柱塞泵运动分析

柱塞泵运动分析
柱塞泵的运动分析是瞬时流量分析和受力分析的基础。

柱塞泵里主要存在三大摩擦副，即柱塞与缸孔、缸体与配流盘以及滑靴与斜盘之间的运动。

现在，我们以通轴式柱塞泵为例，来分析它的主要零部件的运动情况。

一、柱塞运动方程
如下图所示，设斜盘倾角为γ，选取坐标系oxyz ，并以oxy 平
面的点A 为缸体旋转角ϕ的计算起点，A 点也是液压泵开始压油点。

当缸体旋转过任一角ϕ时，即柱塞球头中心转至B 时，柱塞球头中心的坐标为：
c o s c o s
s i n
x R t g y R z R γϕϕϕ=-== （1） 式中，t ϕω=；
R 为柱塞分布圆半径；
γ
为斜盘的倾角；
从上列方程（1）可知：
1、 柱塞沿x 正向的相对运动，是缸体旋转角ϕ的余弦函数。

但
柱塞的绝对运动位移为：(1cos )s Rtg γϕ=- 2、
B 点在oyz
平面内的运动轨迹为一圆。

由于柱塞运动方向与x 正向相同，因此，柱塞相对缸孔轴向移
动的速度、加速度以及因旋转而产生的向心加速度分别为：
sin dx
v Rtg dt ωγϕ=
= (2)
2cos dv a Rtg dt
ωγϕ== （3） 2r a R ω= （4） 二、滑靴的运动方程
滑靴的运动规律应该在坐标系1111o x y z 里进行研究，如上图所示，在坐标系1111o x y z 里点1B 的坐标值为：
1110
cos cos cos sin x y R y z z R ϕγγϕ
==
=== （5） 可见，点1B 在111o y z 平面里的运动轨迹为一椭圆，椭圆的两个轴长度分别为
cos R
γ
和R 。

对应于任一旋转角t ϕω=的矢量半径ρ
ρ==设矢量半径ρ与椭圆长轴的夹角为λ，则
1
11cos (cos )
z tg tg y tg tg λγϕλγϕ-=
== （6）
滑靴点1B 的旋转角速度为 222
cos cos sin cos h d dt
λγ
ωωϕϕγ
==
+ （7） 由（7）可知，当2
n πϕ=（n 为自然数）时，滑靴的旋转角速度达
到最大值；当n ϕπ=（n 为包括0的自然数）时，滑靴的旋转角速度达到最小值；其值分别为：
max cos h ω
ωγ
=
（8）
min cos h ωωγ= （9）
由于滑靴点1B 在111o y z 平面里运动一周所用的时间与缸体旋转一圈用时相等，因此其平均角速度相等。

即
h ϖω= （10）
滑靴沿斜盘表面与椭圆轨迹相切的滑移速度为h v ，则：
h h v ωρ==
（11）
应当注意，滑靴在斜盘上不仅仅绕着传动轴线做圆周运动，它还绕着自己的对称轴线（在压油范围内，即0ϕπ≤≤）做圆周运动——自转。

这个自转对于改善润滑即减小摩擦和磨损，提高效率等都是有利的。

至于滑靴自转的原因——存在转矩，后面将予以揭晓。

三、缸体运动规律
除了在圆周方向的转动不受限制外，缸体的其它方向（轴向、径向）均受严格地约束。

在原动机的带动下，缸体与液压泵的传动轴做同步转动。

由于配流盘一般是固定不动的，因此，缸体紧贴着配流盘端面仅仅只做圆周运动，不允许有其他运动。

因此，缸体运动非常简
单，不再赘述。

四、几何流量
柱塞泵在同一瞬时会有多个柱塞同时吸油和排油，因此，它的瞬时流量应为多个柱塞排油量之和。

并称之为液压泵的瞬时理论流量，用sh Q 来表示。

即
2
2
11
sin 4
4
m
m
sh i i i i d d Q v Rtg ππωγϕ===∙=
∑
∑ (12)
设柱塞数量为Z ，则任一相邻两柱塞的夹角22Z
πβ=。

