，
记()()1ln 11f x x x x =+
->，则()22111
'0x f x x x x
-=-=>， ∴ ()f x 在()1,+∞上是增函数，又()10f =即()0f x >，
又2k ≥且*k N ∈时，11k
k >-， ∴ 1ln 10111
k k f k k k k ⎛⎫
=+-> ⎪--⎝⎭
-即1ln 1k k k >-， ∴ 12ln 21<，13ln 3
2<，…，1ln 1n n n <-，即有11123ln ln ln ln 23121n n n n ++<+++=-L L ，
∴ 1112122ln 23n n ⎛
⎫
⨯+
+++<+ ⎪⎝⎭
L ，即22ln n S n <+． 【考点定位】前项和关系求项值及通项公式，等比数列前项和，不等式放缩．
（()()1ln 11f x x x x =+
->）结合不等（1
ln 1k k k
>-）放缩方法或用数学归纳法证明111
11ln 23n n
++++<+L ．
9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
记{}1,2,100U =…，
.对数列{}(
)*
n a n N ∈和U 的子集
T ，若T =∅,定义0T S =;若
{}12,,k T t t t =…，，定义1
2
+k
T t t t S a a a =++….例如：
{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}(
)*
n a n N
∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T
S
.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，
，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥I .
【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】
试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=•∈.
于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.
所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*
30,n n a n N -=>∈，
所以1121133(31)32
k k
k r k S a a a -≤+++=+++=-<L L . 因此，1r k S a +<.
（3）下面分三种情况证明.
①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.
令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设是E 中的最大数，为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.
由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k
l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.
又k l ≠，故1l k ≤-，
从而1
121
131133
222
l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤L L ，
故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I .
综合①②③得，2C C D D S S S +≥I . 考点：等比数列的通项公式、求和
10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）
设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a
依次成等比数列；
（2）是否存在1,a d ，使得234
1234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；
（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k
n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.
【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在 【解析】
试题分析（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令1
d
t a =
将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：27+430t t +=，无解，所以不存在（3）同（2）先令1
d t a =将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程
4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0t t t t t t ++-++-++=，从而将方程的解转化为研究
函数()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在(0,)+∞上无零点
试题解析：（1）证明：因为112222
n n n n a a a d a ++-==（1n =，，）是同一个常数，
所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．
化简得32220t t +-=（），且21t t =+．将21t t =+代入（）式，
()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14
t =-．
显然1
4
t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在1a ，d ，使得1a ，2
2a ，3
3a ，4
4a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数，，使得1n
a ，2
n k
a +，23
n k
a +，34
n k
a +依次构成等比数列，
则()
()
()
221112n k
n k n a a d a d +++=+，且()()
()
()
32211132n k
n k
n k a d a d a d +++++=+．
分别在两个等式的两边同除以()
21n k a +及()
221
n k a
+，并令1d t a =
（1
3
t >-，0t ≠）， 则()
()
()
22121n k
n k t t +++=+，且()
()
()
()
32211312n k
n k
n k t t t +++++=+．
将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．
再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．
令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，
则()()()()()()()()()()
222
213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤
++-+++++⎣
⎦'=+++． 令()()()()()()()222
13ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．
令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．
令()()21
t t ϕϕ'=，则()()()()
212
011213t t t t ϕ'=>+++．
由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()2
0t ϕ'>，
【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程
【名师点晴】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
11. 【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n
n S =+.
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩
; （II ）1363
1243n n
n T +=+⨯. 【解析】
（I ）因为233n
n S =+
所以，1233a =+ ，故13,a =
当1n > 时，1
1233,n n S --=+
此时，1122233,n n n n n a S S --=-=- 即1
3,n n a -=
所以，13,1,
3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩
（II ）因为3log n n n a b a = ，所以11
3
b = 当1n > 时，()11133log 313n
n n n b n ---==-⋅
所以1113
T b ==
当1n > 时，
()()121123
1
1323
133
n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L
所以()()
01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-L 两式相减，得
经检验，1n = 时也适合， 综上可得：1363
1243
n n
n T +=
+⨯ 【考点定位】1、数列前项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题.
【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意
1n = 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.
12. 【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的
,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.
(Ⅰ)设22*
1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设
()
22
*
11
,1,n
n
n n k a d T b n N ===
-∈∑，求证：2111.2n
k k
T d =<∑
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】
试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22
112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因
此()2
12122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.
