锐角三角函数的计算 同步练习(解析卷)

1.2 锐角三角函数的计算同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．若tan2
A=，则A
∠的度数估计在()
A．在0︒和30︒之间B．在30︒和45︒之间
C．在45︒和60︒之间D．在60︒和90︒之间
解：
tan451
︒=，tan60︒
而tan2
A=，
tan tan60
A
∴>︒，
6090
A
∴︒<∠<︒．
故选：D．
2．已知A
∠为锐角，且1
cos
2
A，那么()
A．060
A
︒<∠︒B．6090
A
︒∠<︒C．030
A
︒<∠︒D．3090
A
︒∠<︒解：1
cos60
2
︒=，余弦函数值随角增大而减小，
∴当
1
cos
2
A时，60
A
∠︒．
又A
∠是锐角，
6090
A
∴︒<︒．
故选：B．
3．如图所示，是由小正方形构成的44
⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点O，A，P，C，D均在格点上，则AOB
∠和COD
∠的大小关系为()
A．AOB COD
∠>∠B．AOB COD
∠=∠C．AOB COD
∠<∠D．无法确定
解：如图，连接AP，过点A作AN OP
⊥于N，
OP
∴=，OD==
OPA AOE PAF OPFE S S S S ∆∆∆=--梯形 111
(12)22111222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 1312
=-- 32
=， 又1
2
OPA S AN ∆=，即132
2
AN =，
AN ∴=
， 3
sin 0.65AN AOB OA ∴∠===，
sin 0.7DM COD OD ∠=
=≈， 0.60.7<，即sin sin AOB COD ∠<∠， AOB COD ∴∠<∠，
故选：C ．
4．如果锐角A 的度数是25︒，那么下列结论中正确的是( )
A ．10sin 2
A <<
B ．0cos A <<
C tan 1A <<
D ．1cot A <解：A ．1
sin302
︒=，
10sin 252
∴<︒<
， 故A 符合题意；
B ．cos30︒=
cos 25∴︒>
， 故B 不符合题意；
C ．tan30︒=
，
tan 25∴︒，
故C 不符合题意；
D ．cot 30︒
cot 25∴︒>
故D 不符合题意； 故选：A ．
5．三角函数sin31︒、cos16︒、cos43︒之间的大小关系是( ) A ．sin31cos16cos43︒<︒<︒ B ．cos43sin31cos16︒<︒<︒ C ．sin31cos43cos16︒<︒<︒ D ．sin16cos31cos43︒<︒<︒
解：sin31cos59︒=︒，
又164359︒<︒<︒，余弦值随着角度的增大而减小，
cos16cos43sin31∴︒>︒>︒．
故选：C ．
6．下列不等式成立的是( ) A ．sin60sin45sin30︒<︒<︒ B ．cos30cos45cos60︒<︒<︒ C ．tan60tan45tan30︒<︒<︒ D ．sin30cos45tan60︒<︒<︒
解：A 、
1
2
>>， sin60sin45sin30∴︒>︒>︒，故选项不成立；
B 、
1
2
>>， cos30cos45cos60∴︒>︒>︒，故选项不成立；
C 、
1
>>
， tan60tan45tan30∴︒>︒>︒，故选项不成立；
D 、
1
2< sin30cos45tan60∴︒<︒<︒，故选项成立．
故选：D ．
7．比较cos10︒、cos20︒、cos30︒、cos40︒大小，其中值最大的是( ) A ．cos10︒
B ．cos20︒
C ．cos30︒
D ．cos40︒
解：锐角的余弦值随角度增大值越小，
cos10cos20cos30cos40∴︒>︒>︒>︒．
故选：A ．
8．已知α∠，β∠都是锐角，且cos cos αβ>，则( ) A ．sin sin αβ>
B ．tan tan αβ>
C ．sin sin αβ<
D ．tan 1α>
解：由α∠，β∠都是锐角，且cos cos αβ>， 则sin sin αβ<． 故选：C ．
二．填空题（共4小题）
9．如果
3sin 1α，则α∠= 65.5︒ ．（精确到0.1度）
解：3sin 1α，
sin α∴ 解得，65.5α∠≈︒， 故答案为：65.5︒．
10．比较大小：tan40︒ < tan50︒（填“>”“ =”或“<” )． 解：由于一个锐角的正切值所这锐角的增大而增大， 所以tan40tan50︒<︒， 故答案为：<．