若1i =的
12Z
πϕ＜
，则依次顺序2131=+2=+4......ϕϕβϕϕβ；；，这样，
[]()11
1
sin 1sin sin sin 2(1)sin m
m i
i
i i m m i ϕββ
ϕϕββ
==+-⎡⎤⎣⎦=+-=
∑∑ （13）
1、 当柱塞数目为偶数时，
()()
2
111
cos sin 21sin Z
m i i βϕϕββ
=
=-+-=
⎡⎤⎣⎦∑ 故：()
2
1cos 4
sin sh d Q Rtg βϕπωγβ
-=
∙
（14） 上式表示的sh Q 函数的定义域为10ϕβ≤≤2。

可见，式（14）是一个周期函数，周期为2β。

当()02...21i ϕββ=-、
时，流量有最小值 2
min 4
sh d Q Rtg ctg πωγβ=
∙ (15)
当()21i ϕβ=-时，流量有最大值 2
max 1
4
sin sh d Q Rtg πωγβ
=∙
(16) 将Z
π
β=
代入式（14），并在这半个周期内积分，再除以该周期角
之半Z π⎛⎫
⎪⎝⎭
，可得液压泵的平均流量t Q
21101cos 4sin Z t Z d Q Rtg d Z Z
π
ππωγϕϕππ⎛⎫
=∙- ⎪⎝⎭⎰ (17)
所以， 2
2
2
4
t d d Q ZnRtg ZnDtg ππγγ=
=
(18)
式中，R 和D 分别是柱塞分布圆的半径和直径；n 为缸体转速。

液压泵的瞬时流量品质用流量不均系数Q δ来表征， max min 2sh sh Q t Q Q tg
Q Z Z
ππ
δ-=
= (19) 流量脉动频率Q f 为：
Q f nZ = (20)
偶数柱塞的瞬时流量
2、 当柱塞数目为奇数时
设第i 个柱塞的旋转角度i ϕϕ=（i =1,2,3…Z ）,分别当10ϕβ≤≤时，
12Z m +=
；和1βϕβ≤≤2时，1
2
Z m -=代入式（13）后得 11
cos 2sin 2sin
2
m
i i βϕϕβ=⎛⎫
- ⎪⎝⎭=∑ （21）
11
3cos 2sin 2sin
2
m
i i βϕϕβ=⎛⎫- ⎪⎝⎭=∑ （22） 所以， 21cos -242sin 2
sh d Q Rtg βϕβπωγβ⎛
⎫± ⎪⎝⎭=∙
（23） 上式中，当10ϕβ≤≤时取“+” ；当1βϕβ≤≤2时取“—” 。

可见，
瞬时流量（23）式所表示的也是一个周期函数变化规律如下图所示。

奇数柱塞的分布与瞬时流量
分别在=(1)i ϕβ-和21
2
i ϕβ-=时出现极小值和极大值为
2
min cos
24
2sin
2
sh d
Q Rtg β
πωγβ
=
∙
(24)
2
m a x 14
2s i n
2
sh d Q Rtg πωγβ
=
∙
(25)
同理得柱塞为奇数时理论平均流量t Q 与偶数柱塞时相同，即 2
2
2
4
t d d Q ZnRtg ZnDtg ππγγ=
=
柱塞为奇数时流量不均系数为： max min 24
sh sh Q t Q Q tg Q Z πβ
δ-=
= (26)
脉动频率Q f 为
2Q f nZ （27）
柱塞泵的流量不均系数与柱塞的数量有关，而且，奇数柱塞的液压泵，其流量不均系数大大低于偶数柱塞的液压泵，这就是柱塞泵常选用奇数个柱塞的原因所在。