（II ）证明：()()()
2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+
()()
()2222422
2212
n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅
=+L
所以()2222
111111111111
12121212n
n n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝
⎭⎝⎭∑∑∑. 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．
(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
b n ，n 为奇数，
c n ，n 为偶数
的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可
采用分组求和法求和．
13. 【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．
（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531
32
S =
，求λ． 【答案】（Ⅰ）1
)1
(11---=n n a λλλ；
（Ⅱ）1λ=-． 【解析】
由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1． 由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以1
1-=+λλ
n n a a . 因此}{n a 是首项为
λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1
)1
(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ
，由32315=S 得3231
)1(15=--λλ，即=
-5)1(λλ321， 解得1λ=-．
考点：1、数列通项n a 与前项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为n S ．
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明
1
n n
a q a +=（常数）
；（2）中项法，即证明2
12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比
数列或等差数列来求解．
14. 【
2014新课标，理17】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.
（Ⅰ）证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：1231112
n
a a a ++<…+.
【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以11
2312
n n a a ++
=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬
⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1
332n -⋅，解得n a =312n -.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312
n -，所以12
31n n a =-， 因
为
当
1n ≥时，1
3123n n --≥⋅，所以
1
11
3123n n -≤
-⋅，于是
11a +21a +L 1n a 111133n -≤+++L =31(1)23n -32
<， 所以
11a +21a +L 1n a 3
2
<. 【考点定位】1.等比数列；2.等比数列的前n 项和公式；3.放缩法.
15．【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
{
}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000
n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n
n a =；（2）10.
【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.
又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.
所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.
故2n
n a =.
（2）由（1）得
112
n n a =.
所以2311[1()]
1111122112222212
n n n n
T -=++++==--L . 由1|1|1000n T -<
，得11|11|21000
n --<，即21000n
>. 因为9
10
2512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1
|1|1000
n T -<
成立的n 的最小值为10. 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.
16. 【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足1
12
n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()
1122n n a a -≥-，n *∈N ；
（II ）若32n
n a ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】
试题分析：（I ）先利用三角形不等式得11
12
n n a a +-
≤，变形为111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得
1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得11
222
n m n m n a a --<，进
而可得3224m
n n a ⎛⎫
<+⋅ ⎪⎝⎭
，再利用m 的任意性可证2n a ≤．
试题解析：（I ）由112n n a a +-
≤得11
12
n n a a +-≤，故 111
222
n n n n n a a ++-≤，n *∈N ， 所以
1122311122312222222
2n n n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121
111
222n -≤
++⋅⋅⋅+
1<，
因此
()1122n n a a -≥-．
（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，
1121112
1222
2222
2n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111
222n n m +-≤
++⋅⋅⋅+
11
2n -<， 故
从而对于任意m n >，均有
3224m
n n a ⎛⎫
<+⋅ ⎪⎝⎭
．
由m 的任意性得2n a ≤． ①
否则，存在0n *
∈N ，有02n a >，取正整数00
03
4
2log 2n n a m ->且00m n >，则
00
3
4
02log 23322244n n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
与①式矛盾．
综上，对于任意n *∈N ，均有2n a ≤． 考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式． 【思路点睛】（I ）先利用三角形不等式及变形得
111
222n n n n n
a a ++-≤，再用累加法可得1122
n
n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）的结论及已知条件可得3224m
n n a ⎛⎫
<+⋅ ⎪⎝⎭
，再利用m 的任意性可证2n a ≤．
17.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
,求数列{n b }的前项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11
646
n -
+ 【解析】
试题解析：（Ⅰ）当1n =时，2
11112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，
当
2
n ≥时，
22
11
n n n n a a a a --+--=
14343
n n S S -+--=
4n
a ，即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，
所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++，
所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++L =1111111[(
)()()]235572123
n n -+-++-++L =
11
646
n -
+. 【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
【名师点睛】已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩将
所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.
18. 【2014课标Ⅰ，理17】
已知数列{}n a 的前项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数， （I ）证明：2n n a a λ+-=；
（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）存在，4λ=. 【解析】
因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．
【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．
【名师点睛】本题考查了递推公式、等差数列的通项公式及其前n 项和公式和概念、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法, 考查了考生运用数列的有关知识解题的能力和观察、分析、归纳、猜想及用数学归纳法证明的能力，同时考查了考生的推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法.
19. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）
设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于 (2n N ≤≤)的每个正整数都有k a ＜n a ，则称是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；
（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】（1）()G A 的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）关键是理解G 时刻的定义，根据定义即可写出)(A G 的所有元素； （2）要证∅≠)(A G ，即证)(A G 中含有一元素即可；
（3）当1a a N ≤时，结论成立.只要证明当1a a N >时仍然成立即可. 试题解析：（1）)(A G 的元素为和.
（3）当1a a N ≤时，结论成立. 以下设1a a N >. 由（Ⅱ）知∅≠)(A G .
设{}
p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n . 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210.
对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}
i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,.
如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .
又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G .
从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤. 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.
因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a . 所以p a a
a a a a i i
p n p
i n n N ≤-=
-≤--∑=)(11
11.
考点：数列、对新定义的理解
.
20. 【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12
且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：11
2n
n a a +≤
≤（n ∈*N ）
； （2）设数列{}
2
n a 的前项和为n S ，证明
112(2)2(1)
n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 试题分析：（1）首先根据递推公式可得1
2
n a ≤
，再由递推公式变形可知 211
[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得， 111
12n n a a +≤
-≤，从而可得
*111()2(1)2
n a n N n n +≤≤∈++，即可得证. 试题解析：（1）由题意得，2
10n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，1
2
n a ≤
，由11(1)n n n a a a --=- 得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由1
02
n a <≤
得， 2
11[1,2]1n n n n n n
a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；（2）由题意得2
1n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由
1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，111
12n n
a a +≤-≤， ∴1111
2n n n a a +≤
-≤，因此
*111()2(1)2
n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得
11
2(2)2(1)
n
S
n n n
≤≤
++
.
【考点定位】数列与不等式结合综合题.
21. 【2015高考重庆，理22】在数列{}n a中，()
2
111
3,0
n n n n
a a a a a n N
λμ
+++
=++=∈
（1）若0,2,
λμ
==-求数列{}n a的通项公式；
（2）若()
00
1
,2,1,
k N k
k
λμ
+
=∈≥=-证明：
1
00
11
22
3121
k
a
k k
+
+<<+
++
【答案】（1）1
32n
n
a-
=⋅；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由于0,2
λμ
==-，因此把已知等式具体化得2
1
2
n n n
a a a
+
=，显然由于
1
3
a=，
则0
n
a≠（否则会得出
1
a=），从而
1
2
n n
a a
+
=，所以{}
n
a是等比数列，由其通项公式可得结
论；（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是2
11
1
0,
n n n n
a a a a
k
++
+-=可
变形为2
1
1
n n n
a a a
k
+
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
()
N
n
+
∈,
由于
k>，因此
1
1
n
n
a
a
k
<
+
，于是可得
1
n n
a a
+
<，即有
121
30
n n
a a a a
+
=>>>>>>
L L，又
2
222
00
1
000
00
11
111
111
n
n
n n
n
n n
a
a k k
a a
k k k a
a a
k k
+
-+
===-+?
+
++
，于是有
()()
000
11211
k k k
a a a a a a
++
=+-++-
L
010000102011111
111k a k k k k a k a k a ⎛
⎫=-⋅+⋅+++ ⎪
⎪+++⎝⎭
L 000011112313131k k k k ⎛⎫
>+
⋅+++ ⎪+++⎝⎭
L 01
231
k =+
+，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知2(*)n a n N >∈，因此01k a +=
010000102011111
111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪
⎪+++⎝⎭
L 000011112212121k k k k ⎛⎫<+⋅+++ ⎪
+++⎝⎭
L 01
221k =++，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)由02λμ==-，,有2
12,(n N )n n n a a a ++=∈
(2)由0
1
1k λμ=
=-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101
0,n n n n a a a a k +++
-=变形为2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝
⎭()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得
12130n n a a a a +=>>>>>>L L
因为22220010000
11111
111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+=
=
=-+?++
+，所以对01,2n k =L
求和得()
()
00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L
01000010200000011111
111111112231313131k a k k k k a k a k a k k k k k ⎛⎫=-⋅
+⋅+++ ⎪
⎪+++⎝⎭⎛⎫>+⋅+++=+ ⎪
++++⎝⎭L L
另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得
00110000102011111
111k k a
a k k k k a k a k a +⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭
L
0000011111
2221212121
k k k k k ⎛⎫<+⋅+++=+ ⎪
++++⎝⎭L 综上：010*******
21
k a k k ++
<<+
++
【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识．
22. 【2015高考安徽，理18】设*
n N ∈，n x 是曲线22
1n y x
+=+在点(12)，处的切线与x 轴
交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅱ）记222
1321n n T x x x -=L ，证明1
4n
T n ≥. 【答案】（Ⅰ）1
n n
x n =+；（Ⅱ）14n T n ≥.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线22
1n y x
+=+在点(12)，处的切
线斜率为22n +.从而可以写出切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与轴交点的横坐标1111
n n x n n =-
=
++.
（Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知
222
2221321
1321()()()242n n n T x x x n --==L L . 当1n =时，11
4
T =.
当2n ≥时，因为2222221
22221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n x
n n n n n
-------==>==，
所以21
1211
()223
4n n T n n
->⨯⨯⨯⨯
=
L . 综上可得对任意的*n N ∈，均有1
4n T n
≥.
【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.
【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近
几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在2010年、2012年、2013年安徽高考解答题中都曾考过.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩. 23. 【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）
已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .
（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
21n y x a -= 的离心率为n e ，且25
3e = ，证明：121
433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.
【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）已知n S 的递推式11n n S qS +=+，一般是写出当2n ≥时，11n n S qS -=+，两式相减，利用1n n n a S S -=-，得出数列{}n a 的递推式，从而证明{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由25
3
e =
解出的值，要证明2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和12n e e e +++L ，但数列{}
n e 的和不可求，因此我们利用放缩法得1
n n e q ->，从而有12n e e e +++L 11n q q ->+++L ，右
边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边． 最后利用等比数列的求和公式计算证明.
试题解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.
由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.
所以双曲线2
2
21n
y x a -=的离心率
n e =
由53q =解得43
q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->
1
*k q k -?N （）
. 于是1
1211+1
n n n q e e e q q q --++鬃
?>+鬃?=-， 故1231
433n n n e e e --++鬃?>
. 考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.
24. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足
212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且
233445,,a a a a a a +++成等差数列.
(I)求的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221
log ,n
n n a b n N a -=
∈，求数列{}n b 的前项和. 【答案】(I) 12
22,2,.
n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数,
为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.
【解析】(I) 由已知，有()()()()
34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-， 所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当21(*)n k n N =-∈时，112
212
2
n k n k a a ---===，
当2(*)n k n N =∈时，2
222n k
n k a a ===，
所以{}n a 的通项公式为12
22,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数,
为偶数
(II) 由(I)得22121log 2
n n n n a n
b a --=
=，设数列{}n b 的前项和为n S ，则
0121
1111
1232222n n S n -=⨯
+⨯+⨯++⨯
L ， 1231111112322222
n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯L 两式相减得
2311
1111112212122222222212
n n n n n n n n n n S --
=+++++-=-=---L ，
整理得
1
2
4
2
n n
n
S
-
+
=-
所以数列{}n b的前项和为1
2
4,*
2n
n
n N
-
+
-∈.
【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.
25. 【2015高考湖北，理18】设等差数列{}
n
a的公差为d，前项和为
n
S，等比数列{}
n
b的公比
为．已知
11
b a
=，
2
2
b=，q d
=，
10
100
S=．
（Ⅰ）求数列{}
n
a，{}
n
b的通项公式；
（Ⅱ）当1
d>时，记n
n
n
a
c
b
=，求数列{}
n
c的前项和
n
T．
【答案】（Ⅰ）
1
21,
2.
n
n
n
a n
b-
=-
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
或
1
1
(279),
9
2
9().
9
n
n
n
a n
b-
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=⋅
⎪⎩
；（Ⅱ）
1
23
6
2n
n
-
+
-.
【解析】（Ⅰ）由题意有，1
1
1045100,
2,
a d
a d
+=
⎧
⎨
=
⎩
即1
1
2920,
2,
a d
a d
+=
⎧
⎨
=
⎩
解得1
1,
2,
a
d
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1
9,
2
.
9
a
d
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
故
1
21,
2.
n
n
n
a n
b-
=-
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
或
1
1
(279),
9
2
9().
9
n
n
n
a n
b-
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=⋅
⎪⎩
【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前项和.
【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列}
{
n
a及一个等比数列}
{
n
b对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会。