11．在
Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，AB =则A ∠的大小为 23.4︒ （精确到0.1)︒．
解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，AB =
cos 0.917
AC A AB =
=， 23.4A ∴∠=︒，
故答案为：23.4︒．
12．若A ∠为锐角，且1cos 4
A =，则A ∠的取值范围是 6090A ︒<∠<︒ ． 解：11042
<<，
又1cos602
︒=，cos900︒=，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，
∴当1
cos 4
A =
时，6090A ︒<∠<︒． 故答案为：6090A ︒<∠<︒．
三．解答题（共3小题）
13．我们知道：1
sin 302
︒=
，tan 303︒=，sin 452︒=，tan 451︒=，sin 602︒=，
tan 60︒=由此我们可以看到tan30sin30︒>︒，tan 45sin 45︒>︒，tan60sin60︒>︒，
那么对于任意锐角α，是否可以得到tan sin αα>呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．
解：对于任意锐角α，都有tan sin αα>，理由如下：
如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，设A α∠=． 则tan a b α=
，sin a
c
α=， b c <，
∴
a a
b c
>， tan sin αα∴>．
14．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）根据你探索到的规律试比较18︒，34︒，50︒，62︒，88︒，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“>”“ =”“ <”号），若45α=︒，则sin α = cos α；若045α︒<<︒，则sin α cos α；若4590α︒<<︒，sin α cos α．
解：
（1）在图中，令123AB AB AB ==，11B C AC ⊥于点1C ，22B C AC ⊥于点2C ，33B C AC ⊥于点3C ， 显然有：112233B C B C B C >>，123B AC B AC B AC ∠>∠>∠．
1111sin B C B AC AB ∠=
，2222sin B C B AC AB ∠=，3333
sin B C
B A
C AB ∠=，
而
33
1122123
B C B C B C AB AB AB >>
， 123sin sin sin B AC B AC B AC ∴∠>∠>∠．
在图中，Rt ACB3∆中，90C ∠=︒，
11cos AC B AC AB ∠=
，22cos AC B AC AB ∠=，33
cos AC
B A
C AB ∠=，
321AB AB AB >>，
∴
123
AC AC AC
AB AB AB >>
． 即321cos cos cos B AC B AC B AC ∠<∠<∠；
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． （2）由（1）可知：
sin88sin62sin50sin34sin18︒>︒>︒>︒>︒； cos88cos62cos50cos34cos18︒<︒<︒<︒<︒．
（3）若45α=︒，则sin cos αα=；若045α︒<<︒，则sin cos αα<；若4590α︒<<︒，则sin cos αα>． 故答案为：=，<，>．
15．如图，已知ABC ∠和射线BD 上一点P （点P 与点B 不重合），且点P 到BA 、BC 的距离为PE 、PF ．
（1）若40EBP ∠=︒，20FBP ∠=︒，PB m =，试比较PE 、PF 的大小；
（2）若EBP α∠=，FBP β∠=，α，β都是锐角，且αβ>．试判断PE 、PF 的大小，并给出证明．
解：（1）在Rt BPE ∆中，sin sin 40PE
EBP BP
∠==︒ 在Rt BPF ∆中，sin sin 20PF
FBP BP
∠==︒ 又sin40sin20︒>︒
PE PF ∴>；
（2）根据（1）得
sin sin PE EBP BP α∠=
=，sin sin PF
FBP BP
β∠==
又αβ>
sin sin αβ∴>
PE PF ∴>．。